豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題分析

羅定浩 辜振軍

(湖北省利川市第一中學(xué)，湖北 利川 445400)

?

豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題分析

羅定浩 辜振軍

(湖北省利川市第一中學(xué)，湖北 利川 445400)

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理教學(xué)的重要內(nèi)容，其中運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致底座離地問題是一個(gè)難點(diǎn)，涉及受力分析、機(jī)械能守恒、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、臨界極值問題，本文對這個(gè)難點(diǎn)問題進(jìn)行分析.

圓周運(yùn)動(dòng)；豎直面；臨界極值問題

在物理教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇見一類物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致底座離地的題目，遇到這類題目時(shí)大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為只要小球通過最高點(diǎn)時(shí)底座不離地即可.但筆者認(rèn)為實(shí)際情況并非如此，下面以實(shí)例具體闡述.

例1：如圖1所示，在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)飛輪上固定著一個(gè)質(zhì)量為m的重物，它到轉(zhuǎn)軸的距離為r，為使電動(dòng)機(jī)不從地面跳起，則電動(dòng)機(jī)的飛輪角速度不得超過多少?

分析：重物轉(zhuǎn)到飛輪的最高點(diǎn)時(shí)，若重物對飛輪的作用力恰好等于電動(dòng)機(jī)的重力Mg時(shí)，電動(dòng)機(jī)剛要跳起從而可求解電動(dòng)機(jī)的角速度．

解答：重物轉(zhuǎn)到飛輪的最高點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)剛要跳起時(shí)，重物對飛輪的作用力F恰好等于電動(dòng)機(jī)的重力Mg，即F=Mg．

以上是大多數(shù)資料的解答，為什么重物轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)為電動(dòng)機(jī)不跳起的臨界條件?筆者認(rèn)為此處分析缺乏嚴(yán)密性.分析小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，由于小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故小球所受合外力Fn大小不變，始終指向圓心.當(dāng)物體從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過程中FN在豎直方向上的分量越來越小，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)FN在豎直方向上的分量最小，故物體運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)確實(shí)是底座不離開地面的臨界條件，此時(shí)電動(dòng)機(jī)的角速度取極大值，但不能作為結(jié)論，請看下面問題.

圖3

例2：如圖3所示，A是半徑為r的圓形光滑軌道，固定在木板B上，豎直放置；B的左右兩側(cè)各有一光滑擋板固定在地面上，使其不能左右運(yùn)動(dòng)，小球C靜止放在軌道最低點(diǎn)，A、B、C質(zhì)量相等.現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，使小球在圓形軌道的內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過軌道的最高點(diǎn)，且不會(huì)使B離開地面，已知重力加速度為g，則初速度v0必須滿足的條件( ).

分析：小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)對軌道恰好無壓力時(shí)是v0最小的極值臨界條件，小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)對軌道的壓力恰好等于2mg時(shí)是A、B離地時(shí)v0的極大值臨界條件.

以上解答與很多資料一樣，小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)A、B不離地為極值.筆者認(rèn)為并不嚴(yán)謹(jǐn)，換一種解法如下.

總之，物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致底座離地問題分析時(shí)，一定要看具體情形，不能盲目在最高、最低點(diǎn)取極值.同時(shí)在教學(xué)中，不要讓學(xué)生套結(jié)論，而要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度去解決實(shí)際問題.