李庾南老師一元二次方程起始課教學(xué)賞析

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)克強(qiáng)學(xué)校俞秋明

李庾南老師一元二次方程起始課教學(xué)賞析

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)克強(qiáng)學(xué)校俞秋明

近年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊發(fā)了很多賞析專家教師南通啟秀中學(xué)李庾南老師的課例文章，對于當(dāng)下教學(xué)模式層出不窮、口號理念響聲不絕的課改熱潮是一針鎮(zhèn)靜劑，特別是對真正追求專業(yè)精進(jìn)的廣大同行，頗有助益.李老師的很多課例返璞歸真，基于理解數(shù)學(xué)的高度，實(shí)事求是，不求花架子，穩(wěn)扎穩(wěn)打，簡明自然，有著濃濃的數(shù)學(xué)學(xué)科味道.受此啟發(fā)，筆者也找來李老師的著作、視頻自發(fā)研習(xí)，本文就是近期反復(fù)觀摩李老師一元二次方程視頻課例后的心得體會，與同行分享.

一、李老師執(zhí)教“一元二次方程”起始課概述

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

（1）如何用一張長16厘米、寬12厘米的硬紙片做成一個底面積為96平方厘米的沒有蓋的長方體盒子？（由課本引例中的數(shù)據(jù)改編而成）

研究結(jié)果是：在紙片的四個角上剪去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就可以做成無蓋的紙盒.問題是要使做成的盒子的底面積必須是96平方厘米，因而實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題，即要求出截去的小正方形的邊長.

（2）全班研究：如何用列方程的方法求解？

解法預(yù)設(shè)（安排學(xué)生展示）：設(shè)截去的小正方形的邊長為x厘米，則盒子的底面的長及寬分別為（16-2x）厘米和（12-2x）厘米.

由題意，得（16-2x）（12-2x）=96.

整理后，得x2-14x+24=0.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生得到方程x2-14x+24=0后會發(fā)現(xiàn)，這不是已學(xué)的一元一次方程，不會解，為下一教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置了懸念.考察數(shù)學(xué)史上，很多重大數(shù)學(xué)概念或分支的產(chǎn)生與發(fā)展，其動力往往來自難題突破.比如費(fèi)馬大猜想的解決與橢圓方程和模型式的理論相關(guān)，對于相對孤立的費(fèi)馬大猜想來說，歷史上很多大數(shù)學(xué)家也繞著走開，但是最終英國數(shù)學(xué)家懷爾斯對其攻克成功也是借助于后來發(fā)展起來的新的數(shù)學(xué)工具和分支來實(shí)現(xiàn)的.

（3）教師給出一元一次方程3x-5=0，引導(dǎo)學(xué)生比較兩個方程的異同點(diǎn)：

3x-5=0x2-14x+24=0

教學(xué)預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

相同點(diǎn)：都是整式方程，合并同類項后，兩方程都是只含一個未知數(shù).

不同點(diǎn)：新方程中，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，而一元一次方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1.

通過比較，學(xué)生由學(xué)習(xí)一元一次方程的經(jīng)驗，自覺給新方程命名為“一元二次方程”，明確了本節(jié)課研究的課題.

（二）歸納概括一元二次方程的定義，并訓(xùn)練識別一元二次方程

引導(dǎo)學(xué)生由概括一元一次方程的定義和一般形式的經(jīng)驗，自主地概括一元一次方程的定義及一般形式.

（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（是合并同類項之后而言）的整式方程叫作一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）.

（3）教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，編制練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生練議.

（i）下列關(guān)于x的方程是不是一元二次方程？說明判斷根據(jù).

（意在突出一元二次方程的一般形式中的條件“a≠

0”，強(qiáng)化對一元二次方程的定義的認(rèn)識）

（ii）將下列方程化成一元二次方程的一般形式后，說出各項及二次項、一次項的系數(shù)：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5→x2-4=0；①

3x（x-1）=2（x+2）-4→3x2-5x=0；②

（x+2）（x-4）=7→x2-2x-15=0.③

（三）探討解法，感受轉(zhuǎn)化思想

引導(dǎo)學(xué)生探討解方程①、②、③的基本思想和具體方法.

（1）研究由已有知識能否求得方程①x2-4=0的解.

方法1：x1=2，x2=-2→給出解法的名稱：“直接開平方法”.

方法2：根據(jù)因式分解的知識和“如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反過來，如果兩個因式中有一個等于0，它們的積就等于0”，可以解方程.

解：x2-4=0.

（x+2）（x-2）=0.

則x+2=0或x-2=0→給出解法的名稱：“因式分解法”.

