共軛梯度最小二乘迭代正則化算法在沖擊載荷識(shí)別中的應(yīng)用

盧立勤， 喬百杰， 張興武， 陳雪峰

(1西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049； 2中國(guó)船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094)

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共軛梯度最小二乘迭代正則化算法在沖擊載荷識(shí)別中的應(yīng)用

盧立勤1,2， 喬百杰1， 張興武1， 陳雪峰1

(1西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049； 2中國(guó)船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094)

結(jié)構(gòu)動(dòng)載荷識(shí)別反問(wèn)題是典型的病態(tài)問(wèn)題，需要應(yīng)用正則方法克服其病態(tài)特性而獲得穩(wěn)定的解。與直接正則化算法Tikhonov方法相比，共軛梯度最小二乘 (Conjugate Gradient Least Squares, CGLS) 迭代算法在載荷識(shí)別反問(wèn)題的正則化過(guò)程有無(wú)須對(duì)傳遞矩陣求逆、無(wú)須明確正則化參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。提出共軛梯度最小二乘迭代正則化算法和啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則，用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷識(shí)別，并與經(jīng)典的Landweber迭代正則化算法和直接正則化算法Tikhonov方法比較。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：CGLS迭代正則化算法在識(shí)別精度、收斂速度、計(jì)算效率和抗噪性方面有明顯優(yōu)勢(shì)。

共軛梯度最小二乘算法；Landweber算法；沖擊載荷識(shí)別；正則化

機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)載荷識(shí)別在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)、可靠性分析和振動(dòng)主動(dòng)控制等領(lǐng)域中起著關(guān)鍵性作用[1-2]。在工程實(shí)際中，如飛機(jī)機(jī)翼、風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片等復(fù)合材料結(jié)構(gòu)易遭受到外來(lái)物的沖擊而產(chǎn)生缺陷[3]。然而，受安裝空間所限，目前技術(shù)難以對(duì)作用于結(jié)構(gòu)的外載荷直接測(cè)量或計(jì)算。因而人們不得不研究間接的載荷測(cè)量方法。載荷識(shí)別作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的第二類反問(wèn)題，是一個(gè)典型的病態(tài)問(wèn)題，需要用正則化方法來(lái)克服載荷識(shí)別反問(wèn)題的病態(tài)特性。

一般來(lái)說(shuō)，載荷識(shí)別正則化方法分為頻域法和時(shí)域法。經(jīng)典的頻域載荷識(shí)別方法，需要在各個(gè)頻點(diǎn)對(duì)頻響函數(shù)矩陣求逆，且對(duì)低頻、沖擊載荷識(shí)別精度較低[4]。時(shí)域載荷識(shí)別方法不同于傳統(tǒng)的頻域法，根據(jù)載荷與系統(tǒng)傳遞函數(shù)之間的卷積關(guān)系，通過(guò)解卷積獲取載荷的時(shí)域離散信號(hào)，能夠處理瞬態(tài)信號(hào)，因而可實(shí)現(xiàn)沖擊載荷的識(shí)別[5-6]。目前廣泛應(yīng)用的求解反問(wèn)題的正則化方法有截?cái)嗥娈惙纸?、Tikhonov、迭代以及基函數(shù)展開(kāi)等方法[7]。迭代正則化算法如Landweber和共軛梯度迭代正則化算法不同于截?cái)嗥娈愔捣纸狻ikhonov正則化方法，有不涉及傳遞矩陣求逆運(yùn)算和不需要明確正則化參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，迭代過(guò)程即是正則化的過(guò)程，而被廣泛應(yīng)用在反問(wèn)題求解中，但在載荷識(shí)別中的應(yīng)用較少。

