水下復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)的固有頻率研究

楊 念， 陳爐云， 易 宏， 劉 勇

(1.上海交通大學(xué) 船建學(xué)院海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240； 2. 中船重工第七〇二研究所上海分部，上海 200011)

?

水下復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)的固有頻率研究

楊 念1， 陳爐云1， 易 宏1， 劉 勇2

(1.上海交通大學(xué) 船建學(xué)院海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240； 2. 中船重工第七〇二研究所上海分部，上海 200011)

研究水下結(jié)構(gòu)物的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，克服以往研究中只考慮整體均勻分布應(yīng)力的局限性。水下結(jié)構(gòu)因外部環(huán)境特殊常常處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力與流固耦合的共同作用使結(jié)構(gòu)的固有頻率求解變?yōu)橐粋€(gè)耦合非線性特征值問題，以往求解流固耦合的方法不再適用于此類問題。有限元方法也能處理此類問題，但存在處理過程復(fù)雜、計(jì)算量大、不能明確說明結(jié)構(gòu)應(yīng)力與動(dòng)力特性之間的本質(zhì)物理聯(lián)系等缺點(diǎn)。針對(duì)該問題用理論方法進(jìn)行了分析，首先基于Flügge殼體理論、考慮流固耦合作用、利用特定模態(tài)之間的正交性建立復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)自由運(yùn)動(dòng)方程，然后采用多項(xiàng)式近似結(jié)合二次型矩陣線性化的方法對(duì)此類結(jié)構(gòu)的固有頻率進(jìn)行求解。在數(shù)值算例中，計(jì)算了某水下圓柱殼的固有頻率，并對(duì)比和分析了不同類型的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)于水下結(jié)構(gòu)固有頻率的影響特點(diǎn)。

復(fù)雜應(yīng)力；流固耦合；結(jié)構(gòu)振動(dòng)；固有頻率

隨著水下工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化及工作環(huán)境的特殊性，在承受工況載荷之前，結(jié)構(gòu)中往往已經(jīng)存在著一定的應(yīng)力。這些應(yīng)力中有些是人為施加的，如橋梁、土木結(jié)構(gòu)中施加的預(yù)應(yīng)力；有些是在實(shí)際加工過程中不可避免的，如焊接殘余應(yīng)力、結(jié)構(gòu)制造缺陷、熱效應(yīng)等；有些是結(jié)構(gòu)因外部工作環(huán)境而產(chǎn)生的，如潛艇殼體中因外部水壓力而產(chǎn)生的殼體應(yīng)力、立管因復(fù)雜深海環(huán)境而產(chǎn)生的管體應(yīng)力等。這些應(yīng)力雖然產(chǎn)生原因和性質(zhì)特點(diǎn)各有不同：前兩類應(yīng)力是結(jié)構(gòu)在不受外力情況下產(chǎn)生，其應(yīng)力狀態(tài)是自平衡的；第三類應(yīng)力則是因外力作用產(chǎn)生的，其應(yīng)力狀態(tài)非自平衡，而是與外力平衡。但這些應(yīng)力有一個(gè)共同點(diǎn)：均在結(jié)構(gòu)承受工況載荷之前便已存在于結(jié)構(gòu)之中，屬于廣義上的預(yù)應(yīng)力。研究廣義預(yù)應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要內(nèi)容。

