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    搭建腳手架 還原規(guī)律本身

    2020-09-10 10:23:50羅禮紅
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2020年2期
    關(guān)鍵詞:多角度數(shù)形結(jié)合規(guī)律

    羅禮紅

    摘 要:北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“點(diǎn)陣中的規(guī)律”不應(yīng)只滿足于計(jì)算出點(diǎn)子數(shù)量,更應(yīng)著眼于“規(guī)律”本身,因此搭建擺一擺的活動,進(jìn)而創(chuàng)造小組活動、找到不同觀察所帶來的的不同規(guī)律,感受多角度觀察的思維方法,滲透數(shù)形結(jié)合與建模思想。

    關(guān)鍵詞:點(diǎn)陣;規(guī)律;多角度;數(shù)形結(jié)合

    《點(diǎn)陣中的規(guī)律》是北師大版五年級上冊數(shù)學(xué)好玩《圖形中的規(guī)律》的后半節(jié)課,筆者將它作為一節(jié)獨(dú)立課進(jìn)行教學(xué)。在磨課中,當(dāng)教師給學(xué)生一個(gè)自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)習(xí)單后,學(xué)生大多數(shù)都填寫了“1×1,2×2,3×3……”,對于其他角度觀察的規(guī)律,比如斜著觀察、拐彎觀察,學(xué)生不僅沒有產(chǎn)生這樣的觀察角度,甚至覺得這樣的觀察寫出來的算式很麻煩。在第三次磨課時(shí),有一個(gè)學(xué)生居然忍不住喊了出來:“老師,他觀察得到的算式太麻煩了!”

    難怪每次磨課都不理想,我恍然大悟,原來學(xué)生對規(guī)律并不認(rèn)可,他們以為要找的是最佳算法。當(dāng)我們認(rèn)為學(xué)生會自然地發(fā)現(xiàn)點(diǎn)陣的三種觀察方法時(shí),我們其實(shí)是站在成人的角度上想當(dāng)然而已。想要貼著學(xué)生的思維前行,就要還原點(diǎn)陣的規(guī)律本身。

    教師如何搭建腳手架,使學(xué)生真正去發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律本身呢?筆者從這個(gè)角度出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)活動,放手讓學(xué)生先有規(guī)律地?cái)[一擺5號點(diǎn)陣點(diǎn)陣,為學(xué)生的多角度觀察搭建腳手架,再讓學(xué)生自主觀察整組點(diǎn)陣并列算式、找規(guī)律,讓學(xué)生獲得更多的活動經(jīng)驗(yàn),感受“數(shù)形結(jié)合、多角度觀察”的意義。

    教學(xué)目標(biāo):

    1、以古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究形數(shù)的歷程為主線,讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究,能在觀察(劃分)活動中,發(fā)現(xiàn)正方形點(diǎn)陣中隱含的規(guī)律,體會圖形、算式、點(diǎn)數(shù)的關(guān)系。

    2、結(jié)合擺一擺、觀察、列式、交流等活動,發(fā)展歸納和推理能力。

    3、通過多角度觀察點(diǎn)陣,滲透數(shù)形結(jié)合與建模思想。

    學(xué)具準(zhǔn)備:鉛筆、尺子、橡皮、水筆、磁力板、小磁鐵。

    教學(xué)過程:

    一、故事引入,操作鋪墊

    1、故事引入

    師:你們喜歡聽數(shù)學(xué)家的故事嗎?今天老師給大家介紹一位古希臘數(shù)學(xué)家——畢達(dá)哥拉斯,他喜歡通過點(diǎn)陣來研究數(shù)。開始時(shí),他在沙灘上擺石子,一個(gè)石子表示1,兩個(gè)石子表示2,3個(gè)石子表示3……后來他用石子擺出各種各樣的圖形,比如三角形、正方形、長方形等,借此來研究數(shù),研究算式,并留下了許多寶貴的發(fā)現(xiàn)。他在研究中還完成了一項(xiàng)極限挑戰(zhàn),能極速挑戰(zhàn)1+3+5+7+9+11+13這些加法算式呢!后人把每個(gè)小石子看成點(diǎn),就組成了我們今天要研究的點(diǎn)陣!

