關(guān)于“近世代數(shù)”教改的探討

趙志兵

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

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關(guān)于“近世代數(shù)”教改的探討

趙志兵

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

“近世代數(shù)”是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一，主要講授的是群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)和相關(guān)的應(yīng)用。通過簡單分析這門學(xué)科的特點和當(dāng)前教學(xué)的現(xiàn)狀，結(jié)合自身的教學(xué)實踐，在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上給出了關(guān)于“近世代數(shù)”課程教學(xué)的幾點建議。

“近世代數(shù)”；課程教學(xué)；教學(xué)改革

“近世代數(shù)”又稱抽象代數(shù)，產(chǎn)生于19世紀(jì)上半葉，區(qū)別于以往的初等代數(shù)以解方程為主，“近世代數(shù)”主要是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)。大學(xué)階段的“近世代數(shù)”課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一，主要講授的是群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)和相關(guān)的應(yīng)用，它以高等代數(shù)(或線性代數(shù))為其先修課程，又是代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)湟约巴{(diào)代數(shù)等課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程。

現(xiàn)行的“近世代數(shù)”課程的教學(xué)主要以傳統(tǒng)的教學(xué)方式為主，多是抽象的概念加抽象的定理，再加上抽象的證明題作為作業(yè)；教學(xué)內(nèi)容一般都是從預(yù)備知識出發(fā)，然后到群，再到環(huán)，最后是域，往往忽略了“從哪里來，到哪里去”的基本問題。 本文首先簡單的分析了“近世代數(shù)”的學(xué)科特點和當(dāng)前的教學(xué)現(xiàn)狀，后結(jié)合筆者在本學(xué)科教學(xué)過程中的實踐，從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上給出本課程教學(xué)的幾點建議。

1 學(xué)科特點和當(dāng)前教學(xué)現(xiàn)狀

1.1 學(xué)科特點

一方面，代數(shù)學(xué)科的主要特點就是其概念、定理眾多，其習(xí)題以證明題為主，抽象程度高、邏輯性強，使得初學(xué)者難以很好的把握。其思想和研究方法，對其他學(xué)科產(chǎn)生了越來越大的影響，如“近世代數(shù)”中的等價、劃分、同構(gòu)等思想方法不僅是重要的數(shù)學(xué)方法之一，同時也是觀察和研究自然和社會的普遍采用的方法。[1]

另一方面，“近世代數(shù)”在其他的數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別是對數(shù)學(xué)發(fā)展中很多有重要歷史意義問題的解決起了關(guān)鍵性作用，如高斯二平方和的問題、代數(shù)基本定理的證明、尺規(guī)作圖、三等分角等問題的解決。此外，“近世代數(shù)”在其他的學(xué)科中又有非常廣泛的應(yīng)用，例如20世紀(jì)初，群論應(yīng)用于理論物理與分子化學(xué)中，而理想理論與(有限)域理論在計算機理論、編碼與信息安全等領(lǐng)域的應(yīng)用更被認(rèn)為是近代純粹數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個成功范例。[2]

1.2 當(dāng)前教學(xué)的現(xiàn)狀

由于“近世代數(shù)”作為純數(shù)學(xué)學(xué)科的的特點，其抽象程度較高，和現(xiàn)實生活聯(lián)系較少，使其成為一門難學(xué)難懂的學(xué)科。而在高校畢業(yè)生就業(yè)壓力大，用人單位更強調(diào)畢業(yè)生的實踐創(chuàng)新能力的大環(huán)境下，更使得學(xué)生對一些純粹的理論學(xué)科的學(xué)習(xí)積極性受到影響。在傳統(tǒng)的“近世代數(shù)”課程教學(xué)中，很多是單純地追求概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的明確性和體系的完整性，這樣更會容易使得“近世代數(shù)”課程的知識與現(xiàn)實脫節(jié)，導(dǎo)致一些學(xué)生感到“近世代數(shù)”枯燥乏味、無用，從而直接影響了學(xué)生對“近世代數(shù)”課程和后繼相關(guān)課程的學(xué)習(xí)熱情。所以，有必要對“近世代數(shù)”課程的教學(xué)進(jìn)行必要的改革，包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和一些教學(xué)手段。

