高中學(xué)生數(shù)學(xué)審題失誤的類型和培養(yǎng)學(xué)生審題能力的策略*

筅陜西省麟游縣中學(xué)　張哲　韓紅軍　張紅祥

高中學(xué)生數(shù)學(xué)審題失誤的類型和培養(yǎng)學(xué)生審題能力的策略*

筅陜西省麟游縣中學(xué)張哲韓紅軍張紅祥

數(shù)學(xué)審題就是對題目信息進(jìn)行觀察、理解、處理，感知數(shù)學(xué)問題中的文字和圖形信息，弄清哪些是條件，哪些是結(jié)論，獲取數(shù)學(xué)“符號信息”和“形象信息”，識別題目的類型，將獲取的信息不斷重新整合，提取有用的結(jié)論，明確解題方向、思路和途徑.在解題過程中發(fā)現(xiàn)已知和未知之間的聯(lián)系無法建立時(shí)回題，檢查是否遺漏或忽略某一條件；當(dāng)問題得到解答時(shí)，檢測結(jié)論是否與已知相符合，是否與已知有矛盾之處的一種立體螺旋式動態(tài)思維活動.數(shù)學(xué)審題貫穿于整個(gè)解題過程之中，包括解題前的初審、解題中的再審、解題后的終審三部分.三部分互相依存，形成一個(gè)有機(jī)的整體，又密不可分.

一、審題失誤的類型

1.曲解題意

由于學(xué)生沒有讀懂題目，沒有正確理解題意，可能遺漏條件，可能沒有理解字面含義，可能沒有理解數(shù)學(xué)概念，可能沒有畫圖分析題意導(dǎo)致審題錯(cuò)誤，曲解題意.

1.1遺漏條件

例1從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是［3b2，4b2］，則這一橢圓離心率e的取值范圍是（）.

錯(cuò)誤審題：此題曾使很多同學(xué)苦惱，無法求出準(zhǔn)確答案.

原因分析：因?yàn)閷W(xué)生沒有充分注意“劃出一塊面積最大的矩形”這一條件.設(shè)橢圓方程為=1，則橢圓的參數(shù)方程為則矩形的面積s=4acosα·bsinα=

2absin2α，故最大矩形面積為2ab.所以3b2≤2ab≤4b2圯，所以

1.2沒有理解字面含義

例2某商場預(yù)計(jì)2016年從1月起前x個(gè)月顧客對某種商品的需求總量（單位：件）P（x）與月份x的近似關(guān)系是P（x）=x（x+1）（41-2x），x≤12，x∈N*.

（Ⅰ）寫出第x個(gè)月的需求量（單位：件）（fx）的表達(dá)式；

（Ⅱ）若商場在年初必須與供貨商簽訂供貨協(xié)議，在每月初必須等量地進(jìn)貨A（A∈Z）件，試確定A的最小值，使得該商場的備貨每月都能滿足需求.

錯(cuò)誤審題：（Ⅰ）很容易得到（fx）=-3x2+42x，x≤12，x∈N*（.Ⅱ）由題知，A≥（fx）對坌x≤12，x∈N*恒成立，所以A≥（fx）max=（f7）=147.

原因分析：上述錯(cuò)誤審題的原因是學(xué)生沒有正確理解題中“該商場的備貨每月都能滿足需求”這句話的含義，把“備貨”和“進(jìn)貨量”簡單地劃上了等號，認(rèn)為只要A不小于每個(gè)月的需求量即可.所以正確審題分析如下：由題意知，A≥P（x）對坌x≤12，x∈N*恒成立，故A≥P（x）max=115，又A∈Z，所以A的最小值為116［1］

1.3錯(cuò)誤理解數(shù)學(xué)概念

例3設(shè)兩個(gè)向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為，若向量2te＋7e與e＋te的夾角為鈍角，實(shí)數(shù)t的

1212范圍為_________.

錯(cuò)誤審題：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，得（2te1＋7e）2·（e1＋te2）＜0，化簡即得：2t2＋15t＋7＜0，解得-7＜t＜-

原因分析：上述錯(cuò)誤審題的原因是錯(cuò)誤理解了向量的夾角為鈍角這個(gè)概念造成的.當(dāng)夾角為π時(shí)，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，但此時(shí)夾角不是鈍角，2te1＋7e2與 e1＋te2反向.設(shè)2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ＜0，可求得故所以所求實(shí)數(shù)t的范圍是∞∪

1.4沒有畫圖幫助分析審題

例4已知拋物線y2=2px（p>0），點(diǎn)A（2，3），F(xiàn)為焦點(diǎn)，若拋物線上的動點(diǎn)M到A、F的距離之和的最小值為，求拋物線的方程.