在廣義預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的固有頻率研究方面，DOONG[1]采用根據(jù)高階剪切變形理論推導(dǎo)了含預(yù)應(yīng)力矩形厚板的控制方程，并將計(jì)算得到的屈曲載荷和固有頻率與BRUNELLE等[2]進(jìn)行了比較。高永毅等[3]對(duì)有、無殘余應(yīng)力的平板的固有頻率進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證殘余應(yīng)力使構(gòu)件固有頻率發(fā)生變化。FUNG等[4]采用對(duì)振動(dòng)位移在時(shí)間和空間上進(jìn)行級(jí)數(shù)展開的方法，分析得到了含預(yù)應(yīng)力薄壁圓柱殼的固有頻率和振型。PENZES等[5]對(duì)于任意邊界條件的各向同向圓柱殼，推導(dǎo)了含初始扭矩、壓力、軸力以及轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的自由振動(dòng)精確解，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。劉志忠等[6]研究了流體靜壓對(duì)圓柱殼頻散特性和功率流的影響。FULLER等[7]建立了充液圓柱殼的自由振動(dòng)方程，研究了充液圓柱殼的頻散特性。張小銘等[8-9]利用波傳播方法分析了水下圓柱殼結(jié)構(gòu)和充液圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性。朱大同[10]以兩端簡支、端頭有剛性平面限制的圓柱殼為例，計(jì)算了空殼和充液殼的頻率，討論了各階頻率與周波數(shù)的關(guān)系。

但目前在含廣義預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域主要關(guān)注應(yīng)力呈整體均勻分布的情況，對(duì)于局部復(fù)雜應(yīng)力問題(應(yīng)力幅值隨位置變化而變)的研究比較少。陳爐云等[11]和劉勇[12]分別運(yùn)用變分原理和模態(tài)正交性開展了局部預(yù)應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性影響研究。盡管他們考慮了結(jié)構(gòu)因復(fù)雜應(yīng)力而產(chǎn)生的模態(tài)耦合，但并未考慮流固耦合的影響，因此結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程仍是一個(gè)線性方程，求解相對(duì)容易。

但是，實(shí)際水下工程結(jié)構(gòu)不僅應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜，同時(shí)還要考慮流固耦合對(duì)固有頻率的影響，當(dāng)同時(shí)考慮兩個(gè)影響因素時(shí)問題變得非常復(fù)雜：當(dāng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力非均布時(shí)，各個(gè)結(jié)構(gòu)模態(tài)之間會(huì)發(fā)生耦合，導(dǎo)致不能對(duì)單個(gè)模態(tài)進(jìn)行單獨(dú)的自由振動(dòng)分析，而必須對(duì)整個(gè)耦合矩陣方程進(jìn)行求解，得到耦合模態(tài)，張小銘等解決流固耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)的方法不再適用；如果再考慮流固耦合作用，又增加了非線性的問題，陳爐云等未考慮流固耦合的影響，其方法無法運(yùn)用在水下結(jié)構(gòu)物上。有限元方法[13]雖然能處理此類問題，但其不能明確說復(fù)雜應(yīng)力與動(dòng)力特性之間的本質(zhì)物理關(guān)系、不便于我們對(duì)復(fù)雜應(yīng)力的影響特點(diǎn)和規(guī)律進(jìn)行研究。同時(shí)有限元施加指定分布應(yīng)力的過程較為復(fù)雜、計(jì)算量大。

本文針對(duì)此問題，用理論方法進(jìn)行了分析?？紤]流固耦合作用，利用特定模態(tài)之間的正交特性，建立水下復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程，通過多項(xiàng)式近似結(jié)合二次型矩陣線性化的方法解決耦合矩陣的非線性特征值問題，計(jì)算并分析了不同類型的局部復(fù)雜應(yīng)力對(duì)水下結(jié)構(gòu)物固有頻率的影響特點(diǎn)。

1 理論分析

1.1 基本方程

本文以圓柱殼為例，推導(dǎo)水下復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 圓柱殼幾何模型Fig.1 Cylindrical shell

不考慮流固耦合時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力殼體自由振動(dòng)控制方程為:

(1a)

(1b)

(1c)

假設(shè)圓柱殼長度為l，邊界條件為兩端簡支，滿足邊界條件的位移可以表示成如下級(jí)數(shù)形式[14]：

(2)