2 教學(xué)改革的幾點建議

2.1 教學(xué)內(nèi)容

現(xiàn)行“近世代數(shù)”教學(xué)的內(nèi)容主要包括群論、環(huán)論和域擴張理論，而群論的內(nèi)容通常會占到整個教材篇幅的一半左右。大學(xué)的“近世代數(shù)”課程的課時數(shù)一般在70課時，有教學(xué)經(jīng)驗的教師都知道，利用70個左右的課時將“近世代數(shù)”中3方面的內(nèi)容都透徹講完整是很困難的，雖然一般的“近世代數(shù)”的教材篇幅不是很長，但包含的信息量是很大的。所以在實際的教學(xué)過程中，大部分的老師都會面臨“上不完”的問題，即使能上完，部分內(nèi)容也講不完整。因而，很多教師就對教材的內(nèi)容進(jìn)行刪減，比如群論的sylow定理、群作用以及有限Abel群的結(jié)構(gòu)通常都在被刪減的內(nèi)容之列，筆者認(rèn)為這些內(nèi)容恰是群論中最精彩和重要的內(nèi)容之一，當(dāng)然也是最難的部分，而“難”可能是其通常被刪減的重要原因。

我們以為，教學(xué)的內(nèi)容要回歸課程的本原。大家都知道，“近世代數(shù)”起源于Abel，Galois等人解決5次及其5次以上的方程的求根公式的存在性問題，但隨著學(xué)科的發(fā)展，現(xiàn)在的教材很大程度上偏離了這個本原，甚而我們難以回答學(xué)生諸如“為什么要學(xué)‘近世代數(shù)’”“學(xué)“近世代數(shù)”有什么用”的問題。在實踐教學(xué)的過程中，大部分教師通常是按照從群到環(huán)再到域的思路走，這樣做從邏輯上是無可厚非的，因為群是比環(huán)來得“容易”的代數(shù)系統(tǒng)，它只帶有一個運算，而域是一種特殊的環(huán)。事實上，學(xué)生首先接觸的是環(huán)和域，大家最熟悉的整數(shù)集就是帶有“加法”和“乘法”兩個運算的一個典型的環(huán)，而高等代數(shù)中學(xué)生也接觸到了數(shù)域和一元多項式環(huán)。

因而建議可以先講環(huán)論的基本知識，后轉(zhuǎn)入群論的基本知識，再轉(zhuǎn)入域論，最后再來講群論中難點問題，如Sylow定理、群作用等。這樣處理的一個好處是，在課程開始的階段我們就可以引入問題：如何證明代數(shù)基本定理的證明？如何解決高次方程求根公式的問題？在完成域論的課程后，我們就可以給出上述問題的一個解答，而不至于學(xué)生在學(xué)完Sylow定理和群作用后已經(jīng)“筋疲力盡”了，到最后還是沒有弄清楚“近世代數(shù)”是從哪里發(fā)展起來的，“近世代數(shù)”有什么用。通常情況下，沒有足夠的課時去講Galois理論，因而尺規(guī)作圖問題、數(shù)的超越性問題可以留給有興趣的學(xué)生自己去解決。[3]群論中的精彩部分，如Sylow定理、群作用等內(nèi)容可以作為“近世代數(shù)”的研究和發(fā)展所得到的成果介紹給學(xué)生。

2.2 教學(xué)方法

(1) 注重課程之間的銜接。這里的銜接指的是和前修課程的銜接以及和后續(xù)課程的聯(lián)系。

大學(xué)階段的“近世代數(shù)”課程的前修課程主要指高等代數(shù)，當(dāng)然“近世代數(shù)”中的某些例子也會涉及到數(shù)學(xué)分析和解析幾何的相關(guān)知識。教師在講授“近世代數(shù)”課程的過程中要盡可能多的利用高等代數(shù)中已有的知識給出所需要的例子；例如，在講授等價關(guān)系時，矩陣間的等價、相似、合同就是非常好的例子。在講授環(huán)論的時候，數(shù)域上的一元多項式環(huán)就是一個大家熟悉和已知的例子，也可以用矩陣作成的環(huán)(數(shù)域上階全陣環(huán))為例來引入和說明環(huán)的一些基本性質(zhì)，特別是關(guān)于其元素的一些性質(zhì)(單位元、交換性、零因子、可逆性等)。這樣處理既可以起到一定的“復(fù)習(xí)”效果，又可以讓學(xué)生在接受新知識時不至于感到太陌生和太抽象。

有些學(xué)校在“近世代數(shù)”后面會開設(shè)一些代數(shù)方向較專業(yè)的課程作為選修課，如Galois理論、同調(diào)代數(shù)、群表示論等，以滿足一些學(xué)有余力和對代數(shù)方向感興趣的同學(xué)的學(xué)習(xí)要求。這就要求教師在講授“近世代數(shù)”的過程中注重其與這些課程之間的銜接，以激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的積極性。如在講授域擴張時，就可以把更多的可以利用Galois理論解決的問題拋出來，如尺規(guī)作圖問題、π的超越性等。又如在講群作用的時，可以引入群表示的概念，并簡單的說明下群作用和群表示之間的一一對應(yīng)關(guān)系，從而可以引出群表示論。

