滿忠實(shí)函子誘導(dǎo)的三角范疇中心間的態(tài)射

李洪巖

(安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，合肥 230001)

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滿忠實(shí)函子誘導(dǎo)的三角范疇中心間的態(tài)射

李洪巖

(安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，合肥 230001)

三角范疇; 三角函子; 分次中心; 分次同態(tài)

一個(gè)三角范疇(C,Σ)的中心Z*(C)定義為一個(gè)Z-分次交換環(huán)，其中第n個(gè)分支是由滿足一定交換條件的從恒等函子Id到Σn自然變換所構(gòu)成. 顯然，分次中心Z*(C)有如下泛性質(zhì)：若分次交換環(huán)R*在三角范疇C上有作用，則存在R*到Z*(C)的分次環(huán)同態(tài)。Buchweitz和Flenner在研究奇異空間Hochschild上同調(diào)理論中第一次系統(tǒng)介紹了三角范疇的分次中心。[1]設(shè)F:C→D為三角范疇之間的三角函子，一個(gè)自然的問(wèn)題是問(wèn)F何時(shí)能誘導(dǎo)它們分次中心之間的分次環(huán)同態(tài). Linckelman[2-4]證明了，若存在三角函子G:D→C，它既是的左伴隨函子，又是F的右伴隨函子，則在滿足一定相容性條件下，F(xiàn)誘導(dǎo)了兩個(gè)三角范疇分次中心的同態(tài). Krause和Ye在文獻(xiàn)[3]中討論了三角范疇分次中心的一些基本性質(zhì)，如一個(gè)三角范疇的分次中心到它的滿子范疇Vedie商范疇的分次中心之間的環(huán)同態(tài)。 本文清晰地給出了由一個(gè)滿忠實(shí)函子誘導(dǎo)的分次中心之間的態(tài)射。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 三角范疇與三角函子

設(shè)C為加法范疇，Σ為C的自同構(gòu)函子. C中的一個(gè)態(tài)射序列

稱為一個(gè)三角。記ε為C中一些三角構(gòu)成的類. 如果ε滿足公理(TR1), (TR2), (TR3) 和 (TR4)，則三元組(C,Σ,ε)稱為三角范疇[5]。 此時(shí)，ε中的三角稱為好三角。 有時(shí)將三角范疇(C,Σ,ε)簡(jiǎn)記為(C,Σ)或C。

為D中的好三角，則稱(F,ξ)為三角范疇C到D的三角函子。

一個(gè)函子F:C→D稱為滿的(或忠實(shí)的)，如果對(duì)任意X,Y∈C,

F:HomC(X,Y)→HomC′(FX,FY)

是Abel群的滿同態(tài)(或單同態(tài))。 若F既是滿的又是忠實(shí)的，則稱F為滿忠實(shí)的。

1.2 三角范疇的中心

定義 設(shè)(C,Σ)是三角范疇。 三角范疇C的中心是指一個(gè)Z-分次交換環(huán)

Z(C)=⊕n∈ZZn(C)，

其中：Zn(C)={η:IdC→Σn為自然變換對(duì)任意X∈C，都有ηΣX=(-1)nΣ(ηX)}。

乘法由自然變換的復(fù)合給出。 不難驗(yàn)證該乘法是分次交換的，即對(duì)任意ζ∈Zm(C)η∈Zn(C)，

ηζ=(-1)mnζη。

設(shè)(C,ΣC)和(D,ΣD)均為三角范疇，(F,ξ):C→D為三角函子。 對(duì)任意正整數(shù)n, X∈C, 將下列態(tài)射的復(fù)合

引理 設(shè)m,n為整數(shù)。 則對(duì)任意X∈C，

證明 由定義可知，對(duì)任意m,n,

2 主要結(jié)果

(1)

設(shè)f:X→X′為C中任一態(tài)射. 由自然同構(gòu)ξ:F°ΣC→ΣD°F可得，

ΣD(Ff)°ξX=ξX′°F(ΣCf)。

(2)

考慮D中態(tài)射Ff:FX→FX′，由自然變換α:IdD→ΣD，有

ΣD(Ff)°αFX=αFX′°Ff。

(3)

考慮D中態(tài)射ξX:FΣCX→ΣDFX，由自然變換α:IdD→ΣD可得，

ΣD(ξX)°αFΣCX=αΣDFX°ξX，

即

于是，我們有

于是

由上述引理可知，

[1] Buchweitz R-O，F(xiàn)lenner H.Hochschild (co-)Homology of Singular Spaces[J]. Adv Math，2008,271(1): 205-242.

[2] Linckelmann M. On Graded Centres and Block Cohomology[J]. Proc Edinb Math Soc，2009,52(2):489-514.

[3] Krause H ，Ye Y. On The Centre of a Triangulated Category[J]. Proc Edinb Math Soc, 2011, 54(2):443-466.

[4] Linckelmann M，Stancu R. On The Graded Center of The Stable Category of a Finite P-Group[J]. Pure Appl Algebra, 2010,214(6): 950-959.

[5] 章璞.三角范疇與導(dǎo)出范疇[M].北京：科學(xué)出版社，2015：174-178.

[責(zé)任編輯：張永軍]

Homomorphisms Between Centers of Triangulated Categories Induced by A Fully Faithful Triangle Functor

LI Hong-yan

(Department of Civil Engineering, Anhui Communications Vocational and Technical College, Hefei 230001, China)

triangulated categories; triangle functor; graded center; graded homomorphism.

2016-07-21

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1508085QG149)資助。

李洪巖(1980—)，男，安徽舒城人，安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系講師。

O154

A

2096-2371(2016)04-0011-03