如何巧解高中數(shù)學(xué)選擇題

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)　楊廣娟

如何巧解高中數(shù)學(xué)選擇題

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)楊廣娟

選擇題以其“題型小、檢面寬、解法活、過程簡、批閱便”等特點(diǎn)為各種考試所青睞.高中數(shù)學(xué)試卷中選擇題的比重較大，是不容小覷的一種題型.做好數(shù)學(xué)選擇題的關(guān)鍵，不僅要有高的質(zhì)量還要有快的速度.如何既快又準(zhǔn)地解答選擇題是困擾學(xué)生的一大難題，解決這一難題的法寶就是必須掌握科學(xué)的解題方法.美國著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”因此，除熟練掌握基本知識，提高運(yùn)算能力之外，還需要充分運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想巧解選擇題.這里根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐所得總結(jié)幾種巧解選擇題的方法，希望能夠引起學(xué)生的重視，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，使學(xué)生具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光，以期提高解題的速度和正確率.

一、直接法

直接法是高中數(shù)學(xué)解答選擇題常用的方法，此種方法適用于運(yùn)算不太復(fù)雜、相對簡單的題目，或者是涉及概念、性質(zhì)的理解和辨析的題目.直接法應(yīng)用范圍廣泛，很多學(xué)科都普遍采用，主要考查學(xué)生最基本的解題能力，是考驗(yàn)基本功的重要環(huán)節(jié).運(yùn)用好此種方法先要從題設(shè)條件出發(fā)，認(rèn)真審題，再結(jié)合學(xué)過的有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照所給的選項(xiàng)答案“對號入座”做出相應(yīng)的選擇.這種方法能夠培養(yǎng)謹(jǐn)慎，細(xì)心的做題習(xí)慣，避免不必要的丟分.

例1設(shè)f′（x）、g′（x）分別為f（x）、g（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，則當(dāng)a

A.f（x）g（b）>f（b）g（x）B.f（x）g（a）>f（a）g（x）

C.f（x）g（x）>f（b）g（b）D.f（x）g（x）>f（b）g（a）

簡析：直接通過已知條件構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）g（x），則F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，知道F（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，有F（x）>F（b），即f（x）g（x）>f（b）g（b），則得出正確答案C.這種直接推斷的方法不繞彎子，簡單明了，技巧性不是很強(qiáng)，但是需要基礎(chǔ)知識的扎實(shí)掌握，需要同學(xué)們把書讀透，深刻理解基本概念、公式、結(jié)論的內(nèi)涵和外延，并逐漸掌握它們的使用方法.這一點(diǎn)是很容易被學(xué)生忽視的，很多人認(rèn)為考試不可能讓默寫某個(gè)概念或公式，所以復(fù)習(xí)時(shí)常常一帶而過，對這部分知識采取輕蔑的態(tài)度，而沒有考慮到很多時(shí)候出題者是利用這些概念或公式考查學(xué)生解決問題的能力.這種靈活運(yùn)用公式、概念的能力只有也只能通過反復(fù)做題來獲得，所以建議廣大學(xué)生要保證做一定數(shù)量的此類題目.

另外，平時(shí)做題曾經(jīng)求證過的而書上沒有的結(jié)論也可以直接拿來用.比如，三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直則頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心，記住它，那么每當(dāng)出相關(guān)的題時(shí)，你會感覺比較敏感，直接推出一些有用的結(jié)論，不僅節(jié)約時(shí)間，還提高了效率.

二、配方法

當(dāng)我們面臨一道內(nèi)容抽象不易捉摸的題目時(shí)，配方法就像魔法棒一樣，可以幫助我們化難為易，化繁為簡.簡單說配方法就是利用完全平方公式對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形，把一個(gè)式子或部分式子配成完全平方的技巧.當(dāng)原題抽象有難度時(shí)，我們不妨設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所涉及的各對象之間的細(xì)微關(guān)聯(lián)，也就是通過配方架起一道已知和未知的橋梁，從而化繁而簡，找到原題的解題思路.何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方，它是數(shù)學(xué)重要的方法和技巧.

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方新形勢.