    2、觀察操作

    (1)觀察點(diǎn)陣

    我們先來看看這組點(diǎn)陣吧!逐個(gè)出示點(diǎn)陣圖(如下圖),看看這些點(diǎn)陣——由點(diǎn)組成的有規(guī)律的圖形,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    生:都是正方形的,每行和每列的點(diǎn)數(shù)一樣多。

    生:后一個(gè)點(diǎn)陣比前一個(gè)點(diǎn)陣多一行多一列,點(diǎn)陣越來越大了。

    師:很好,大家都是細(xì)心、會觀察的同學(xué)!點(diǎn)陣比較多,我們分別給它們編號:1號點(diǎn)陣,2號點(diǎn)陣……

    (2)同桌合作,有規(guī)律地?cái)[點(diǎn)陣

    師:5號點(diǎn)陣是怎樣排列的?你能根據(jù)前面4個(gè)點(diǎn)陣的規(guī)律,有規(guī)律地?cái)[出來嗎?同桌合作擺一擺,要擺得又快又有規(guī)律哦!

    同桌合作過程中,教師巡查、指導(dǎo),發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不同擺法。

    師:同學(xué)們動作真快,都擺出了5號點(diǎn)陣!誰來說一說怎么擺的呢?

    生:我是一行一行擺的。

    生:我在4號點(diǎn)陣的基礎(chǔ)上再擺一行一列。

    生:我是一層一層往外擺的。

    教師根據(jù)學(xué)生的擺法,課件動態(tài)演示,并給各種方法命名(如上圖)。

    師小結(jié):小小的一個(gè)點(diǎn)陣,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了不同的擺法!今天,你們想不想過一把當(dāng)數(shù)學(xué)家的癮,自己來找找這組點(diǎn)陣中的規(guī)律?那現(xiàn)在我們開始自主學(xué)習(xí)——找規(guī)律!

    [我的思考] 結(jié)合數(shù)學(xué)家的故事引入,能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為什么要安排擺一擺的活動呢?若不給學(xué)生擺一擺,直接讓學(xué)生從不同的角度觀察點(diǎn)陣、發(fā)現(xiàn)規(guī)律,留給學(xué)生的思考空間會比較多,但在多次磨課中卻發(fā)現(xiàn),大多數(shù)學(xué)生不理解什么叫做“不同角度觀察”,反而因?yàn)閷懗龀朔ㄋ闶蕉凑醋韵病D呐掠袀€(gè)別學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不同角度觀察,也造成“自主探究出規(guī)律”的學(xué)生比率很低,學(xué)生只是被動地聽取他人的想法,甚至有些學(xué)生認(rèn)為斜著觀察、拐彎觀察的列式都太麻煩了。因此,教師有必要在這里安排有規(guī)律地?cái)[一擺5號點(diǎn)陣的活動,迫使學(xué)生去思考不同的擺法,為后面的“不同角度觀察”做鋪墊。這樣學(xué)生的自主探究變得更有目標(biāo)性,突出重點(diǎn),也更好地引領(lǐng)了學(xué)生,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的參與度,對規(guī)律的體驗(yàn)更為充分。

    二、合作探究,交流規(guī)律

    1、活動要求:

    教師出示學(xué)習(xí)卡,介紹要求:第一步觀察,第二步列式,第三步交流,并讓學(xué)生默讀要求,最后請一名學(xué)生說一說:我們的活動要完成哪些任務(wù)?此處,學(xué)生用自己的語言表達(dá)后,能更清楚要求。

    2、小組活動,匯報(bào)交流

    學(xué)生小組活動,教師巡查指導(dǎo),發(fā)現(xiàn)各種有意思的觀察方法和算式,再組織交流。

    師:大家在小組活動中非常積極,現(xiàn)在我們邀請幾位同學(xué)來給大家分享。匯報(bào)時(shí),先說一說你的算式,再說說有什么發(fā)現(xiàn)。

    (1)橫著觀察

    生:我橫著觀察,第1個(gè)點(diǎn)陣有1×1個(gè)點(diǎn),第2個(gè)有2×2=4個(gè)點(diǎn),第3個(gè)有3×3=9個(gè)點(diǎn)……大家有什么疑問嗎?

    生:你能用圖形說明這個(gè)3×3的意思嗎?

    生:橫著觀察,每行3個(gè),有3行,就是3個(gè)3。

    師:繼續(xù)這樣觀察,第6個(gè)點(diǎn)陣怎么計(jì)算?第10個(gè)點(diǎn)陣呢?(教師追問:沒有圖形了,你還能想象出圖形的樣子嗎?)

    師:第一個(gè)點(diǎn)陣1×1,第二個(gè)點(diǎn)陣2×2……你們發(fā)現(xiàn)了這樣觀察,點(diǎn)數(shù)有什么規(guī)律?

    生:第幾個(gè)點(diǎn)陣就是幾×幾。

    (2)斜著觀察

    教師展示學(xué)生作品,并與學(xué)生互動。

    師:5號點(diǎn)陣,為什么不加到6?