(2) 研究性教學(xué)法。研究性教學(xué)法，就是在實際的教學(xué)過程中，教師不斷的提出與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題，并指導(dǎo)學(xué)生理解和解決這些問題。基于“近世代數(shù)”學(xué)科的特點，此課程非常適合研究性教學(xué)法。下面來看幾個簡單的例子。

例1 對于群的定義，文獻(xiàn)[4]中是這樣定義的：一個非空的帶有一個代數(shù)運算的集合稱為群，指的是其滿足3條：1)結(jié)合律成立；2)存在“左”單位元；3)每個元素存在“左”逆元(通常稱之為“左左”定義)。

問題1：其中的2)，3)條是否可以換成2)′存在“右”單位元和3)′每個元素存在“右”逆元？(通常稱之為“右右”定義)

問題2：其中的2)，3)條是否可以換成2)和3)′，或者類似的換成2)′和3)？

分析 問題1的答案是肯定的，即群定義中的“左左”和“右右”是等價的。問題2的答案是否定的，具體可參見文獻(xiàn)[2]中的例4。問題的提出是自然的，學(xué)生在尋求答案的過程中會更加深刻的理解群的概念，這對初學(xué)者是非常重要的。另外，也使得學(xué)生對“左”單位元(逆元)與“右”單位元(逆元)以及單位元(逆元)理解更透徹，從而使學(xué)生清楚不同教材中對于某些概念的定義可能形式上不同，本質(zhì)上卻是等價的，如在文獻(xiàn)[5]中，對群的定義就直接要求單位元和每個元素的逆元存在。

例2 設(shè)H和K分別為群G的兩個非空子集，定義它們之間的乘積為

問題：HK=KH(即集合乘積可交換)是否等同于兩個集合中的元素乘積可交換，即對

h∈H,k∈K，有hk=kh？

分析 HK=KH不能推出兩個集合中的元素乘積可交換，具體可參見文獻(xiàn)[6]中的例1；反過來，若H和K中的元素乘積均可交換，自然有HK=KH。

學(xué)生通過對上述問題的分析，能更清楚的把握“整體”運算和“個體”運算之間的聯(lián)系，整體運算本質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為一個個“個體”之間的運算，從而“個體”可以決定“整體”的性質(zhì)，反過來“整體”卻不夠精細(xì)。

在“近世代數(shù)”教學(xué)中，應(yīng)該始終帶著問題教，這樣可以讓學(xué)生帶著問題學(xué)。時間長了，學(xué)生會由被動問問題轉(zhuǎn)為主動問問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性提高了，教師的上課熱情也增長了，從而達(dá)到教學(xué)相長，互相提高。又如在講授Langrange定理的時候，自然的問題是它的逆命題是否成立，這樣引入Sylow定理就比較自然。學(xué)習(xí)過程中多提這樣的問題會使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中邏輯上更清晰，目標(biāo)也更明確。

(3)注重具體例子的作用。代數(shù)中的例子有說明概念或命題的正例也有說明命題否定的反例，值得一提的是，利用反例說明一個命題的否定性是“近世代數(shù)”一個常用的技巧和手段。

A．抽象的概念和命題與例子相結(jié)合?！敖来鷶?shù)”學(xué)科的一個重要特點就是抽象，概念多，因而學(xué)好“近世代數(shù)”應(yīng)該從掌握和理解其基本的數(shù)學(xué)概念入手。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特有屬性在人的思維中的反映[2]，在教學(xué)過程中，當(dāng)講解一個新的概念或知識點時，教師應(yīng)有意識地剖析幾個比較典型的具體例子，讓它們起到一個模型和示例的作用，這有助于學(xué)生對抽象的概念的理解和把握。

比如，在學(xué)習(xí)群的過程中，首先以學(xué)生熟悉的整數(shù)加群和非零有理數(shù)乘群為例簡單的按群的定義驗證下，后再結(jié)合高等代數(shù)的知識給出數(shù)域F上的一般線性群GLn(F)，在此基礎(chǔ)上，再介紹相對比較抽象的n次單位根群和四元數(shù)群。這樣，由熟悉到相對不熟悉，有較具體到抽象的給出說明“群”這個概念的一些例子，容易讓學(xué)生接受也符合學(xué)生學(xué)習(xí)、認(rèn)識事物的一般規(guī)律。

例如在學(xué)習(xí)環(huán)的同態(tài)基本定理后，可以給出下面一個自然的例子。

總之，在介紹抽象的概念和命題的時候，通過剖析一些具體的例子，由淺入深的對概念和命題給出解釋，將抽象的概念和命題具體化，有助于學(xué)生更好地理解和掌握抽象的概念和命題。