如：（1）a2＋b2＝（a＋b）2-2ab＝（a-b）2＋2ab；

（2）a2＋ab＋b2＝（a＋b）2-ab＝（a-b）2＋3ab＝

（3）a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝（（a＋b）2＋（b＋c）2＋（a＋c）2）；

（4）a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2-2（ab＋bc＋ca）＝（a＋b-c）2-2（ab-bc-ca）＝……

結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式.

例2方程x2＋y2-4kx-2y＋5k＝0表示圓的充要條件是（）.

A?1

C.k∈RD.k＝?或k＝1

簡析：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（x-a）2＋（y-b）2＝r2，解r2>0即可，選B.

三、圖解法

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.有些涉及數(shù)量關(guān)系的選擇題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大，消耗時(shí)間，而用圖形分析相關(guān)的數(shù)量效果則大不一樣.圖像提供的信息讓人感覺更直觀，從而大大降低思維難度，是解決數(shù)學(xué)選擇題的又一有效方法.圖解法簡單說就是根據(jù)題意，畫出相關(guān)的圖形，然后根據(jù)圖形的畫法及相關(guān)性質(zhì)、特征，得出結(jié)論.其本質(zhì)就是利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，利用圖形的直觀性，再輔以簡單計(jì)算，確定正確答案.圖解法貫穿重要數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想，這種解法以簡馭繁，使抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，有很大的實(shí)用性.

例3已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈［0，1］時(shí)，f（x）=x，則方程f（x）=log3x的解的個(gè)數(shù)為（%）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

簡析：用圖解法.根據(jù)題意，函數(shù)的最小正周期T=2，則畫出圖像（圖1），由圖像觀察得知，符合題意的選項(xiàng)是C.

圖1　

圖解法只需畫出草圖，然后根據(jù)圖形的形狀、位置、性質(zhì)、綜合特征等得出正確答案，省時(shí)省力，方便快捷.不過運(yùn)用這種方法是一定要對有關(guān)函數(shù)圖像、方程曲線、幾何圖形有較深的了解，否則圖像運(yùn)用錯(cuò)誤必然會誤導(dǎo)結(jié)論，得不償失.

四、特殊值法

當(dāng)我們面臨一道難以直接入手的一般性題目時(shí)，可以考慮迂回戰(zhàn)術(shù)，嘗試從一般情況中尋找特殊的部分.就是考查包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，這個(gè)簡單的特殊問題解答起來容易、快捷，接著從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方式和途徑，這就是特殊值法.特殊值法就是用特殊來判斷一般規(guī)律的方法，我們可以采用一個(gè)特殊的值或者是圖形來替換題中普遍的條件，如果特殊值成立，那一般情況就成立，特殊值不成立，一般情況也不一定會成立，以此來得出一個(gè)結(jié)論，然后再對照得出答案.常見的特殊值有特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特殊值的選擇越簡單越方便，結(jié)果就越清晰越明確，此種方法可以避免復(fù)雜的運(yùn)算過程在短時(shí)間內(nèi)判斷對錯(cuò)、大小，不僅降低了學(xué)生的計(jì)算量，還縮小了答案的選擇面，提高了學(xué)生的解題效率.這種方法對解決某些定值性選擇題特別有效，30%左右的選擇題可以選用此種方法.

例4已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，則一定有（%）.

A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0

C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0

簡析：當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線的開口朝下，且當(dāng)x=-1時(shí)，ax2+bx+c=a-b+c＞0，即y＞0，顯然圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而且我們知道b2-4ac＞0，所以本題的答案應(yīng)為A.

當(dāng)正確地選擇對象，在題設(shè)條件都成立的情況下，用特殊值進(jìn)行探求，便會得出最佳答案.

總之，除上述介紹的方法外，還有如估算法、極限法、邏輯法等.關(guān)于方法的選擇要在實(shí)踐中具體問題具體分析，根據(jù)不同題目類型的典型特點(diǎn)選擇最有效、最便捷的解題方法.如果對每一道選擇題都能做到優(yōu)化，則可以為后面大題的求解節(jié)省很多寶貴的時(shí)間，做到時(shí)間的合理分配，質(zhì)量的準(zhǔn)確高效.所以，平時(shí)要對選擇題的解法不斷進(jìn)行總結(jié)，努力掌握，靈活運(yùn)用，提高解題能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)快速培養(yǎng)，以便有十足的把握備戰(zhàn)高考.F