則x1=-2或x2=2.

（2）小組研究方程②、③的解法.

學(xué)生用“因式分解法”解方程②3x2-5x=0和方程③x2-2x-15=0.

（3）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究、概括.

（i）解一元二次方程的基本思想：降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解.

（ii）降次方法：直接開平方法，因式分解法.

教師講解如下所示.

方程③x2-2x-15=0，也可以通過適當(dāng)變形，運(yùn)用直接開平方來解.

解：x2-2x-15=0.

x2-2x=15.

x2-2x+1=16.

則x-1=4或x-1=-4.

則x1=5，x2=-3.

教師講評：把方程變形為左邊是一個完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解.這種解法叫作“配方法”.

用配方法來解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若有解，則它的解是用含系數(shù)a、b、c的式子來表示的，這就是一元二次方程的求根公式，以后直接用這個公式來求一元二次方程的解.這種解法稱為“公式法”.

綜上，一元二次方程的解法有：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法.

（4）請學(xué)生求出引例做無蓋盒子需要在四個角截去的相同的小正方形的邊長.

學(xué)生選用因式分解法求得了問題的解，即截去的小正方形的邊長為2厘米.

（四）回顧小結(jié)

（1）對于知識，注重知識形成的過程、知識的本質(zhì)及知識間的相互聯(lián)系.

對照板書（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生加深本節(jié)課研究的知識結(jié)構(gòu)：

圖1

（2）學(xué)習(xí)方法：要學(xué)會觀察現(xiàn)象，概括本質(zhì)或規(guī)律，善于積極主動猜想、聯(lián)想、探究未知.

二、課例賞析

1.李老師對單元教學(xué)的理解與實(shí)踐達(dá)到相當(dāng)高度，值得我們深入研習(xí)

按常規(guī)教學(xué)，是將一元二次方程的四種基本解法，一種方法一種方法地學(xué)、練，最后綜合四種方法.這是先讓學(xué)生學(xué)習(xí)“部分”，而后到“整體”的方法.本節(jié)課采用了反常規(guī)的教學(xué)方法.由于一元二次方程的定義、一般形式與一元一次方程類同，教師稍加點(diǎn)撥，學(xué)生便能遷移，自主獲得新知.一元二次方程的四種解法的指導(dǎo)思想一致，且相互間又有轉(zhuǎn)化關(guān)系，所以首先幫助學(xué)生建立知識體系框架，即形成“整體”知識，后續(xù)課再讓學(xué)生站在知識“整體”的高度，自主而深入地研究知識整體的各個“局部”，因而需要重新組織教學(xué)內(nèi)容.

2.李老師自主選編例、習(xí)題的專業(yè)追求值得重視，源于專業(yè)自主精神

我們注意到，李老師在本課中所選用的引例情境、

例題、變式題等，都是她精心設(shè)計和改編而來.比如選編的關(guān)于整理成一元二次方程的一般形式的練習(xí)題，整理后的方程分別為x2-4=0、3x2-5x=0、x2-2x-15=0，這就為學(xué)生根據(jù)“降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解”這一基本思想進(jìn)行自我探索轉(zhuǎn)化的方法，提供了教學(xué)情境.

3.李老師運(yùn)用所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境，探討了一元二次方程的四種基本解法

本節(jié)課的引例，改編了課本引例的數(shù)據(jù)，使整理的方程為x2-14x+24=0，也是為學(xué)生初步了解一元二次方程的四種解法，自我嘗試運(yùn)用這些方法解方程x2-14x+ 24=0，以解決本節(jié)課開始時提出的實(shí)際問題埋下伏筆的.問題的解決，又使學(xué)生再次體驗到了數(shù)學(xué)的價值所在.這樣教學(xué)，利于學(xué)生把握知識的生成過程、知識的本質(zhì)、知識間的相互聯(lián)系，也有利于培養(yǎng)學(xué)生自我探索、體驗、自主建構(gòu)的學(xué)習(xí)主體性.正如李老師書中所指出的：只有教師充分地發(fā)揮了教學(xué)的主體創(chuàng)造性，才能確保有效地、充分地發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的主體創(chuàng)造性.

三、寫在最后

專家教師的教學(xué)智慧，特別是課例中所體現(xiàn)出來的教學(xué)技巧與專業(yè)基本功值得我們深入挖掘，對于很多青年教師來說，與其在徘徊在低層次聽課、研課上難有精進(jìn)，不妨多試著反復(fù)觀摩理解專家教師的經(jīng)典課例，也許會是專業(yè)發(fā)展高原期的一種提升“特效藥”呢！

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

4.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）.Z