近二十年來(lái)，沖擊載荷識(shí)別作為反問(wèn)題得到廣泛的關(guān)注。GHAJARI等[8]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)用于識(shí)別作用在復(fù)合材料板的沖擊力。然而，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量的樣本數(shù)據(jù)，這在實(shí)際應(yīng)用中往往是不可實(shí)現(xiàn)的。LI等利用小波多分辨率的特性，重構(gòu)作用于簡(jiǎn)單梁結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)諧和沖擊載荷。QIAO等應(yīng)用三次B樣條尺度函數(shù)和三次B樣條函數(shù)逼近作用在懸臂梁、殼結(jié)構(gòu)的沖擊載荷[9]。王林軍[10]將改進(jìn)的Tikhonov正則化方法用于識(shí)別不同類型的動(dòng)載荷，仿真算例表明優(yōu)于Tikhonov正則化方法。然而，上述基函數(shù)展開(kāi)法為了逼近動(dòng)載荷需要確定基函數(shù)數(shù)目。常曉通等將Landweber迭代算法應(yīng)用于橋梁模型的載荷識(shí)別，仿真結(jié)果表明識(shí)別精度可以滿足工程要求的穩(wěn)定近似解[11]。共軛梯度最小二乘迭代(Conjugate Gradient Least Squares, CGLS)算法是在共軛梯度(Conjugate Gradient, CG)算法的基礎(chǔ)上，用于求解非對(duì)稱和非正定系統(tǒng)方程[12]。CGLS作為一種高效的迭代正則化算法已經(jīng)被用在醫(yī)學(xué)成像[13]、數(shù)值傳熱學(xué)[14]等領(lǐng)域。

本文將CGLS迭代正則化算法應(yīng)用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷識(shí)別中，并與經(jīng)典的Landweber迭代正則化算法作對(duì)比。然而，CGLS迭代正則化算法屬于“半收斂”算法，即隨著迭代步數(shù)的增加其解快速逼近最優(yōu)解，然后再逐漸偏離最優(yōu)解。為此，本文給出了CGLS迭代算法的啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則，可以最大精度的確定最優(yōu)迭代步數(shù)。

1 載荷識(shí)別反問(wèn)題模型

(1)

式中，y(t)為系統(tǒng)響應(yīng)，如加速度、速度、位移和應(yīng)變等物理量，f(t)為激振力。傳遞函數(shù)h(t)表征機(jī)械系統(tǒng)輸入與輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系，也就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。式(1)描述的是一個(gè)正問(wèn)題，即已知系統(tǒng)激勵(lì)和傳遞函數(shù)求響應(yīng)。對(duì)于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)，需要應(yīng)用反問(wèn)題分析方法來(lái)確定作用在結(jié)構(gòu)上的未知激振力。由于實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù)，在計(jì)算中，需要先將連續(xù)的問(wèn)題(1)進(jìn)行離散處理：

(2)

式中，Δt為時(shí)間采樣步長(zhǎng)，N為采樣點(diǎn)數(shù)。進(jìn)一步，式(2)可以用矩陣和矢量寫(xiě)成如下的緊湊形式：

Hf=y

(3)

式中，待識(shí)別載荷向量f∈RN，系統(tǒng)響應(yīng)向量y∈RN。傳遞矩陣H∈RN×N是一個(gè)具有Toeplitz結(jié)構(gòu)的下三角矩陣。由于傳遞矩陣H條件數(shù)很大，且實(shí)際測(cè)量的響應(yīng)信號(hào)y總是包含噪聲，導(dǎo)致很小的干擾就可以產(chǎn)生巨大的求解偏差。因此，載荷識(shí)別是典型的病態(tài)問(wèn)題，直接對(duì)式(3)中的傳遞矩陣H求逆是不合適的。病態(tài)問(wèn)題的上述特征并不意味著病態(tài)問(wèn)題不可解，而是傳統(tǒng)的線性代數(shù)的方法如高斯消去法、LU、QR分解法等無(wú)法直接應(yīng)用于此類問(wèn)題的求解。為使所求解有意義，一般借助正則化技術(shù)來(lái)獲得近似解。

2 迭代正則化算法

迭代正則化算法是按照某種規(guī)則構(gòu)造一組向量序列fm，使其為式(3)的較精確的近似解。迭代正則化算法具有以下優(yōu)點(diǎn)：迭代過(guò)程無(wú)須明確正則化參數(shù)，其迭代步數(shù)就有正則化的效果，且無(wú)須對(duì)矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算。本文著重研究Landweber和CGLS兩種迭代正則化算法在載荷識(shí)別中的應(yīng)用，并與經(jīng)典的Tikhonov正則化方法比較。

2.1 Landweber迭代算法

Landweber迭代正則化算法的基本格式：

fm=fm-1+ωHT(y-Hfm-1)

(4)

