例談“設(shè)而不求”在解析幾何中的運(yùn)用

筅江蘇省連云港市厲莊高級(jí)中學(xué)　陳衛(wèi)光

例談“設(shè)而不求”在解析幾何中的運(yùn)用

筅江蘇省連云港市厲莊高級(jí)中學(xué)陳衛(wèi)光

“設(shè)而不求”，顧名思義就是根據(jù)題意巧妙設(shè)立未知數(shù)并不真正解出來，而是建立“未知”和“已知”之間的關(guān)系，從而幫助我們解題，而未知數(shù)本身并不需要求出它的值.“設(shè)而不求”的方法把關(guān)注通過運(yùn)算求解上升為關(guān)注分析求解，即通過少量的計(jì)算大量的分析實(shí)現(xiàn)解題.“設(shè)而不求”的方法在解析幾何的一些問題中有諸多應(yīng)用，它優(yōu)化了學(xué)生的解題思路，讓難題的解決更有信心.筆者在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)“設(shè)而不求”的方法在解析幾何中存在大量的運(yùn)用，現(xiàn)整理如下，以期拋磚引玉.

一、運(yùn)用一——點(diǎn)差法

點(diǎn)差法常常用來解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.若設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.

“點(diǎn)差法”主要適用于題中涉及中點(diǎn)和斜率的問題.如：求中點(diǎn)弦方程、（過定點(diǎn)，平行弦）弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線等問題.

1.證明定值問題

在解答平面解析幾何中的定值問題時(shí)，如果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.

圖1　

證明：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）（x0≠x1，x0≠ x2），于是，整理得，所以，即又OC//BP，所以kOC=kBP，于是kAP·kBP=-

評(píng)注：點(diǎn)差法的特點(diǎn)是題目中有明顯或隱含的中點(diǎn)，而中點(diǎn)與斜率又有某種程度的關(guān)聯(lián).點(diǎn)差法的一般處理程序是設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入曲線方程，再作差，最后將表達(dá)式化成含有斜率與中點(diǎn)的式子.

2.點(diǎn)差法求直線的方程

在解析幾何題中，經(jīng)常已知點(diǎn)在曲線上，求另外相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程，可以設(shè)出相關(guān)點(diǎn)，作差求出方程.

例2已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，其中A（2，8），且△ABC的重心G是拋物線的焦點(diǎn)，求直線BC的方程.

解析：由已知拋物線方程得G（8，0）.設(shè)BC的中點(diǎn)為M（x0，y0），則A、G、M三點(diǎn)共線，且|AG|=2|GM|，所以G分所成比為2，于是解得，所以M（11， -4）.設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則y1y2=-8.又兩式相減得y-4.故BC所在直線方程為y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0. 3.點(diǎn)差法求點(diǎn)的軌跡

所求點(diǎn)的軌跡是由與之相關(guān)的點(diǎn)引起，而相關(guān)的點(diǎn)在已知曲線上，因而可以設(shè)出相關(guān)點(diǎn)，作差求得.例3已知橢圓+y2=1，求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.

解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為M（x，y），則兩式相減得=0，所以=0.又x1+x2=，所以x+4y=0.因?yàn)橄抑悬c(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，故所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為x+4y=0（在已知橢圓內(nèi)）.

4.利用點(diǎn)差法求參數(shù)的取值范圍

在一類曲線上是否存在關(guān)于某直線對(duì)稱的問題中，經(jīng)常會(huì)求參數(shù)的取值范圍，此類題中常用點(diǎn)差法解決.

例4若拋物線C：y2=x上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=m（x-3）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：當(dāng)m=0時(shí)，顯然滿足.

當(dāng)m≠0時(shí)，設(shè)拋物線C上關(guān)于直線l：y=m（x-3）對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為P（x1，y1）、Q（x2，y2），且PQ的中點(diǎn)為M（x0， y0），則，兩式相減得，故.又因?yàn)橹悬c(diǎn)M（x0，y0）在直線l：y=m（x-3）上，所以y0=m（x0-3），于是x0=.因?yàn)橹悬c(diǎn)M在拋物線y2=x區(qū)域內(nèi)，所以解得-

二、運(yùn)用二——同構(gòu)式的運(yùn)用

同構(gòu)式，也稱為同解式，指在解決圓錐曲線中的直線方程時(shí)，式子的結(jié)構(gòu)相同，此時(shí)可以設(shè)出直線方程，關(guān)注式子的形式，從形式的統(tǒng)一性求直線方程，實(shí)現(xiàn)“設(shè)而不求”目的，大大減少計(jì)算量，優(yōu)化解題過程，是解決此類問題的最佳方法.

例5設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程.

解析：（Ⅰ）x2=4y.

（Ⅱ）拋物線C的方程為x2=4y，即y=x2，求導(dǎo)得y′=x.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA、PB的斜率分別為，所以切線PA的方程為y-y1=（x-x1），即y=+y1，即x1x-2y-2y1=0；同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.因?yàn)榍芯€PA、PB均過點(diǎn)P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以（x1，y1）、（x2，y2）為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

評(píng)注：同構(gòu)式運(yùn)用的重點(diǎn)是觀察式子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，從已知的具有相同結(jié)構(gòu)的等式中抽象出直線方程.顯然觀察法對(duì)學(xué)生的觀察能力，直覺思維有更大的要求的，但是卻讓學(xué)生更加專注于問題分析，而不是大量計(jì)算.

三、運(yùn)用三——運(yùn)用參數(shù)方程

運(yùn)用參數(shù)方程是解決圓錐曲線中與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法，該動(dòng)點(diǎn)往往與動(dòng)直線有緊密的聯(lián)系.該方法與點(diǎn)差法有點(diǎn)類似，也需要設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，不過此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)被看成參數(shù)，然后將所得的式子選擇性相乘，通過消參得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

解析：A1、A2為雙曲線的左右頂點(diǎn)，它們的坐標(biāo)為

A1（-，0），A2（，0），則A1P：y=x+，A2Q：y=，兩式相乘得（x2-2）.因?yàn)辄c(diǎn)P（x1，y）1在雙曲線上，則-=1，即x=，故y2=-（x2-2），即+y2=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，以上所得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)無法取到，故交點(diǎn)軌跡E的方程為+y2=1（x≠0，且x≠±）.

可見，在解決圓錐曲線的一些動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)，運(yùn)用參數(shù)方程也是一種設(shè)而不求的方法，它把關(guān)注點(diǎn)同樣放在了式子的變形上，最終實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算.總之，設(shè)而不求在高中數(shù)學(xué)中有很廣泛的運(yùn)用，筆者僅舉幾例說明，希望對(duì)一線的老師有所啟迪.F