錯(cuò)誤審題：由題意知，|MA|+|MF|≥|AF|，則（|MA|+ |MF|）min=|AF|=，解得p=2或p=6.當(dāng)p=6時(shí)，拋物線的方程為y2=12x，若x=2，則y2=12x=24> 9，不符合題意，應(yīng)舍去.同理可知，p=2符合題意.故所求拋物線方程為y2=4x.

原因分析：上述錯(cuò)誤審題在于沒有畫圖，畫圖分析可知，點(diǎn)A和焦點(diǎn)F有可能在拋物線的異側(cè)，有可能在拋物線的同側(cè).如果在同側(cè)，作MN⊥l于點(diǎn)N，AB⊥l于B，于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AB|，則（|MA|+|MF|）min=|AB|=，解得p=2（，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.所以所求拋物線方程為y2=4x或y2=4（

2.忽視隱含條件

由于學(xué)生忽視題目中的隱含條件，可能是參數(shù)所含的制約條件，可能是問題表述中的隱含條件導(dǎo)致審題錯(cuò)誤.

2.1忽視參數(shù)所含的制約條件

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為（t為參數(shù)）和（θ為參數(shù)），則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.

錯(cuò)誤審題：本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，突破口是把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，利用方程思想解決，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2=x，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2，聯(lián)立方程得，解得所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（-1，-1）.

原因分析：上述錯(cuò)誤審題的原因是忽略了參數(shù)所表示的取值范圍，表達(dá)式中x，y∈［0，+∞）.曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：y2=x（x≥0，y≥0），曲線C2的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2，聯(lián)立方程得所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）.［2］

2.2挖掘問題表述中的隱含條件

例6已知x2+4y2=4x，則x2+y2的取值范圍是（）.

B.［0，+∞）

C.［0，16］D.［16，+∞）

原因分析：本題涉及兩個(gè)變量，而且結(jié)論中的x2+ y2≥0，所以上述審題程序是有漏洞的，失誤的原因主要是忽略了題目中由于兩個(gè)變量x，y的相互制約所隱含的變量x的取值范圍，所以我們可以進(jìn)一步完善上述審題程序如下：

3.反思終審

由于學(xué)生解完題后沒有回頭望，忽視檢驗(yàn)或數(shù)學(xué)定理、公式或法則沒有吃透，運(yùn)用不當(dāng)導(dǎo)致解題后的終審錯(cuò)誤而功虧一簣.

3.1忽視檢驗(yàn)

例7已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，求a，b的值.

錯(cuò)誤審題：f′（x）=3x2+2ax+b，由題意可知，

原因分析：對于可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).函數(shù)y=f（x）在x=x0處取極值的充要條件應(yīng)為：（1）f′（x0）=0，（2）在x=x0左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的符號相反.上述錯(cuò)誤審題的原因是只滿足了（1），對于（2）我們必須進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知在x=1的左右兩側(cè)都有f′（x）>0，即函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增的，因此f（x）在x=1處并不存在極值.當(dāng)a=4，b=-11時(shí)，f（x）=x3+4x2-11x+16的圖象如圖1，當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f（x）=x3-3x2+3x+9的圖像如圖2，故本題正確答案應(yīng)為

圖1　

圖2　

3.2數(shù)學(xué)定理、公式或法則運(yùn)用不當(dāng)

原因分析：利用基本不等式求最值時(shí)，無論怎樣變形，均需滿足“一正、二定、三相等”的條件.上述審題的錯(cuò)誤原因是解題時(shí)應(yīng)盡量避免多次應(yīng)用基本不等式，如連續(xù)應(yīng)用了基本不等式，應(yīng)特別注意檢查等號是否能同時(shí)成立.b＋4，因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，則≥17.所以原式≥×17＋4＝最小值是