2.2 CGLS迭代算法

CGLS是由CG算法發(fā)展而來(lái)。CG適用于良態(tài)(Well-Conditioned)系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)矩陣是對(duì)稱的且非奇異的，導(dǎo)致CG具有良好的收斂性。CGLS是求解大維數(shù)病態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)秀迭代算法，此時(shí)系統(tǒng)矩陣可以是非對(duì)稱和奇異的。然而，當(dāng)CGLS求解病態(tài)反問(wèn)題時(shí)，其收斂呈現(xiàn)出“半收斂”特性，即隨著迭代步數(shù)的增加其解快速逼近最優(yōu)解，然后逐漸偏離最優(yōu)解。因此，如何及時(shí)確定CGLS迭代步數(shù)進(jìn)而獲得正則化解是非常重要。實(shí)際上，精確的預(yù)測(cè)CGLS的迭代步數(shù)是非常困難的。

CGLS迭代正則化算法的基本思想是將共軛梯度法應(yīng)用于求解下面的最小值問(wèn)題：

(5)

由于CG迭代算法要求傳遞矩陣H是對(duì)稱正定的，對(duì)式(3)兩邊乘以HT，獲得正規(guī)方程：

HTHf=HTy

(6)

此時(shí)系數(shù)矩陣A=HTH是對(duì)稱正定的。共軛梯度法用來(lái)求解非對(duì)稱問(wèn)題，獲得正規(guī)方程，稱為共軛梯度最小二乘法。CGLS迭代算法的基本流程如下：

初始化:f0=0,r0=y-Hf0,d0=HTr0,m=1

(7)

步驟 2fm=fm-1+αmdm-1

(8)

步驟 3rm=rm-1-amHdm-1

(9)

(10)

步驟 5dm=HTrm+βmdm-1

(11)

m=m+1

(12)

式中，m為迭代步數(shù)，αm為迭代步長(zhǎng)，rm為殘差向量，βm為共軛系數(shù)，dm為迭代搜索方向?？芍?，CGLS迭代過(guò)程中僅僅涉及到矢量與矩陣H或者HT的乘積運(yùn)算，迭代步數(shù)m扮演著正則化參數(shù)的角色。每次迭代結(jié)果fm都可以認(rèn)為是一個(gè)正則化解，即將原來(lái)的系數(shù)矩陣A=HTH投影到較小的m維子空間進(jìn)行計(jì)算得到。

值得注意的是CGLS迭代算法是半收斂算法，不合適的迭代步數(shù)易造成“過(guò)估計(jì)”或“欠估計(jì)”。因此，在迭代過(guò)程中，迭代步數(shù)m的選取非常重要。當(dāng)測(cè)量響應(yīng)的噪聲信息可知的情況下，偏差準(zhǔn)則(Discrepancy Principle)可以用來(lái)確定迭代步數(shù)。然而在實(shí)際應(yīng)用中，噪聲信息是不可獲取的。HANKE提出了CGLS的啟發(fā)式迭代終止準(zhǔn)則，并應(yīng)用在解決圖像重構(gòu)反問(wèn)題中。其研究結(jié)果表明，啟發(fā)式終止準(zhǔn)則確定的正則化解稍微小于最優(yōu)正則化解。而在實(shí)際應(yīng)用中，這種微小差距是可以忽略的。

本文將CGLS和啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則應(yīng)用到載荷識(shí)別反問(wèn)題領(lǐng)域。構(gòu)造如下的啟發(fā)式迭代終止準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)：

(13)

(14)

3 仿真算例：三自由度系統(tǒng)沖擊載荷識(shí)別

為了評(píng)價(jià)所提方法相對(duì)已有載荷識(shí)別方法在計(jì)算精度、計(jì)算速度和抗干擾性方面的優(yōu)勢(shì)，首先，一個(gè)三自由度仿真模型(見(jiàn)圖1)被采用。除了本文介紹的兩種迭代正則化方法，作為被廣泛應(yīng)用的Tikhonov正則化方法也將用來(lái)識(shí)別沖擊載荷。其中，Tikhonov方法的正則化參數(shù)由交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則確定。關(guān)于Tikhonov和交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則的介紹，可參考文獻(xiàn)[7]。

圖1 三自由度系統(tǒng)沖擊載荷識(shí)別Fig.1 The three-degrees-of-freedom system applied for impact load identification

為了定量評(píng)價(jià)兩種迭代算法以及Tikhonov正則化方法所識(shí)別載荷的精度，定義真實(shí)載荷和正則化載荷間的相對(duì)誤差為:

