以“教學(xué)生思考"為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

夏小強(qiáng)

1問(wèn)題的提出

南京師范大學(xué)的涂榮豹先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)有三個(gè)：一是使學(xué)生愛(ài)學(xué)；二是會(huì)學(xué)；三是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識(shí)力。發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識(shí)力，指的就是數(shù)學(xué)教學(xué)要教學(xué)生學(xué)會(huì)思考。

教師在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)方式存在差異，這種差異對(duì)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)也許影響不大，但對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的影響，卻可能有很大的差別。

2教學(xué)內(nèi)容說(shuō)明

向量是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，力、速度、位移等都是向量的實(shí)際背景，可以用向量加以刻畫(huà)和描述。用什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)位移、速度、力這樣的量？這個(gè)數(shù)學(xué)模型有什么性質(zhì)與應(yīng)用？這就是《平面向量》的中心問(wèn)題，也是本章的知識(shí)學(xué)習(xí)的固著點(diǎn)。

向量的數(shù)量積是在向量的線性運(yùn)算基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的一種新的運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算是封閉性運(yùn)算，而向量的數(shù)量積運(yùn)算是非封閉性運(yùn)算，運(yùn)算的對(duì)象是二元的，而運(yùn)算的結(jié)果又是一元的，這種運(yùn)算的非封閉性對(duì)學(xué)生的認(rèn)知造成了很大的失衡。

3教學(xué)案例分析

筆者近期聽(tīng)了兩堂關(guān)于“平面向量的數(shù)量積”的課，兩位老師的教學(xué)過(guò)程都分為五個(gè)環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}情境——抽象模型——辨析模型（內(nèi)涵、外延）——模型性質(zhì)（運(yùn)算律）——數(shù)學(xué)應(yīng)用，兩位老師都是以“問(wèn)題”的形式來(lái)推動(dòng)教學(xué)過(guò)程。

本文結(jié)合其中的環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)四，來(lái)探究在教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)教學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”。

3.1環(huán)節(jié)一問(wèn)題情境

甲教師：

師：（問(wèn)題1）向量的運(yùn)算有向量的加法、減法、數(shù)乘，叫做向量的線性運(yùn)算，那么向量與向量能否“相乘”呢？

生：能。

師：向量與向量“相乘”這種運(yùn)算怎么定義呢？

生：應(yīng)該不是線性運(yùn)算。

師：為什么？

生：老師，向量的加法、減法、數(shù)乘，叫做向量的線性運(yùn)算，向量與向量“相乘”沒(méi)有和它們放在一起學(xué)，那肯定和它們不一樣了。

師：怎么個(gè)不一樣法？

生：……

師：我們是怎么得到向量的線性運(yùn)算的，它的結(jié)果是什么？

生：是通過(guò)將實(shí)際生活中，物理中的矢量的合成與分解，速度在某時(shí)問(wèn)段的位移抽象出來(lái)的，得到的結(jié)果還是向量。

師：你想一想，向量與向量“相乘”的結(jié)果是什么呢？

生：應(yīng)該不是向量了。

師：結(jié)果不是向量，只能是什么？

生：數(shù)……數(shù)量……（不是很肯定）

師（點(diǎn)頭）：是數(shù)量，我們?cè)趯?shí)際生活中有這樣的物理背景嗎？

生：做功，力做功的結(jié)果就是標(biāo)量，是一個(gè)數(shù)。

師：好，我們來(lái)分析這個(gè)物理背景?？纯磸那蠊Φ倪\(yùn)算中可以抽象出什么樣的向量運(yùn)算？

乙教師：

師：前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的向量、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘，向量的加法、減法、向量的數(shù)乘我們稱之為向量的線性運(yùn)算。它們都是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的刻畫(huà)。（附表1）

師：（問(wèn)題1）向量的線性運(yùn)算可以刻畫(huà)出所有的矢量運(yùn)算嗎？

生：（思考了一會(huì)）不能，不能形容矢量的做功運(yùn)算。

師：為什么？

生：矢量的做功得到的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，也就是數(shù)，而你列舉的三種運(yùn)算得到的結(jié)果都是向量。

