單位球面Sn+1(1)中有常數(shù)平均曲率的緊致閉超曲面的全臍性

王 琪

(貴陽學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽 550005)

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單位球面Sn+1(1)中有常數(shù)平均曲率的緊致閉超曲面的全臍性

王 琪

(貴陽學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽 550005)

設(shè)Mn是單位球面Sn+1(1)中的緊致閉超曲面，且Mn及其Gauss映照像均落在Sn+1(1)的一個(gè)開半球面內(nèi).利用一個(gè)已知的積分公式,證明了:如果Mn的平均曲率H1是常數(shù),則Mn是全臍的.

緊致閉超曲面；常平均曲率；全臍性；單位球面

0 引言

近幾十年以來，關(guān)于有常數(shù)平均曲率的超曲面的全臍性質(zhì)已經(jīng)有許多研究.這些研究結(jié)果中，除了常數(shù)平均曲率的假設(shè)以外，一般都附加某些其它的曲率條件.1981年，Hasanis[1]研究正常截曲率空間中完備連通的、有常數(shù)平均曲率的超曲面，在附加對(duì)第二基本型的一種拼擠條件下，得到下列定理A.1995年，Hu[2]研究正常截曲率空間中的完備連通超曲面，給出下列定理B，除了常數(shù)平均曲率的假設(shè)外，同時(shí)也附加了對(duì)第二基本型模長的條件. 2014年，Han等[3]用活動(dòng)標(biāo)架法，研究雙曲空間形式中有常數(shù)平均曲率的完備超曲面，在另外的附加條件下，給出下列定理C.本文研究正曲率空間形式中的緊致閉超曲面，利用一個(gè)已知的積分公式，得到了下列定理1.對(duì)照起來看，定理1的曲率條件和結(jié)論，都是頗為有趣的.

則Mn是全臍的.

定理C[3]設(shè)Mn是雙曲空間形式Hn+1(-1)中等距浸入完備超曲面.如果Mn有常數(shù)平均曲率H1,而且恰有兩個(gè)主曲率,其重?cái)?shù)分別是1和(n-1)，則或者

或者

定理1 設(shè)Mn是單位球面Sn+1(1)中等距浸入緊致閉超曲面，且Mn及其Gauss映照像均落在Sn+1(1)的一個(gè)開半球面內(nèi).如果Mn有常數(shù)平均曲率H1,則Mn是全臍的.

1 預(yù)備引理

設(shè)n維黎曼流形Mn等距浸入到一個(gè)(n+1)維黎曼流形中，其主曲率為λi(1≤i≤n)，則Mn的平均曲率H1和二階平均曲率H2定義為[1-6]

本文需要下列幾個(gè)引理.

引理1 設(shè)Mn是單位球面Sn+1(1)中的等距浸入的緊致閉超曲面，Mn及其Gauss映照像均落在Sn+1(1)的開半球面內(nèi),則Mn必有嚴(yán)格橢圓點(diǎn).

證明 取定北極點(diǎn)b=(0,…,0,1)∈Rn+2,考慮Mn上定義的函數(shù)

其中fij是函數(shù)f按Mn的黎曼聯(lián)絡(luò)的二階協(xié)變導(dǎo)數(shù),hij是Mn的第二基本形式的分量,N是Mn的單位法向量場(chǎng),而δij是通常的可羅內(nèi)克張量.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是連續(xù)的,而且Mn是緊致的,所以f(x)必在Mn上某點(diǎn)x0處達(dá)到最小值,而在該點(diǎn)處有fij(x0)≥0(1≤i≤n).適當(dāng)選擇Mn環(huán)繞的x0幺正局部標(biāo)架可使hij對(duì)角化,即hij=λiδij,這里λi(1≤i≤n)是Mn的主曲率.于是

因?yàn)槲覀兗僭O(shè)Mn及其Gauss映照像均落在Sn+1(1)的一個(gè)開半球面內(nèi),所以可設(shè)x0,b>0,N(x0),b>0.從而全體λi(x0)(1≤i≤n)或者均為正,或者均為負(fù),即x0∈Mn為嚴(yán)格橢圓點(diǎn). 】

引理2[5-6]設(shè)Mn是Sn+1(1)中等距浸入的緊致閉超曲面并且落在Sn+1(1)的一個(gè)開的半球面內(nèi).Mn?Sn+1(1)典型嵌入到Rn+2中,用x表示Mn中點(diǎn)在Rn+2中的位置向量,N表示Mn上任意選定的一個(gè)光滑的單位法向量場(chǎng),則有

證明 直接計(jì)算有

2 定理1的證明

定理1的條件是：平均曲率H1在Mn上是常數(shù).首先，由引理1可知，Mn上存在嚴(yán)格橢圓點(diǎn)，而在該點(diǎn)處，可以設(shè)H1>0(必要時(shí)可通過改變光滑單位法向量場(chǎng)N的指向?qū)崿F(xiàn)).所以，事實(shí)上,H1是正常數(shù).

引理2的一個(gè)積分公式是

因?yàn)镠1是常數(shù)，所以由上式可得

(1)

引理2的另外一個(gè)積分公式是

(2)

用(2)式減去(1)式得到

(3)

由引理3，在Mn上處處成立

(4)

注意到Gauss像g(Mn)={N=N(x):x∈Mn}落在標(biāo)準(zhǔn)單位球面Sn+1(1)的一個(gè)開半球面內(nèi)的，所以一定可以選取一個(gè)固定向量p∈Rn+2,使得在Mn上處處成立

(5)

現(xiàn)在，結(jié)合(3)～(5)式立即得到：在Mn上有

(6)

由引理3和(6)式可知Mn是全臍的. 】

[1]HASANIST.Characterizationoftotallyumbilicalhyper-surfaces[J].Proc Amer Math Soc,1981,81(3):447.

[2] HU Z J.Complete hyper-surfaces with constant mean curvature and nonnegative sectional curvature[J].ProcAmerMathSoc,1995,123(9):2335.

[3] HAN Ying-bo,FENG Shu-xiang.Hyper-surfaces with constant mean curvature in a hyperbolic space[J].JofMath(PRC),2014,34(4):634.

[4] OKUMURA M.Hyper-surfaces and pinching problem on the second fundamental tensor[J].AmerJMath,1974,96:207.

[5] KOH S E.A characterization of round spheres[J].ProcAmerMathSoc,1998,126(12):3657.

[6] 王琪.正曲率空間形式中超曲面的全臍性與高階平均曲率[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014,57(1)：47.

(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

Totally umbilical property of compact closedhyper-surfaceswithconstantmeancurvatureinthepositivecurvaturespaceform

WANG Qi

(School of Mathematics and Information Science,Guiyang University,Guiyang 550005,Guizhou,China)

Compact closed hyper-surfaces in the positive curvature space form are studied.By using a known integral formula,the totally umbilical property of compact closed hyper-surfaces with constant mean curvature is proved.The result gives an uniqueness conclusion for hyper-surfaces of this type.

compact closed hyper-surface;constant mean curvature;totally umbilical property;positive curvature space form

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.007

2015-09-05;修改稿收到日期:2015-10-18

貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(黔科合J字[2014]2005)

王琪(1963—)，男，湖南雙峰人，教授，博士.主要研究方向?yàn)槔杪鼛缀?

E-mail:wangqihn@126.com

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