二、培養(yǎng)學(xué)生審題能力的策略

1.以概念教學(xué)為途徑，培養(yǎng)學(xué)生正確的審題意識和審題方向

審題意識是指學(xué)生對審題行為本身的覺察和關(guān)注度.數(shù)學(xué)審題能力的培養(yǎng)，首先要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，而最能培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力的是概念教學(xué).課堂教學(xué)中，在概念形成時(shí)，給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生多角度地思考和聯(lián)想，體會概念產(chǎn)生的背景，公式、定理的推導(dǎo)中蘊(yùn)含的思維方式等.（1）通（粗）讀.看到一個(gè)數(shù)學(xué)題目后，先進(jìn)行粗略閱讀，搜集匯總題目中的信息，對重要的字、詞、句、量標(biāo)上記號，理清題目中的已知條件和結(jié)論，對解題途徑提出若干設(shè)想，從自己大腦中儲存的知識中提取與之相適應(yīng)問題的方法，建立初步的思維鏈，在大腦中進(jìn)行整合.（2）精讀.通讀之后要認(rèn)真細(xì)致地閱讀題目條件，仔細(xì)體會題目中的關(guān)鍵詞句，包括直接的、間接的、隱含的條件等一個(gè)都不能放過.同時(shí)，畫個(gè)圖、列個(gè)式子、文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，看不懂的地方變換一下表述方式，逐字逐句地加以理解.

2.運(yùn)用程序化審題方法，培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣

審題習(xí)慣是指在解題過程中，在弄清和理解題意，找到解題對策過程中的行為心理表現(xiàn)及思維方式.具體表現(xiàn)在：首先獲取題目的有用信息，弄清題目的結(jié)構(gòu)特征，弄清題目的意境，明確題目的要求，然后捕捉和加工題中的有效信息，辨析題中的限制條件和隱含條件，判明題型，選擇相應(yīng)解法.學(xué)生的審題是一個(gè)心理過程，為了規(guī)范學(xué)生的審題，培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣，我們可以采用下列的審題程序：（1）已知條件是什么？關(guān)鍵詞是什么？（理清條件）（2）求（證）什么？屬于什么范疇的問題？（找準(zhǔn)目標(biāo)）（3）問題中所涉及的數(shù)學(xué)術(shù)語的含義是什么？怎么表示？（條件轉(zhuǎn)化）（4）是否見過類似的問題？什么地方相似？對當(dāng)前的問題能不能利用？（尋求思路）（5）現(xiàn)在還缺少什么？（回頭再審）（6）題中還有其他限制條件嗎？（挖掘隱含）（7）結(jié)果符合實(shí)際問題要求嗎？（反思終審）通過不斷地訓(xùn)練，將學(xué)生原先無序的審題活動逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)范化地自控地心理行為，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，達(dá)到審題行為習(xí)慣的提升.［4］

3.以審題訓(xùn)練為抓手，提高學(xué)生的審題能力

數(shù)學(xué)審題能力的高低，直接反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的水平.在初步理解題意后，開始準(zhǔn)備解題，這時(shí)就要尋找題目的突破口，挖掘已知和所求的內(nèi)在聯(lián)系，使條件向結(jié)論逐漸靠近的過程，在向前推導(dǎo)的同時(shí)注意觀察，在不斷試探中尋找解法.審題是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S活動，它貫穿于整個(gè)解題過程的前后，在解完題后，一定讓學(xué)生養(yǎng)成回頭望的習(xí)慣，看是否挖出了參數(shù)所含的制約條件，是否挖出了問題表述中的隱含條件，是否挖出了問題敘述中暗示的解題突破口.要提高學(xué)生審題能力，首先要培養(yǎng)學(xué)生的審題意識，其次教會學(xué)生程序化的審題，最后還要讓學(xué)生養(yǎng)成反思終審的習(xí)慣.經(jīng)過長期地訓(xùn)練，學(xué)生就會養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，練就良好的審題直覺，把握正確的方向，形成正確的審題意識，提升自身的審題能力.

1.沈宏.高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題的分類與成因分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（12）.

2.汪顯林.中學(xué)數(shù)學(xué)解題糾錯(cuò)實(shí)用寶典［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2014.

3.葛光.跨越導(dǎo)數(shù)誤區(qū)實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)——例析導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.

4.羅增儒.數(shù)學(xué)審題審什么，怎么審？［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（4）.Z

*本文是2015年陜西省教育學(xué)會一般課題“高中學(xué)生數(shù)學(xué)審題失誤的原因與對策研究”（編號：SJHYBKT2015315-02）的研究成果.