(15)

式中，fexact和fidentified分別為真實(shí)載荷和正則化算法識(shí)別的載荷。對(duì)于沖擊載荷識(shí)別而言，沖擊載荷的峰值力是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)一個(gè)重要指標(biāo)，定義峰值相對(duì)誤差為：

(16)

3.1 問(wèn)題描述

用于沖擊載荷識(shí)別的三自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)仿真模型如圖1所示。仿真參數(shù)設(shè)置如下：四個(gè)彈簧剛度系數(shù)k1=k4=32 000 N/m和k2=k3=16 000 N/m；三個(gè)點(diǎn)質(zhì)量m1=m2=m3=1 kg；四個(gè)阻尼系數(shù)c1=c4=100 Ns/m和c2=c3=50 Ns/m。對(duì)于離散點(diǎn)質(zhì)量系統(tǒng)，其系統(tǒng)控制方程如下：

f(t)=e(-10 000π(t-0.2)2)

(18)

點(diǎn)質(zhì)量m1的位移響應(yīng)，用來(lái)反演作用在點(diǎn)質(zhì)量m2的沖擊力f(t)。仿真時(shí)間為1s，采樣頻率為2 500 Hz， 傳遞矩陣H維數(shù)為2 500。計(jì)算環(huán)境為Matlab (R2012a)、Win7 32位、內(nèi)存4G和CPU i5-3450。系統(tǒng)響應(yīng)由Newmark算法實(shí)現(xiàn)。首先，令f(t)=δ(t)，應(yīng)用Newmark算法計(jì)算得到離散的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，進(jìn)而獲得傳遞矩陣H。傳遞矩陣的條件數(shù)高達(dá)3.26E+007，表明該載荷識(shí)別反問(wèn)題是嚴(yán)重病態(tài)的。

考慮到噪聲是載荷識(shí)別無(wú)法回避的，一個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)噪聲被添加到位移響應(yīng)中，即：

yδ=y+e=y+εstd(y)η

(19)

式中，yδ為含噪聲響應(yīng)數(shù)據(jù)，y為Newmark算法計(jì)算得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)，e為白噪聲，η為服從區(qū)間(-1,1)均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，std(y)為真實(shí)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方差。研究不同噪聲水平下三種正則化方法的載荷識(shí)別精度，噪聲水平ε分別設(shè)定為5%, 10% 和20%。值得注意的是：除了人為添加的白噪聲之外，響應(yīng)數(shù)據(jù)中還包含Newmark的數(shù)值計(jì)算誤差。

3.2 分析與討論

以噪聲水平10%為例，圖2顯示了CGLS和Landweber (LW) 迭代過(guò)程。其中CGLS的最大迭代步數(shù)為50，Landweber最大迭代步數(shù)為200。Tikhonov(Tikh)方法的可選正則化參數(shù)數(shù)目為200。從圖2(a)可知，CGLS的啟發(fā)式終止準(zhǔn)則在第22步達(dá)到最小，隨后緩慢上升；從圖2(b)可知，CGLS的迭代過(guò)程的相對(duì)誤差在第26步達(dá)到最小值，隨后緩慢上升，符合“半收斂”迭代算法特點(diǎn)，而Landweber迭代算法在200步內(nèi)尚未收斂。經(jīng)過(guò)反復(fù)計(jì)算，本算例Landweber算法在500步左右趨向收斂。CGLS的收斂速度遠(yuǎn)快于Landweber方法。對(duì)比圖2(a)和圖2(b)，可知啟發(fā)式終止準(zhǔn)則可以用來(lái)確定CGLS的正則化迭代步數(shù)。