師：那怎么辦？

生：應(yīng)該引入一種新的運(yùn)算，用這種運(yùn)算來(lái)刻畫(huà)力的做功。

師：你準(zhǔn)備如何定義這種運(yùn)算？

生：現(xiàn)在還沒(méi)想好，我想我們應(yīng)該先分析矢量做功這個(gè)物理背景，找出這個(gè)物理背景中和數(shù)學(xué)有關(guān)的元素。

師：研究數(shù)學(xué)元素的目的是什么？

生：建立數(shù)學(xué)的量的關(guān)系，就像從力的合成與分解中，得出向量的加法、減法一樣。

師：對(duì)，建立物理背景中數(shù)學(xué)的量的關(guān)系就是建立數(shù)學(xué)模型，下面，請(qǐng)大學(xué)先分析做功這個(gè)物理背景。

教學(xué)意圖

甲教師：從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部發(fā)展的需要引入概念，前面學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算，接下來(lái)就應(yīng)該學(xué)習(xí)向量的非線性運(yùn)算，并根據(jù)線性運(yùn)算的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生得出新運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系和對(duì)比。

乙教師：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出向量的概念及運(yùn)算（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)模型，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題。突出了知識(shí)的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識(shí)。

案例分析

情境的引入要能體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性，學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性一般有兩種情況：一是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程中引入新概念，也就是從數(shù)學(xué)的內(nèi)部出發(fā)，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納、比較、分析等思維活動(dòng)，尋找新知識(shí)與原有知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系，建立新的知識(shí)，甲教師正是采用這一方式引入的；二是從解決實(shí)際問(wèn)題的需要出發(fā)引入新概念，原有的知識(shí)不能解決新的問(wèn)題，需要引入新的知識(shí)來(lái)刻畫(huà)，乙教師是采用這種方式引入的。

甲教師的引入雖然體現(xiàn)了新知識(shí)與原有知識(shí)的聯(lián)系，但是學(xué)生不能認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積的必要性，只是因?yàn)榍懊鎸W(xué)過(guò)了向量的線性運(yùn)算，所以今天就要學(xué)非線性運(yùn)算，但是學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)有什么用？非線性運(yùn)算是怎么來(lái)的？這些都是通過(guò)老師以設(shè)問(wèn)的方式提出來(lái)的，雖然學(xué)生也能在老師的引導(dǎo)下去研究，但這是一種停留在數(shù)學(xué)知識(shí)本身的學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)相對(duì)被動(dòng)，學(xué)生被老師牽著走，學(xué)生的思維難以得到激發(fā)。

乙教師的問(wèn)題情境能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的必要性，教師的提問(wèn)不是直接指向數(shù)學(xué)知識(shí)本身，而是通過(guò)一系列的元認(rèn)知提示語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考問(wèn)題，再現(xiàn)知識(shí)的“創(chuàng)造”過(guò)程，這個(gè)“創(chuàng)造”的過(guò)程就是研究數(shù)學(xué)的一般方法。不僅僅向量可以這樣研究，許多別的知識(shí)也可以這樣研究，如函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等。這種教學(xué)不僅教了知識(shí)，也教會(huì)了學(xué)生如何思考。

3.2環(huán)節(jié)四 向量數(shù)量積的運(yùn)算律

甲教師：

師：我們學(xué)習(xí)了向量的數(shù)量積，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律。

（問(wèn)題3）實(shí)數(shù)的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律呢？

生：交換律、結(jié)合律、分配律。

師：請(qǐng)同學(xué)們類比一下，向量的數(shù)量積滿足交換律、結(jié)合律、分配律嗎？

（學(xué)生計(jì)算、思考）3分鐘后，

生：滿足交換律，不滿足結(jié)合律。

師：滿足分配律嗎？

生：應(yīng)該滿足吧。

師：為什么滿足分配律，說(shuō)說(shuō)理由，你能證明嗎？

生：……

師：好，大家類比一下實(shí)數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)該是滿足分配律的?，F(xiàn)在大家還不會(huì)證明，是因?yàn)槲覀儧](méi)有學(xué)向量的投影，現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)向量的投影。