    生:斜著觀察時(shí),最多的只有5個(gè)點(diǎn)。

    師:從這些算式中,大家發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

    生:算式是有對稱的,中間有一個(gè)最大數(shù)。

    生:都是從1開始加到一個(gè)最大的數(shù),然后再往回加到1。

    師:繼續(xù)這樣觀察,10號點(diǎn)陣怎么列式?

    生:假如是10號點(diǎn)陣,可以從1加到10,再加到1.

    師:厲害,看起來復(fù)雜的算式,卻非常有規(guī)律!太棒了,還有不同角度觀察的嗎?

    (3)包圍法觀察

    教師展示學(xué)生作品,特別注意:只出示算式,遮住圖形,不出示觀察角度。

    師:大家能根據(jù)算式,猜一猜他是怎么觀察的嗎?

    生:他是包圍法(或拐彎、或直角都行)觀察的……(用手指)

    師:真厲害。包圍法這個(gè)詞一下子讓人聽明白了。那誰能結(jié)合圖形說一說1+3+5+7+9的意思?

    生:看這個(gè)5號點(diǎn)陣,拐彎觀察,分別是1個(gè)點(diǎn),3個(gè)點(diǎn),5個(gè)點(diǎn),7個(gè)點(diǎn),9個(gè)點(diǎn)。每次多兩個(gè)點(diǎn),將它們相加就是總點(diǎn)數(shù)。

    教師追問:繼續(xù)這樣觀察,第7個(gè)點(diǎn)陣怎么列式?

    生1:1+3+5+7+9+11+13。最后一個(gè)數(shù)是13,可以認(rèn)為是2×7-1得到的,中間重復(fù)了一個(gè)點(diǎn)。

    師:還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎?

    生:算是都是從1開始的單數(shù)相加的。

    師:1號點(diǎn)陣是1,2號點(diǎn)陣有兩個(gè)數(shù)相加,3號點(diǎn)陣有3個(gè)數(shù)相加 ……這有規(guī)律嗎?

    通過這樣的提問,引導(dǎo)學(xué)生說出“第幾個(gè)點(diǎn)陣就從1開始加幾個(gè)連續(xù)單數(shù)”。讓學(xué)生在對比、想象中加深了對算式規(guī)律的認(rèn)識。

    三種方法小結(jié):

    師:為什么同一個(gè)點(diǎn)陣,我們列出了不同的算式?

    生:從不同的角度觀察,列式就不同,規(guī)律就不同。

    師:是啊,我們得出了不同的算式,乘法簡潔,后面的兩種很有規(guī)律。以5號點(diǎn)陣為例,這些算式的結(jié)果都等于多少?(25)以后我們遇到這些有規(guī)律的算式就可以化成這個(gè)乘法算式來計(jì)算了!還記得我們的極限挑戰(zhàn)嗎?

    3、考考你:極速挑戰(zhàn)

    (1)1+3+5+7+9+11+13+15+17

    生:有9個(gè)從1開始的單數(shù),所以結(jié)果是9×9=81.

    生:最后一個(gè)數(shù)17=9×2-1,我想到了這是第9個(gè)點(diǎn)陣,所以也是81.

    (2)1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=?

    生:這個(gè)有規(guī)律的算式中間最大數(shù)是9,所以是第9號點(diǎn)陣,結(jié)果是9×9=81。

    師:雖然是算式,但是大家想到了剛才學(xué)習(xí)的正方形點(diǎn)陣,用圖形來解決算式問題,太神奇了!剛才從不同的角度觀察點(diǎn)陣,就列出了不同的算式,這是由形到數(shù)的過程,現(xiàn)在看到算式,我們就想到了點(diǎn)陣,這恰恰是由由數(shù)返回到形的過程,正如數(shù)學(xué)家華羅庚說過的一句話:數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好!

    [我的思考]這是本節(jié)課的核心內(nèi)容——學(xué)生自主探究一組點(diǎn)陣中的規(guī)律。教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽匯報(bào)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,并在匯報(bào)中激發(fā)生生互動,并不斷地引導(dǎo)學(xué)生思考不同觀察方法得到的不同規(guī)律,使“規(guī)律”成為課堂的主旋律。最后,教師注重多種方法的聯(lián)結(jié),看似簡單的問題,實(shí)在讓學(xué)生快速將方法串聯(lián)在一起。極限挑戰(zhàn)既是對規(guī)律的應(yīng)用,同時(shí)又是對規(guī)律的升華,挑明數(shù)形結(jié)合的思想,讓數(shù)形結(jié)合的思想在學(xué)生的心中落地生根。