三種正則化方法的識(shí)別結(jié)果如圖3所示。在沖擊載荷的加載區(qū)，三種方法的識(shí)別結(jié)果均可以與真實(shí)載荷吻合，而在非加載區(qū)，CGLS和Landweber優(yōu)于Tikhonov方法。而從圖中很難辨認(rèn)哪一種方法精度更高。表1列舉了三種噪聲水平下，CGLS、Landweber和Tikhonov三種正則化方法的比較結(jié)果。將真實(shí)載荷作為參考，利用式(15)可以計(jì)算每個(gè)迭代步的相對(duì)誤差，其中最小相對(duì)誤差和對(duì)應(yīng)的峰值誤差和迭代步數(shù)可確定。從表1可知，隨著噪聲程度的增加，三種方法的識(shí)別精度都在下降，且正則化迭代步數(shù)也有不同程度下降。比較三種噪聲水平識(shí)別結(jié)果，CGLS的最小相對(duì)誤差和峰值誤差均低于其他兩種方法；而Landweber優(yōu)于Tikhonov方法。當(dāng)考慮正則化準(zhǔn)則時(shí)，CGLS的正則化相對(duì)誤差和峰值誤差亦均低于其他兩種方法；而Landweber亦優(yōu)于Tikhonov方法。比較三種方法的計(jì)算時(shí)間，可知GCLS遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩種方法。同時(shí)，CGLS識(shí)別結(jié)果的最小相對(duì)誤差和正則化相對(duì)誤差相差很小，且迭代步數(shù)相差亦不大，因此，啟發(fā)式終止準(zhǔn)則可以用來(lái)確定CGLS迭代算法的正則化代步數(shù)。

圖2 在噪聲水平10%情況下，CGLS和Landweber迭代過(guò)程Fig.2 The iteration history of CGLS and Landweber with the noise level 10%

圖3 在噪聲水平10%情況下，CGLS、Landweber和 Tikhonov正則化方法的載荷識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of the identified forces by CGLS, Landweber and Tikhonov regularization methods under the noise level 10%表1 不同噪聲水平下，CGLS、Landweber 和Tikhonov正則化方法對(duì)比Tab. 1The comparison among CGLS, Landweber and Tikhonov regularization methods with different noise levels

噪聲水平/%方法最小相對(duì)誤差/%最優(yōu)峰值誤差/%最優(yōu)迭代步數(shù)正則化相對(duì)誤差/%正則化峰值誤差/%正則化迭代步數(shù)耗時(shí)/sCGLS1.730.12301.940.04250.835LW4.830.415004.990.223007.20Tikh4.601.98-9.851.65-10.39CGLS3.330.24263.770.06220.8210LW5.890.275006.760.993007.69Tikh7.372.69-13.731.86-10.28CGLS6.480.502510.231.01170.8320LW8.660.1450011.651.183007.57Tikh11.854.52-19.261.80-10.55

4 試驗(yàn)驗(yàn)證：殼結(jié)構(gòu)沖擊載荷識(shí)別

4.1 殼結(jié)構(gòu)沖擊載荷試驗(yàn)介紹

選擇一端自由一端固定的殼結(jié)構(gòu)作為沖擊載荷識(shí)別的試驗(yàn)對(duì)象。敲擊點(diǎn)和加速度傳感器布置如圖4所示。懸臂殼結(jié)構(gòu)材料為45鋼，其幾何尺寸為圓心角90°、長(zhǎng)500 mm、半徑200 mm、厚5 mm。物理參數(shù)為彈性模量210 Gpa、泊松比0.31、密度7 850 kg/m3。懸臂殼結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率分別為19 Hz、201 Hz和374 Hz。型號(hào)為PCB 086C01(靈敏度 12.37 mV/N)沖擊力錘作用于F點(diǎn)，其錘擊端內(nèi)嵌力傳感器可以保證實(shí)時(shí)測(cè)量沖擊力大小，作為參考信號(hào)計(jì)算識(shí)別載荷的相對(duì)誤差。安裝于R點(diǎn)的加速度傳感器(PCB 333B32 100 mV/g)，實(shí)時(shí)測(cè)量沖擊響應(yīng)。沖擊試驗(yàn)時(shí)，加速度信號(hào)和力信號(hào)由LMS SCADASIII數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)同步記錄，采樣頻率為2 048 Hz。載荷識(shí)別過(guò)程分為三個(gè)基本步驟：測(cè)量系統(tǒng)傳遞函數(shù)、測(cè)量系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)和應(yīng)用正則化方法識(shí)別未知?jiǎng)虞d荷。

圖4 殼結(jié)構(gòu)沖擊載荷識(shí)別Fig.4 The shell structure applied for impact load identification