式中:λ=π/l。

將式(2)代入式(1)，然后將式(1a)等號(hào)兩邊同時(shí)乘以cos(mλx)和cos(nφ)，式(1b)等號(hào)兩邊同時(shí)乘以sin(mλx)和sin(nφ)，式(1c)等號(hào)兩邊同時(shí)乘以sin(mλx)和cos(nφ)，利用三角函數(shù)正交性得：

(3a)

(3c)

式中:a為圓柱殼半徑。式(3)即為不考慮流固耦合時(shí)復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程。如果結(jié)構(gòu)無應(yīng)力，則通過正交性可實(shí)現(xiàn)全部解耦。但如果結(jié)構(gòu)含應(yīng)力，那應(yīng)力項(xiàng)C1、C2和C3是不能解耦的，所以他們?cè)谑?3)中以積分形式存在，將這些積分項(xiàng)分別設(shè)為K1、K2和K3，它們即表征復(fù)雜應(yīng)力對(duì)控制方程的影響。積分項(xiàng)K1、K2和K3的存在，表明各階結(jié)構(gòu)模態(tài)之間出現(xiàn)了耦合，不能再單獨(dú)計(jì)算某一階結(jié)構(gòu)模態(tài)，只能對(duì)整個(gè)耦合方程進(jìn)行求解，以得到耦合模態(tài)。

1.2 考慮流固耦合影響

本文考慮結(jié)構(gòu)浸沒在流體中的情況?？紤]流固耦合作用后，需在式(1c)中加入流體對(duì)結(jié)構(gòu)表面的壓力項(xiàng)Pf，式(1c)變?yōu)?

(1c’)

壓力項(xiàng)的表達(dá)式設(shè)為[15]:

(4)

由流體、固體在結(jié)構(gòu)表面速度連續(xù)，即邊界條件為:

(5)

把位移、壓力項(xiàng)表達(dá)式帶入邊界條件得：

(6)

因此可用位移系數(shù)表示流體對(duì)結(jié)構(gòu)表面的壓力項(xiàng)：

Pf=

則(3c)變?yōu)?

(3c’)

本文不考慮切應(yīng)力，只考慮正應(yīng)力。將復(fù)雜應(yīng)力表達(dá)式設(shè)為:

(8)

將式(8)代入K1、K2和K3，利用正交性對(duì)K1、K2和K3進(jìn)行處理(具體處理過程見附錄B)，處理后單階模態(tài)只和指定階模態(tài)發(fā)生耦合，和其他階模態(tài)之間可以實(shí)現(xiàn)解耦。最后將處理后的K1、K2和K3代入式(3)建立3M×N個(gè)方程，將其聯(lián)立為方程組并表示成矩陣形式:

(Λ+Rgj)X=0

(9)

式中:X={U1…U(m-1)×N+n…UM×N}T，U(m-1)×N+n=

當(dāng)結(jié)構(gòu)中應(yīng)力形式更加復(fù)雜時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力可用級(jí)數(shù)形式表示：

(10)

按照上述相同的方法，可以建立3M×N個(gè)方程，將其聯(lián)立成方程組并表示為矩陣形式：

(Λ+R)X=0

(11)

復(fù)雜應(yīng)力的級(jí)數(shù)項(xiàng)是線性相加關(guān)系，R可以表示為:

(12)

需要注意的是，大部分的分布函數(shù)(無論是自平衡還是非自平衡復(fù)雜應(yīng)力的分布形式)都可以用本文提供的級(jí)數(shù)去擬合。因此對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)中的自平衡和非自平衡復(fù)雜應(yīng)力，本文方法均可適用。

1.3 自由振動(dòng)

自由振動(dòng)求解，令式(11)的系數(shù)矩陣行列式為零：

(13)

Λ+R=B0+B1·ω+B2·ω2

(15)

