數(shù)學(xué)歷史發(fā)生法：概念及應(yīng)用

徐伯華　朱鳳琴

1歷史發(fā)生法：探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)生規(guī)律

在HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）研究中，歷史發(fā)生法是被廣泛應(yīng)用的發(fā)生學(xué)方法。所謂發(fā)生學(xué)方法（Genetics Methodology），“是在研究自然和社會(huì)現(xiàn)象時(shí)以分析它們的起源和發(fā)展過(guò)程為基礎(chǔ)的一種研究方法”。發(fā)生學(xué)研究有兩種取向：一是基于歷史考查的歷史發(fā)生研究，一是基于個(gè)體觀察的個(gè)體發(fā)生研究。前者反映人類(lèi)種族的認(rèn)識(shí)發(fā)生，涉及的時(shí)問(wèn)、區(qū)域、文化的跨度通常比較大，涉及的人物、事件及其影響通常是典型的、確定的甚至定論的，得到的結(jié)論更具有普遍性和規(guī)律性。后者反映人類(lèi)個(gè)體的認(rèn)識(shí)發(fā)生，時(shí)間、區(qū)域、文化的跨度通常很小，人物、事件及其影響可能是非典型的甚至是不確定的，結(jié)論更具有啟發(fā)性和代表性。不過(guò)，很多人相信“種族的發(fā)展積淀為個(gè)體的發(fā)展，歷史的過(guò)程以邏輯的形式保存在個(gè)體發(fā)生中”，這就在歷史發(fā)生和個(gè)體發(fā)生之間架起了一座橋梁。因此，通過(guò)數(shù)學(xué)史的研究，尋求數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，就能預(yù)見(jiàn)現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，解決當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育問(wèn)題，在很大程度上提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效益。這種追本溯源、探索演變、尋求規(guī)律的研究方法就是歷史發(fā)生法。

理解現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了有益的思路，一經(jīng)提出就得到很多教育學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的支持。不過(guò)，歷史發(fā)生原理畢竟是一個(gè)認(rèn)識(shí)論假設(shè)，人們對(duì)它表現(xiàn)出四種態(tài)度：

（1）相信，直接的應(yīng)用。典型代表是龐加萊、F·克萊因、A·Sfard等。如A·Sfard多次指出，數(shù)學(xué)史是分析、解釋學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)困難的最寶貴資源，歷史發(fā)生原理在同化、創(chuàng)造一個(gè)新概念時(shí)顯得特別突出，已有的知識(shí)系統(tǒng)必須要經(jīng)歷一個(gè)完整的重建過(guò)程。還有美國(guó)學(xué)者表現(xiàn)得更堅(jiān)決，“指導(dǎo)個(gè)體認(rèn)知發(fā)展的最佳方式是讓他重溯人類(lèi)的認(rèn)知發(fā)展，即使知識(shí)點(diǎn)A在邏輯上先于知識(shí)點(diǎn)B，但如果B在歷史上先于A出現(xiàn)，那么我們?nèi)詰?yīng)先教B”。

（2）原則上相信，批判的應(yīng)用。典型代表是皮亞杰、維果斯基、波利亞、弗賴(lài)登塔爾等。如維果斯基認(rèn)為，社會(huì)文化和環(huán)境會(huì)通過(guò)不同工具的使用改變?nèi)说乃季S活動(dòng)，個(gè)體發(fā)生是由種族發(fā)生和社會(huì)歷史條件共同決定的。弗賴(lài)登塔爾也清楚地指出，“我們不應(yīng)該遵循發(fā)明者的足跡，而是經(jīng)過(guò)改良同時(shí)有更好地引導(dǎo)作用的歷史過(guò)程”，“從某種意義上說(shuō)，兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實(shí)際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先己經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會(huì)發(fā)生的歷史”。

（3）檢驗(yàn)，支持應(yīng)用。自20世紀(jì)80年代開(kāi)始，對(duì)歷史發(fā)生原理的實(shí)證檢驗(yàn)逐漸增多，幾乎所有的檢驗(yàn)結(jié)果都表明它是成立的。不過(guò)，歷史發(fā)生原理畢竟難以獲得完全的檢驗(yàn)，不少人更愿意把它稱(chēng)為歷史相似性原理，并支持在相似的意義下恰當(dāng)?shù)亟梃b歷史。

（4）質(zhì)疑。20世紀(jì)90年代以后，質(zhì)疑的聲音時(shí)常出現(xiàn)。如A-Arcavi就對(duì)A-Sfard提出的“利用歷史作為分析代數(shù)概念教與學(xué)的工具”給予質(zhì)疑：“當(dāng)年天才數(shù)學(xué)家對(duì)概念的理解過(guò)程，能幫助我們更好地了解現(xiàn)今學(xué)生的學(xué)習(xí)嗎？”。K.Brating和J.Pejlare也指出，把數(shù)學(xué)的歷史認(rèn)識(shí)與學(xué)生的概念發(fā)展相提并論，會(huì)因?yàn)楦拍罴軜?gòu)不同、默認(rèn)觀點(diǎn)不同、智力水平不同而產(chǎn)生嚴(yán)重的問(wèn)題。