B．強調(diào)反例?！敖来鷶?shù)”學(xué)習(xí)過程中，眾多的概念和命題的理解需要層層剖析才能把握其本質(zhì)。對概念，不僅要理解概念本身，還要把握它的對立概念；而對于一些命題的條件和結(jié)論的把握更需要給出有力的反例來說明，從而使學(xué)生更加深刻的理解概念和命題的本質(zhì)。

例4 一個群G的子群N稱為其正規(guī)子群指的是對于?g∈G，均有g(shù)N=Ng。

反例 3次對稱群S3的子群H={(1),(12)}就不是其的正規(guī)子群，原因是

H(23)={(23),(123)}≠{(12),(132)}=(23)H。

例5 一個整環(huán)稱之主理想整環(huán)，指的是其每個理想均是由一個元素所生成的主理想。

反例 考慮整數(shù)環(huán)上的一元多項式環(huán)Z[x]，其理想<2,x>指的是Z[x]中所有常數(shù)項為偶數(shù)的多項式構(gòu)成的Z[x]的理想，它不是一個主理想，事實上，若設(shè)=<2,x>，則有2∈,x∈，從而f(x)=1，這與<2,x>指的是Z[x]中所有常數(shù)項為偶數(shù)的多項式構(gòu)成的Z[x]的理想矛盾！

例6 對于群中元素的階，有結(jié)論：若群中元素a的階為m，元素b的階為n，則當(dāng)ab=ba且(m,n)=1時，ab的階為mn。

另一方面，容易得到群中元素a與其逆元a-1具有相同的階，且自然有aa-1=a-1a=e。若a的階為m(>1)，則顯然有e的階為1，不等于m2，因而條件(2)不可少。

3 結(jié)束語

“近世代數(shù)”教學(xué)內(nèi)容順序上的調(diào)整是為了更好的使其跟前學(xué)課程銜接和體現(xiàn)本課程本原的想法?！敖来鷶?shù)”教學(xué)方法更是多種多樣，除了我們重點闡述需要加強的幾個方面，還有類比法、對比法以及一些其他傳統(tǒng)的教學(xué)方法的運用等。總體而言，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，“近世代數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上的改革必須貫徹以學(xué)生為主, 通過各種教學(xué)手段和教學(xué)方法的改進(jìn)來提高學(xué)生對該課程的學(xué)習(xí)興趣, 激發(fā)學(xué)生對本學(xué)科的學(xué)習(xí)熱情，鍛煉學(xué)生的邏輯思維、抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力以及發(fā)現(xiàn)問題的能力?！敖来鷶?shù)”課程的目標(biāo)是使學(xué)生通過本學(xué)科的學(xué)習(xí)了解代數(shù)學(xué)的基本思想，掌握代數(shù)學(xué)研究的基本方法, 把握具體與抽象、一般與特殊的辯證關(guān)系, 為后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作打好良好的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

[1] 郭華光, 徐祥, 裴定一．近世代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容的改革與實踐[J].廣州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003, 2(6)：587-590．[2] 袁玉卓，王驍力．關(guān)于近世代數(shù)課程教學(xué)的一些建議[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2012,11(9)：90-92.

[3] 章璞．伽羅瓦理論：天才的激情[M].北京：高等教育出版社，2013 .

[4] 楊子胥．近世代數(shù)[M]．2 版．北京：高等教育出版社，2003:31.

[5] 劉紹學(xué)．近世代數(shù)基礎(chǔ)[M]．北京：高等教育出版社，1999:13.

[6] 何立官，陳貴云，羅萍．近世代數(shù)中關(guān)于商群、商環(huán)乘法的理解[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012, 37(10)：31-34．

[責(zé)任編輯：張永軍]

Discussions on Education Reform ofModernAlgebras

ZHAO Zhi-bing

( School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China)

ModernAlgebrais one of the important basic courses for mathematical majors in high school．It’s contents included mainly basic properties and some related applications of some algebraic systems, such as groups ,rings and fields. In this paper, the characteristics ofModernAlgebraand the current course teaching situations are discussed．And we give some suggestions on how to improve the teaching quality inModernAlgebrateaching on teaching content and teaching methods by the author’s own teaching practice and experience in it．

ModernAlgebra; course teaching; education reform

2016-08-01

安徽省教育廳自然科學(xué)重點項目(KJ2015A101)、安徽大學(xué)研究性示范課程項目(J10118443005 )資助。

趙志兵(1979—),男，安徽桐城人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師、博士。

O153

A

2096-2371(2016)04-0123-04