式中:B0包含泰勒展開中的常數(shù)項(xiàng)和復(fù)雜應(yīng)力矩陣R；B1為泰勒展開中的ω的一次項(xiàng)系數(shù)矩陣；B2包含泰勒展開中的ω的二次項(xiàng)系數(shù)矩陣和未考慮流固耦合時(shí)的ω系數(shù)矩陣。這樣，原非線性特征值問題變?yōu)槎涡吞卣髦祮栴}，用第一類伴隨矩陣對(duì)式(15)進(jìn)行線性化處理[16-17]：

(16)

式中:I為單位矩陣。經(jīng)過線性化處理后得到一般特征值問題(Generalized Eigenvalue Problem，GEP)，最后對(duì)此一般特征值問題進(jìn)行求解得到固有頻率和耦合模態(tài)陣型。

2 算例分析

2.1 方法正確性驗(yàn)證

表1 解析方法與有限元方法計(jì)算結(jié)果Tab.1 The result form analytical method and finite element method

圖2 圓柱殼模型圖Fig.2 Cylinder model

圖3 圓柱殼軸向預(yù)應(yīng)力分布形式Fig.3 Cylindrical shell axial initial stress distribution

通過表1可以發(fā)現(xiàn)，有限元計(jì)算結(jié)果和解析方法計(jì)算結(jié)果基本吻合，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。

2.2 算例模型

本節(jié)用本文方法計(jì)算某水下復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)的固有頻率，并分析不同分布的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)固有頻率的影響特點(diǎn)。需要說明的是，本文所有應(yīng)力分布均屬于結(jié)構(gòu)整體分布。所選用模型與2.1節(jié)相同。另外考慮流體影響，水的密度ρf=1 000 kg/m3；水中聲速c=1 500 m/s。

表2 固有頻率對(duì)比Tab.2 Natural frequency comparison

圖4 復(fù)雜應(yīng)力分布圖Fig.4 Complex stress distribution

從表2可以看出復(fù)雜應(yīng)力對(duì)水下圓柱殼自然頻率影響明顯，影響程度隨著應(yīng)力幅值的增加而增大，因此當(dāng)水下結(jié)構(gòu)中的復(fù)雜應(yīng)力幅值達(dá)到一定程度時(shí)，其對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響將不能忽視。以下各節(jié)將從不同方面研究不同類型的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響特點(diǎn)。為使問題研究更具針對(duì)性，2.3～2.5節(jié)均只考慮單向變化應(yīng)力，并且都選用2.1節(jié)中的模型。

2.3 應(yīng)力方向?qū)逃蓄l率的影響規(guī)律研究

本節(jié)研究軸向與周向復(fù)雜應(yīng)力對(duì)于結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律。計(jì)算工況如表3所示，分別比較這幾種工況下結(jié)構(gòu)的前八階固有頻率計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表3 工況表Tab.3 Case table

表4 固有頻率對(duì)比Tab.4 Natural frequency comparison

從表4可以看出，軸、環(huán)向拉應(yīng)力使結(jié)構(gòu)固有頻率上升，壓應(yīng)力使結(jié)構(gòu)固有頻率下降，這與相關(guān)文獻(xiàn)中得到的影響規(guī)律是一致的[18-21]。其中環(huán)向應(yīng)力對(duì)固有頻率的影響更大，因此在實(shí)際水下工程中對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)特別注意環(huán)向應(yīng)力的控制。這一點(diǎn)容易解釋，結(jié)構(gòu)在環(huán)向剛度更低，臨界應(yīng)力更低，因而結(jié)構(gòu)固有頻率對(duì)于環(huán)向應(yīng)力的改變更為敏感。

2.4 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)與均勻應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)構(gòu)固有頻率對(duì)比研究

本節(jié)研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)與均勻應(yīng)力狀態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。計(jì)算工況如表5所示，本節(jié)分別計(jì)算了結(jié)構(gòu)在非自平衡復(fù)雜應(yīng)力(模擬受外力結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài))及自平衡復(fù)雜應(yīng)力下(模擬含預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài))的固有頻率，并與2.3節(jié)中的代表均勻應(yīng)力狀態(tài)的工況3、4進(jìn)行比較。這幾種復(fù)雜應(yīng)力分布形式均為三角函數(shù)，具體分布如圖5所示。比較這幾種工況下結(jié)構(gòu)的前八階固有頻率，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表5 工況表Tab.5 Case table