（教師開(kāi)始介紹向量的投影）

乙教師：

師：我們剛剛學(xué)習(xí)了一種新的運(yùn)算——向量的數(shù)量積，學(xué)習(xí)了一種運(yùn)算后，下一步我們應(yīng)該研究什么？

生：研究它的性質(zhì)。

師：哪些性質(zhì)？

生：是否滿足運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律？

師：滿足嗎？

（學(xué)生計(jì)算、思考）

生：滿足交換律，不滿足結(jié)合律，分配律還不確定。

師：怎么不能確定？

生：不知道怎么證明。

師：那怎么辦？不會(huì)證明，就沒(méi)辦法知道是否滿足分配律嗎？

生：能不能先用特殊的向量試試看？

師：對(duì)啊，你為什么不先試試看呢？

（學(xué)生用特殊向量計(jì)算、驗(yàn)證）

生：滿足。

師：為什么滿足？

生：我用好幾個(gè)特殊的向量驗(yàn)證后都滿足了。

師：那不特殊的向量也滿足嗎？你的結(jié)論具有一般性嗎？

生：那得證明后才能知道。

師：好，我們下面就來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。

教學(xué)意圖

甲教師：教師通過(guò)設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，證明向量的數(shù)量積所滿足的運(yùn)算律。

乙教師：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)象之后，應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，對(duì)于在現(xiàn)階段還不能證明的結(jié)論，以追問(wèn)的形式引導(dǎo)學(xué)生用猜想、歸納、驗(yàn)證，最后進(jìn)行演繹證明。

案例分析

數(shù)的運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、矩陣的運(yùn)算是一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)鏈，教學(xué)應(yīng)該從發(fā)展的角度理解向量的數(shù)量積，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)、向量的運(yùn)算聯(lián)系，也為今后引入矩陣及其運(yùn)算做了鋪墊。

兩位教師都能通過(guò)類比實(shí)數(shù)，學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的運(yùn)算律。甲教師是直接讓學(xué)生去比較，乙教師則是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“新的數(shù)學(xué)對(duì)象——對(duì)象的性質(zhì)——（若可以進(jìn)行運(yùn)算）——運(yùn)算法則”這一過(guò)程，這也是概念系統(tǒng)的建立過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能體會(huì)到研究數(shù)學(xué)的通法，這種教學(xué)就能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地思考如何去研究數(shù)學(xué)對(duì)象。

當(dāng)學(xué)生遇到困難，不會(huì)證明向量數(shù)量積的分配律時(shí)，甲教師是直接進(jìn)行下一階段的學(xué)習(xí)，通過(guò)補(bǔ)充新的知識(shí)來(lái)加以證明。乙教師則是引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，先猜想、再驗(yàn)證、最后證明，這個(gè)過(guò)程也是數(shù)學(xué)新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，數(shù)學(xué)中的許多定理、結(jié)論都是這樣發(fā)現(xiàn)的，如費(fèi)馬定理、龐加萊猜想、希爾伯特問(wèn)題等，數(shù)學(xué)家們通過(guò)直覺(jué)思維猜想某個(gè)定理，再通過(guò)一些特殊的例子加以驗(yàn)證，最后以嚴(yán)密的方法進(jìn)行邏輯證明。

當(dāng)然，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)是不同的，學(xué)生是在教師引導(dǎo)下對(duì)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”，這種“再發(fā)現(xiàn)”可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，思考解決問(wèn)題的策略，乙教師的教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這種“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程。

4結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)的發(fā)展蘊(yùn)含著豐富的思想方法，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅要學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本身，還要學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣思考。

數(shù)學(xué)教學(xué)是帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“再創(chuàng)造”的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，參與數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，參與數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的創(chuàng)建，從而形成對(duì)數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識(shí)，發(fā)展理性思維。

教師不僅肩負(fù)著教學(xué)生知識(shí)的任務(wù)，更肩負(fù)著育人的使命。因此，在教學(xué)中如何呈現(xiàn)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，將科學(xué)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換成具有教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，使之能發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生思維的作用，是我們共同追求的理想。