精準(zhǔn)地建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)精確地識(shí)別動(dòng)載荷是至關(guān)重要的。機(jī)械系統(tǒng)的傳遞特性可通過(guò)解析法[16]、數(shù)值法以及試驗(yàn)法獲取。其中，模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試頻響函數(shù)，可適用于各類復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)，且較為成熟，可操作性強(qiáng)。模態(tài)試驗(yàn)有錘擊法和激振器激勵(lì)法兩種，其中錘擊法更加便于操作。首先，應(yīng)用脈沖力錘在激勵(lì)點(diǎn)F處連續(xù)錘擊五次，同時(shí)由加速度傳感器測(cè)量響應(yīng)點(diǎn)R處加速度信號(hào)，由LMS IMPACT模塊獲得每次錘擊的頻響函數(shù)，取值五次平均，獲得激勵(lì)點(diǎn)與響應(yīng)點(diǎn)的平均頻響函數(shù)。其次，對(duì)LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)得到頻響函數(shù)進(jìn)行快速逆傅里葉變換，得到單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。最后，通過(guò)離散的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)獲得傳遞矩陣H。

圖5 力傳感器和加速度傳感器實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.5 The measured data by the force transducer and accelerometer

測(cè)量沖擊響應(yīng)時(shí)，力錘連續(xù)敲擊殼結(jié)構(gòu)F點(diǎn)兩次，分別標(biāo)記為Case 1和Case 2，且每次沖擊都是在前次沖擊響應(yīng)徹底衰減后再施加。由嵌入力錘的力傳感器和貼在結(jié)構(gòu)表面的加速度傳感器測(cè)的信號(hào)如圖5所示。可以看到?jīng)_擊力信號(hào)是一個(gè)尖銳的脈沖信號(hào)，加速度響應(yīng)信號(hào)是一個(gè)快速振蕩衰減的信號(hào)。最后，由加速度響應(yīng)和傳遞矩陣，運(yùn)用CGLS和Landweber兩種迭代算法以及經(jīng)典的Tikhonov方法獲得正則化解。為了應(yīng)用正則化算法識(shí)別每次沖擊載荷，在每次沖擊事件中，截取的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為 2 050，即沖擊持續(xù)時(shí)間為1 s。CGLS總迭代步數(shù)均設(shè)置為1 000步，Landweber迭代步數(shù)分為5 000和30 000步兩種。Tikhonov方法的可選正則化參數(shù)數(shù)目仍舊為200。

4.2 分析與討論

由試驗(yàn)?zāi)B(tài)計(jì)算獲得的傳遞矩陣H條件數(shù)高達(dá)9.40E+018，表明殼結(jié)構(gòu)載荷識(shí)別反問(wèn)題是嚴(yán)重病態(tài)的。在此，利用CGLS、Landweber和Tikhonov正則化算法識(shí)別作用于殼結(jié)構(gòu)的沖擊載荷。圖6是CGLS迭代算法的啟發(fā)式終止準(zhǔn)則的收斂圖，可知Case 1和Case 2分別需要273和333步迭代獲得正則化解。圖7顯示了利用CGLS迭代算法重構(gòu)的兩次沖擊事件的正則化結(jié)果f273和f333，可以看出重構(gòu)的結(jié)果與實(shí)測(cè)的載荷結(jié)果一致，特別是在最大沖擊力附近，峰值相對(duì)誤差僅為5.98%和2.92%。

圖6 啟發(fā)式終止準(zhǔn)則在CGLS正則化算法中應(yīng)用結(jié)果Fig.6 The heuristic stoppong criterion applied for CGLS iteration regularization algorithm

圖7 CGLS、Landweber和Tikhonov 正則化方法的載荷識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of the impact loads identified by CGLS, Landweber and Tikhonov regularization methods

將實(shí)測(cè)載荷作為參考，利用式(15)可以計(jì)算每個(gè)迭代步的相對(duì)誤差，由圖8可知兩次沖擊的最小相對(duì)誤差的迭代步數(shù)分別是282和375。從表1可知，兩次沖擊的CGLS相對(duì)誤差分別為36.63%和32.14%，迭代過(guò)程中最小相對(duì)誤差分別為36.60%和31.82%?？芍獑l(fā)式終止準(zhǔn)則確定的正則化解非常接近于迭代過(guò)程中的最小相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，因此將啟發(fā)式終止準(zhǔn)則用來(lái)確定CGLS算法的迭代步數(shù)是可行的。兩次沖擊事件中，Case 1識(shí)別過(guò)程中需要282次迭代獲得最小相對(duì)誤差36.60%，而Case 2需要375次迭代次數(shù)得到最小相對(duì)誤差31.82%。