表6 固有頻率對(duì)比Tab.6 Natural frequency comparison

圖5 應(yīng)力分布圖Fig.5 Stress distribution

從表6可以看出，本節(jié)所選的復(fù)雜應(yīng)力類型對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響程度相對(duì)于均勻應(yīng)力略小，可能是因?yàn)樗x復(fù)雜應(yīng)力在作用區(qū)域積分后總的數(shù)值小于均勻應(yīng)力的總值造成的。而總值相等、分布類型不同的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)的影響情況將在2.5節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)研究。此外，自平衡應(yīng)力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的固有頻率幾乎沒有變化，該現(xiàn)象同樣可用前面積分總值的理論進(jìn)行解釋。可見，相較于均勻應(yīng)力，接近實(shí)際結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響特點(diǎn)更為復(fù)雜，有必要進(jìn)行深入研究。

2.5 復(fù)雜應(yīng)力分布形式對(duì)固有頻率的影響研究

本節(jié)研究不同分布形式的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)于結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。選用模型同前面一樣，計(jì)算工況如表7所示，復(fù)雜應(yīng)力分布如圖6、7所示，工況13、14、15比較了幾種幅值相同、周期不同的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)固有頻率的影響；把工況16、17、18和2.4節(jié)中的工況5放在一起，比較了幾種應(yīng)力集中度不同的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)固有頻率的影響，這三種工況的應(yīng)力在結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)積分的數(shù)值相等。計(jì)算結(jié)果如表8所示。

圖6 應(yīng)力分布圖1Fig.6 Stress distribution 1

圖7 應(yīng)力分布圖2Fig.7 Stress distribution 2表7 工況表Tab.7 Case table

工況應(yīng)力方向分布特征細(xì)化特征應(yīng)力幅值/Mpa工況13環(huán)向自平衡復(fù)雜應(yīng)力4個(gè)半波10工況14環(huán)向自平衡復(fù)雜應(yīng)力8個(gè)半波10工況15環(huán)向自平衡復(fù)雜應(yīng)力12個(gè)半波10工況5環(huán)向復(fù)雜拉應(yīng)力應(yīng)力集中度低10工況16環(huán)向復(fù)雜拉應(yīng)力應(yīng)力集中度中10工況17環(huán)向復(fù)雜拉應(yīng)力應(yīng)力集中度高10工況18環(huán)向均勻拉應(yīng)力應(yīng)力集中度最低20/π

表8 固有頻率對(duì)比Tab.8 Natural frequency comparison

從本節(jié)計(jì)算結(jié)果可以看出，在復(fù)雜應(yīng)力幅值相同時(shí)，周期應(yīng)力的周期大小對(duì)于結(jié)構(gòu)固有頻率的影響不大。此外，當(dāng)復(fù)雜應(yīng)力在結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)積分總值相等時(shí)，應(yīng)力集中度不同會(huì)在一定程度上影響：應(yīng)力集中度越高，對(duì)固有頻率的影響越小。但總的說來，應(yīng)力集中度對(duì)固有頻率的影響并不顯著。另外值得注意的是，應(yīng)力集中度對(duì)固有頻率的影響雖不明顯，但對(duì)結(jié)構(gòu)的其他性能(比如管壁應(yīng)力極值、強(qiáng)度、穩(wěn)定性)卻可能產(chǎn)生較大影響，實(shí)際結(jié)構(gòu)中應(yīng)當(dāng)注意這方面的影響。