盡管有質(zhì)疑，大家對(duì)歷史發(fā)生原理的態(tài)度總體上還是積極的，尤其在數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究中，正如Fauvel和Maanen所說(shuō)：怎么用數(shù)學(xué)史？一方面是用數(shù)學(xué)史來(lái)了解并克服數(shù)學(xué)理解發(fā)展中的認(rèn)識(shí)障礙，其中歷史發(fā)生原理下的深刻分析是必要的；另一方面是把數(shù)學(xué)史當(dāng)作一面鏡子，在研究數(shù)學(xué)概念的發(fā)展中反映數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)變的機(jī)制，歷史的視角與心理的視角相結(jié)合很值得重視。

運(yùn)用歷史發(fā)生原理考查數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生也應(yīng)該經(jīng)歷從不完全歸納到直覺(jué)的完全歸納、再到演繹的完全歸納的認(rèn)識(shí)路線，其中可能會(huì)遇到從不完全歸納到完全歸納的困難、從有限到無(wú)限的困難、構(gòu)建遞推步的困難、認(rèn)識(shí)歸納原理的困難等，而要化解這些困難，需要讓學(xué)生很好地理解無(wú)窮的思想、遞推的思想、不完全歸納法、完全歸納法、演繹法、歸納公理。但是，從學(xué)生的心理發(fā)展水平看，歸納公理和無(wú)窮的思想具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性，對(duì)高中生的要求不宜太高，應(yīng)把重點(diǎn)放在完全歸納的理解、遞推步驟的構(gòu)建和方法的適用條件上。

3歷史發(fā)生教學(xué)法：依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)生設(shè)計(jì)課堂教學(xué)

發(fā)生教學(xué)法是與公理化教學(xué)法相對(duì)的，前者注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)發(fā)生過(guò)程，后者注重形式演繹過(guò)程。由于人的認(rèn)識(shí)總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象，所以公理化教學(xué)法違背了人的認(rèn)識(shí)規(guī)律。新數(shù)運(yùn)動(dòng)的失敗也證明公理化教學(xué)法不符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際。而發(fā)生教學(xué)法不把數(shù)學(xué)知識(shí)視為既定的結(jié)果，而是促進(jìn)學(xué)生去數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，這就容易引起學(xué)生的意識(shí)活動(dòng)，因此能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)能力。

教學(xué)法是對(duì)教學(xué)要素的組織方式。歷史發(fā)生教學(xué)法就是根據(jù)某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)生規(guī)律，考慮學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知過(guò)程和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過(guò)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)法加工，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)生發(fā)展，化解可能遇到的困難，提供有用的教學(xué)資源，設(shè)計(jì)出有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)方案。

1963年，托普利茨出版《微積分：發(fā)生原理》，標(biāo)志著“發(fā)生教學(xué)法的思想最終形成”。作者把數(shù)學(xué)史作為教學(xué)的指南，主張從數(shù)學(xué)史中獲取概念發(fā)展的關(guān)鍵方式，在樸素水平上就開(kāi)始教授本質(zhì)的觀念，然后是較低水平的應(yīng)用，然后是深入到背景的解釋和應(yīng)用，在學(xué)生獲得概念的意義之后，再逐步增加概念的精確性和嚴(yán)密性，很好地應(yīng)用了微積分的歷史發(fā)生過(guò)程和規(guī)律。

歷史發(fā)生教學(xué)法有多種形式，可以用數(shù)學(xué)史不談數(shù)學(xué)史，或者用數(shù)學(xué)史也談數(shù)學(xué)史，還可以把數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)文化結(jié)合起來(lái)使用。在HPM實(shí)踐中，以下兩種模式是比較典型的：

（1）臺(tái)灣師范大學(xué)蘇意雯博士提出的三面向模式。即在認(rèn)識(shí)論和自我詮釋理論指導(dǎo)下，把數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯分析、歷史分析和心理分析結(jié)合起來(lái)，通過(guò)學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)和實(shí)施，使教學(xué)內(nèi)容和形式既能適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平和課程目標(biāo)，又能提高學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)數(shù)學(xué)體驗(yàn)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力。主要操作步驟是：①體會(huì)教科書(shū)編者、課程標(biāo)準(zhǔn)與教科書(shū)內(nèi)容；②體會(huì)古代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)理論之精神；③考慮學(xué)生需求，編制學(xué)習(xí)單；④課堂教學(xué)。

（2）華東師范大學(xué)汪曉勤團(tuán)隊(duì)提出的歷史發(fā)生原理工程化。即以Gmssman學(xué)科教學(xué)知識(shí)框架和認(rèn)知的歷史發(fā)生原理為基礎(chǔ)，通過(guò)研讀數(shù)學(xué)史，獲得關(guān)于特定課題的學(xué)科性質(zhì)知識(shí)、學(xué)科本質(zhì)知識(shí)、課題來(lái)源及發(fā)展的知識(shí)、學(xué)生理解和誤解的知識(shí)以及數(shù)學(xué)課程與教材的知識(shí)等，再結(jié)合課堂和學(xué)生的實(shí)際，組織特定的教學(xué)策略和知識(shí)表征。主要操作步驟是：①了解所教主題的歷史；②理解該主題歷史進(jìn)化的關(guān)鍵步驟；③在現(xiàn)代情境下重構(gòu)推動(dòng)進(jìn)化的關(guān)鍵思想或問(wèn)題，使之適合介紹新知；④從易到難給出上述重構(gòu)的問(wèn)題系列；⑤課堂教學(xué)。

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)分析和設(shè)計(jì)，可參考文獻(xiàn)，不再贅述。