一致穩(wěn)定矩陣的約束逆特征值問題*

劉 巍，王柏育

(長(zhǎng)沙學(xué)院)

?

一致穩(wěn)定矩陣的約束逆特征值問題*

劉 巍，王柏育**

(長(zhǎng)沙學(xué)院)

研究了關(guān)于一致穩(wěn)定矩陣的約束逆特征值問題及其最佳逼近問題. 利用矩陣的奇異值分解，給出了一致穩(wěn)定矩陣的約束逆特征值問題有解的充要條件以及解的一般表達(dá)式，最后得到了相應(yīng)的最佳逼近問題的解的表達(dá)式.

一致穩(wěn)定矩陣；約束逆特征值；最佳逼近問題

0 引言

(1)

其中U=(U1U2)∈ORn×n,V=(V1V2)∈ORm×m,U1∈Rn×r,R(U2)=N(XT),V1∈Rm×r,∑=diag(σ1,σ2,…,σr),σ1≥σ2≥…≥σr.

定義1 如果n×n實(shí)矩陣A的所有特征值的實(shí)部都小于0，稱矩陣A是穩(wěn)定矩陣，如果n×n實(shí)矩陣A的所有特征值的實(shí)部都小于等于0，稱矩陣A是半穩(wěn)定矩陣，如果n×n實(shí)矩陣A+εI,(ε>0)的所有特征值的實(shí)部都小于等于0，稱矩陣A是一致穩(wěn)定矩陣.

該文主要討論以下兩個(gè)問題:

問題Ⅰ(約束逆特征值問題) 給定α>0. 令

hj<0,λk<0,j=1,…,p,k=2p+1,…,m.

求矩陣A使得集合SE={A|AX=XΛ,A∈Sε(n)}非空，以及求集合SE的某個(gè)子集SE(α)使得SE(α)中每個(gè)矩陣的剩余特征值都位于半徑為α的閉圓盤Dα內(nèi)， 其中ε=min{|hj|,|λk|,j=1,…,p,k=2p+1,…,m},Sε(n)=

{A|Re(λ(A+εI))≤0,A∈Rm×n}.

問題Ⅱ (最佳逼近問題) 給定B∈Rn×n.求AB∈SE(α)使得

對(duì)于不同矩陣集合約束的逆特征值問題AX=XΛ，已經(jīng)有很多結(jié)果，張磊和潘小平在文獻(xiàn)[4-6]中, 討論了相應(yīng)的約束逆特征值問題, 并且給出了在實(shí)軸和虛軸上的一般解的表達(dá)式和相應(yīng)的最佳逼近解.

1 問題Ⅰ的解

在該節(jié)中，根據(jù)矩陣的奇異值分解，給出了問題Ⅰ有解的條件以及解的一般表達(dá)式.

定理1[7]令X,Λ如問題Ⅰ中所定義, 則問題Ⅰ的解集SE非空的充要條件是

XΛX+X=XΛ

(2)

而且，如果A∈SE, 則

(3)

其中U,∑,V1如引理1中所定義,A12∈Rr×(n-r),A22∈Sε(n-r)是任意的.

下面將給出約束解集合SE(α).

定理2 令X,Λ如問題Ⅰ中所定義, 則問題Ⅰ的解集SE(α)非空的充要條件是XΛX+X=XΛ.

反之，假設(shè)存在矩陣A∈SE(α)使得AX=XΛ,則有‖AX-XΛ‖2=0.令矩陣X的奇異值分解如(1)式, 令

由引理1和Frobenius范數(shù)的正交不變性, 可得

(4)

(4)式可以也表示為

2 問題Ⅱ的解

在本節(jié)中，對(duì)給定的矩陣B，給出約束逆特征值問題的最佳逼近解.

其中

則a+ib，c+id分別是矩陣Ω和W的特征值. 令

情形2 π-φ≤θ≤π+φ,ρ(Ω)>α.因?yàn)?/p>

(5)

‖Ω-W‖2=2(a-c)2+2(b-d)2,

和

根據(jù)引理3, 可得

(6)

而且, 矩陣AB的表達(dá)式為

證明 設(shè)矩陣A∈SE(α),則有

(7)

由(6)式, 可知(7)式成立當(dāng)且僅當(dāng)

令

[1] Haftka R T, Adelman H M. Recent developments in structural sensitivity analysis[J]. Structural optimization, 1989, 1:137-151.

[2] 張磊,謝冬秀. 一類逆特征值問題. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 1993,13(1) :94-99.

[3] Hirsch M W, Smale S. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra[J]. Academic Press Inc,San Diego, CA, 1974:29-61.

[4] 張磊. 一類對(duì)稱矩陣的逆特征值問題[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1990,12 (1):65-71.

[5] Pan X P, Hu X Y, Zhang L. The solvability conditions for a class of constrained inverse eigenvalue problem of antisymmetric matrices[J]. Korean Math Soc, 2006,43(1) :87-98.

[6] Pan X P, Hu X Y, Zhang L. A class of constrained inverse eigenproblem and associated approximation problem for skew symmetric and centrosymmetric matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2005,408:66-77.

[7] Liu W, Li D W, Lan Y. Inverse eigenvalue problem and associated approximation for uniform stable matrices[J]. Proceeding of the sixth international conference of matrices and operators, 2011(2): 155-158.The Constrained Inverse Eigenvalue Problem for Uniform Stable Matrices

(責(zé)任編輯：李家云)

Liu Wei，Wang Baiyu

(Changsha University)

In this paper, a kind of constrained inverse eigenvalue problem and associated optimal approximation problem for uniform stable matrices are studied. Based on the singular value decomposition, the sufficient and necessary conditions of the solvability and the general solutions of the constrained inverse eigenvalue problem are presented. Finally, the expression of the solution for the optimal approximation problem is obtained.

Uniform Stable Matrix; Constrained Inverse Eigenvalue; Optimal Approximation Problem

2015-12-15

*湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目(15C0120)

**通訊作者：wangbaiyumath@163.com

O241.6

A

1000-5617(2016)02-0033-03