3 結(jié) 論

文章基于Flügge殼體理論，運(yùn)用特定模態(tài)之間的正交關(guān)系，實(shí)現(xiàn)模態(tài)的部分解耦。并考慮流固耦合作用，推導(dǎo)了水下復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程，采用多項(xiàng)式近似結(jié)合二次型矩陣線性化的方法求解該非線性特征值問題。運(yùn)用本文方法對(duì)不同類型復(fù)雜應(yīng)力的影響情況進(jìn)行了計(jì)算與分析，計(jì)算發(fā)現(xiàn)：環(huán)向應(yīng)力對(duì)圓柱殼固有頻率影響更大，在實(shí)際水下工程中對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)特別注意環(huán)向應(yīng)力的控制；在作用區(qū)域內(nèi)積分總值更大的復(fù)雜應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響更大；當(dāng)應(yīng)力積分總值一定時(shí)，應(yīng)力分布周期及應(yīng)力集中度對(duì)結(jié)構(gòu)的影響不大；此外，自平衡復(fù)雜應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)影響較小，但這一點(diǎn)還不能完全確定，如3.1節(jié)中的復(fù)雜應(yīng)力在作用區(qū)域內(nèi)也是自平衡的，但其對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率仍有較大影響，因此復(fù)雜應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)的影響特點(diǎn)還需進(jìn)行更加深入的研究。

通過本文研究表明，結(jié)構(gòu)中存在的復(fù)雜應(yīng)力會(huì)影響其固有頻率，不同類型的復(fù)雜應(yīng)力其對(duì)于結(jié)構(gòu)固有頻率的影響程度和特點(diǎn)不同，與均勻應(yīng)力的情況相比更為復(fù)雜，需深入研究各類復(fù)雜應(yīng)力所帶來的影響。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)物中的應(yīng)力一般都為非均勻分布，以往只研究均勻分布應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。在今后研究中應(yīng)結(jié)合水下工程結(jié)構(gòu)物的實(shí)際應(yīng)力分布特點(diǎn)開展復(fù)雜應(yīng)力結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的研究。

[1] DOONG J L. Vibration and stability of an initially stressed thick plate according to a high-order deformation theory[J]. Journal of Sound and Vibration, 1987, 113(3): 425-440.

[2] BRUNELLE E J, ROBERTSON S R. Vibrations of an initially stressed thick plate[J]. Journal of Sound and Vibration, 1976, 45(3): 405-416.

[3] 高永毅，劉德順. 利用試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析進(jìn)行殘余應(yīng)力評(píng)估的研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2005, 24(5)：111-114. GAO Yongyi, LIU Deshun. Studies on estimation of residual stress using modal analysis[J]. Journal of Vibration and Shock,2005, 24(5)：111-114.

[4] FUNG Y C, SEEHLER E E, KAPLAN A. On the vibration of thin cylindrieal shells under intemal pressure[J]. Journal of the Aeronautical Science, 1957, 24(9): 650-660.

[5] PENZES L E, KRAUS H. Free vibration of initial stressed cylindrical shells having arbitrary homogeneous boundary conditions[J]. AIAA Journal, 1972, 10(10): 1309-1341.

[6] LIU Z, LI T, ZHU X, et al. The effect of hydrostatic pressure fields on the dispersion characteristics of fluid-shell coupled system[J]. Journal of Marine Science and Application, 2010, 9(2): 129-136.

[7] FULLER C R. The effects of wall diseontinuities on the propagation of flexural waves in cylindrieal shells[J]. Joumal of Sound and Vibration, 1981, 75(2): 207-228.

[8] ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Vibration analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 239(3): 397-403.

[9] ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Frequency analysis of cylindrical panels using a wave propagation approach[J]. Applied Acoustics, 2001, 62(5): 527-543.

[10] 朱大同. 充液圓柱殼的自振特性[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 1984, 16(2): 141-150. ZHU Datong. On the free vibration of a circular cylindrical shell filled with liquied[J].Theoretical & Applied Mechanics,1984, 16(2): 141-150.