    三、趣味點(diǎn)陣,課堂延伸

    師:老師還帶來一個(gè)趣味點(diǎn)陣,請大家來挑戰(zhàn)!觀察下圖中已有的幾個(gè)圖形,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請你按規(guī)律畫出下一個(gè)圖形,并給這組點(diǎn)陣列出有規(guī)律的算式。

    生:可以按一個(gè)直角一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎觀察,第一幅圖有3個(gè)點(diǎn),第二幅圖增加4個(gè)點(diǎn),第三幅圖接著增加6個(gè)點(diǎn),最后一幅圖再增加8個(gè)點(diǎn),所以得到一組算式:3;3+4=7;3+4+6=13;3+4+6+8=21。最后一幅如下圖A。

    生:可以將點(diǎn)陣添加幾個(gè)點(diǎn)變成正方形,然后再減掉添加的點(diǎn)。于是得到一組算式:2×2-1=3;3×3-2=7;4×4-3=13;5×5-4=21。最后一幅如下圖B。

    生:橫著觀察,前幾行都相等,最后一行多1個(gè)點(diǎn)。于是得到一組算式:1+2=3;2+2+3=7;3+3+3+4=13;4+4+4+4+5=21。最后一幅如下圖C。

    師:這個(gè)點(diǎn)陣叫做螺旋點(diǎn)陣,大家能從不同的角度發(fā)現(xiàn)它的點(diǎn)數(shù),真奇妙!

    圖A

    圖B

    圖C

    [我的思考]僅僅正方形點(diǎn)陣的學(xué)習(xí)略微單調(diào),不利于學(xué)生對點(diǎn)陣的整體認(rèn)識。因此,有必要進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣埂4颂?,結(jié)合螺旋點(diǎn)陣,讓學(xué)生應(yīng)用“不同角度觀察”,增加思維的靈活性。在數(shù)學(xué)上,教師希望學(xué)生舉一反三、一題多解,其實(shí)就是希望學(xué)生多角度觀察和思考。因此,這節(jié)課的價(jià)值不僅體現(xiàn)在這節(jié)課上,更體現(xiàn)在學(xué)習(xí)方法上。

    四、回顧課堂,整理反思

    師:借助正方形點(diǎn)陣、螺旋點(diǎn)陣,我們發(fā)現(xiàn)了很多規(guī)律,這些都是數(shù)學(xué)家們的重要發(fā)現(xiàn),所以同學(xué)們今天已經(jīng)超額完成了小小數(shù)學(xué)家的任務(wù)。關(guān)于點(diǎn)陣,你還想學(xué)習(xí)什么?這節(jié)課你最大的收獲是什么?

    生:數(shù)形結(jié)合真奇妙。

    生:我知道了如何從不同角度觀察點(diǎn)陣。

    生:從不同角度觀察,點(diǎn)陣的規(guī)律就不同。

    師小結(jié):真奇妙,換個(gè)點(diǎn)陣看這些點(diǎn)陣,就有了這么多神奇的發(fā)現(xiàn)!就像那首詩所說的:橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同!點(diǎn)陣中的規(guī)律還有很多很多……希望大家今后繼續(xù)探索點(diǎn)陣的奧妙!生活中處處都有規(guī)律,大家要有一雙善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼睛!

    [我的思考]課雖止,探究不止。此次,學(xué)生回顧整理,既引發(fā)學(xué)生的反省意識,也讓學(xué)生放眼生活,拓展視野,激發(fā)學(xué)生繼續(xù)尋找點(diǎn)陣及其規(guī)律。

    教學(xué)反思:

    本節(jié)課立足于正方形點(diǎn)陣,“畢其功于一役”,在研究一組正方形點(diǎn)陣中將規(guī)律挖深、吃透。教學(xué)貼著學(xué)生的思維前行,創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行多維探究,在數(shù)形結(jié)合中引發(fā)學(xué)生建立算式的模型,從圖到數(shù)到式,再從式到圖到數(shù),學(xué)生的觀察能力、思維能力不斷形成并逐步提高。教師透過現(xiàn)象看到規(guī)律的本質(zhì),在教教材中顯性知識的同時(shí),挖掘出其包含的隱性知識,牢牢把握住了這節(jié)課的規(guī)律本身。

    學(xué)生在學(xué)習(xí)之中收獲的不僅僅是規(guī)律,更重要的是找規(guī)律的方法——多角度觀察。在磨課中,學(xué)生高呼“老師,他觀察得到的算式太麻煩了”,但是在調(diào)整教學(xué)方式后,學(xué)生在回顧整理中將“多角度觀察”作為一項(xiàng)重要的收獲,這無形中提升了學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維,有效地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

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