下面，比較CGLS、Landweber和Tikhonov三種正則化算法的載荷識(shí)別性能。從圖8可知，在1 000步內(nèi)，CGLS相對(duì)誤差快速下降然后緩慢上升，符合“半收斂”迭代算法特點(diǎn)，而Landweber相對(duì)誤差一直緩慢下降，且在5 000步內(nèi)尚未收斂。在5 000步時(shí)，兩次沖擊事件的Landweber解的相對(duì)誤差分別46.52% 和46.04%，峰值相對(duì)誤差分別為19.20%和17.31%。CGLS迭代1 000步需要的時(shí)間為10 s左右，而Landweber迭代5 000步需要27 s左右。實(shí)際上，本文中的兩次沖擊事件應(yīng)用Landweber算法5 000步之后收斂變得非常緩慢，在30 000步尚未達(dá)到和CGLS相同的識(shí)別精度。兩次沖擊事件的Landweber解在30 000步時(shí)的相對(duì)誤差分別37.60%和33.36%，峰值誤差為6.65%和4.75%。而迭代30 000步，Landweber需要耗費(fèi)的時(shí)間高達(dá)214 s?？芍琇andweber相對(duì)CGLS迭代算法收斂速度非常慢，且識(shí)別精度低于CGLS。進(jìn)一步比較兩種迭代算法與Tikhonov正則化方法，從表2中可知，Tikhonov的最小相對(duì)誤差和最優(yōu)峰值誤差均大于其他兩種方法。值得注意的是，Tikhonov的正則化相對(duì)誤差和正則化峰值誤差大于CGLS而小于Landweber，且其所需的時(shí)間亦大于CGLS而小于Landweber。

圖8 CGLS和Landweber兩種正則 化迭代算法隨迭代步數(shù)的相對(duì)誤差Fig.8 The relative error of iteration histories of both CGLS and Landweber iteration regularization algorithms

比較三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，可知后者的系統(tǒng)矩陣更加病態(tài)，CGLS在兩種模型中均優(yōu)于其他兩種載荷識(shí)別方法。

5 結(jié) 論

本文提出利用CGLS迭代正則化算法識(shí)別作用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷，并與其他載荷識(shí)別方法比較，得到以下結(jié)論：

表2 兩個(gè)沖擊事件下， CGLS和Landweber迭代算法對(duì)比結(jié)果Tab.2 The comparison between CGLS and Landweber iteration regularization algorithms with two impact cases

(1)CGLS迭代正則化算法結(jié)合啟發(fā)式終止準(zhǔn)則可以高精度重構(gòu)作用于三自由度仿真模型和殼結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臎_擊載荷；

(2)測(cè)試響應(yīng)數(shù)據(jù)誤差越小，CGLS正則化算法需要的迭代步數(shù)越多，且收斂速度越慢；

(3)與傳統(tǒng)的Landweber迭代正則化算法和直接正則化算法Tikhonov方法相比，CGLS迭代正則化算法識(shí)別精度高、收斂速度快、計(jì)算效率高和抗噪性能強(qiáng)。

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Application of conjugate gradient least squares iteration regularization algorithm in impact load identification

LU Liqin1,2, QIAO Baijie1, ZHANG Xingwu1, CHEN Xuefeng1

(1. The State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. Systems Engineering Research Institute, Beijing 100094, China)

Regularization methods should be developed to overcome the ill-posedness of inverse problem of structural dynamic load identification for getting a stable solution. The conjugate gradient least squares (CGLS) iterative regularization algorithm has several advantages over direct regularization methods such as the Tikhonov method on solving inverse problems: the inversion of matrix is not required, and no explicit regularization parameter is required. A CGLS iteration regularization algorithm with the heuristic stopping rule was proposed and as examples was applied to reconstruct the impact load acting on a three-degree-of-freedom system and a shell structure. The results were compared with those by the classical Landweber iteration regularization algorithm and Tikhonov regularization method. Simulations and experiments demonstrate that the CGLS algorithm for impact load identification works better in the aspects of accuracy, convergence rate, cost time and anti-noise.

conjugate gradient least squares algorithm; Landweber algorithm; impact load identification; regularization method

國(guó)家自然基金項(xiàng)目 (51225501;51405370)

2015-05-28 修改稿收到日期：2015-12-11

盧立勤 男，博士生,高工，1978年生

張興武 男，博士,講師，1984年生

TB123；O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.026