[11] 陳爐云, 李磊鑫, 張?jiān)７? 含局部預(yù)應(yīng)力的圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射特性分析[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 48(8): 78-64. CHEN Luyun, LI Leixing, ZHANG Yufang. Characteristics anylysis of structural-acoustic of cylinder shell with prestress in local areas[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University,2014, 48(8) : 78-64.

[12] 劉勇. 復(fù)雜預(yù)應(yīng)力對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性影響研究[D]. 上海：上海交通大學(xué), 2014.

[13] 熊健民，周俊榮，周金枝. 基于 ANSYS 預(yù)應(yīng)力簡支梁固有頻率的研究[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29: 158-161. XIONG Jianmin, ZHOU Junrong, ZHOU Jinzhi. Research of pre-stress simple-supported beam’s natural frequency based on ansys[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2008, 29: 158-161.

[14] 何祚鏞. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射[M]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社, 2001.

[15] ZHANG X M. Frequency analysis of submerged cylindrical shells with the wave propagation approach[J]. Mechanical Science, 2002, 44(7): 1259-1273.

[16] KIRKUP S M, AMINI S. Solution of the Helmholtz eigenvalue problem via the boundary element method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1993, 36(2): 321-330.

[17] GIORDANO J A, KOOPMANN G H. State space boundary element-finite element coupling for fluid-structure interaction analysis[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1995, 98(1): 363-372.

[18] 曹志遠(yuǎn). 板殼振動(dòng)理論[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 1989.

[19] 張耀庭，汪霞麗，李瑞鴿. 預(yù)應(yīng)力梁固有頻率的試驗(yàn)研究[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 35(2): 12-15. ZHANG Yaoting, WANG Xiali, LI Ruige. Experimental research on nature frequency of prestressed concrete beams [J]. Journal of Huazhong University of Science & Technology,2007, 35(2): 12-15.

[20] 張耀庭，汪霞麗，李瑞鴿. 全預(yù)應(yīng)力梁振動(dòng)頻率的理論分析與試驗(yàn)研究[J]. 工程力學(xué), 2007, 24(8): 116-120. ZHANG Yaoting, WANG Xiali, LI Ruige. Experimental and theoretical research on vibration frequency of full-prestressed concrete beam[J].Engineering Mechanics, 2007, 24(8): 116-120.

[21] 姜?jiǎng)艞?，王柏? 預(yù)應(yīng)力梁、板彎曲振動(dòng)固有頻率的研究[C]// 第五屆全國結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集(第二卷),1996.

附錄A

L1,L2,L3,C1,C2,C3的具體表達(dá)式如下：

附錄B

附錄C

A(m-1)×N+n中的元素為：

附錄D

Natural frequencies of underwater complex stress structures

YANG Nian1, CHEN Luyun1, YI Hong1, LIU Yong2

(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai JiaoTong University, Shanghai 200240, China;2. Ship Scientific Research Center of China, Shanghai Branch, Shanghai 200011, China)

The influence of the complex stress in underwater structure on its natural frequency was discussed and the limitation of the assumption of overall uniform stress distribution in former studies was revealed: the stresses in underwater structures are often very complex because of their working environment. The coaction of complex stress and fluid-structure coupling offers a nonlinear eigenvalue problem which is difficult to solve. An underwater cylindrical shell was taken as an example and based on the Flügge shell theory, considering the fluid-structure interaction and making use of the orthogonality of specific order modes, the dynamic equation of the structure was derived. The stress-caused coupled fluid structure modes were calculated by means of the polynomial approximation and quadratic matrix linearization. In the case study, the natural frequencies of structures with different types of stresses were calculated and the influence characteristics of different types of stresses were analysed and compared.

complex stress; fluid-structure interaction; structure vibration; natural frequency

2015-05-07 修改稿收到日期：2015-10-26

楊念 男，博士生，1989年3月生

易宏 男，教授,博士生導(dǎo)師，1962年5月生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.015