例談平面幾何法解決解析幾何問題的幾種途徑

筅江蘇省啟東市呂四中學(xué)　周華

例談平面幾何法解決解析幾何問題的幾種途徑

筅江蘇省啟東市呂四中學(xué)周華

眾所周知，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是歷年高考的首選題型.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，數(shù)形結(jié)合是其主要特征.因此，靈活運用代數(shù)知識的同時，充分利用問題中的“幾何性質(zhì)”，往往是解決解析幾何問題的關(guān)鍵.在解決高中解析幾何問題時，若能夠巧妙地運用平面幾何知識，不僅能夠有效解決問題，而且會使問題變得簡潔明了.特別是在高三復(fù)習(xí)過程中，能將相關(guān)知識點聯(lián)系起來，將平面幾何與解析幾何融為一體，在提高解題的技能和速度的同時，也使學(xué)生解題中感受到數(shù)學(xué)的無限魅力.下面筆者就從平面幾何的一些性質(zhì)出發(fā)，探討幾類解析幾何問題的巧妙解法.

一、運用中位線的性質(zhì)解題

中位線定理是平面幾何中較容易掌握和理解的結(jié)論，在解析幾何題中經(jīng)常含有中點一類的信息，若能在解析幾何中巧妙地加以運用，則會使有關(guān)問題變得更加簡單容易，利于解題.

解析：如圖1，設(shè)F′為橢圓的右焦點，連接PF′.

圖1　

評注：本解法是從幾何角度入手，巧妙地利用了三角形的中位線的性質(zhì)，充分發(fā)揮了數(shù)形結(jié)合的作用，揭示了題目的本質(zhì).

二、運用點的對稱性質(zhì)解題

解析幾何經(jīng)常是點、線之間的關(guān)系，經(jīng)常會涉及點、線的對稱問題，若能巧妙用好直線與點的對稱問題，就能輕松求解.

例2如圖2，使拋物線y=ax2-1（a≠0）上總有關(guān)于直線l：x+y=0對稱的兩點，試求實數(shù)a的取值范圍.

解析：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點，直線P1P2的方程為y=x+b.

圖2　

由韋達定理知x1+x2=

由對稱性質(zhì)知，線段P1P2的中點既在直線P1P2上，又

三、運用矩形圖形的性質(zhì)解題

在解析幾何題中，常常會有過已知曲線內(nèi)某一個定點，作互相垂直的直線一類題，從幾何圖形看，構(gòu)造了矩形，就可以用矩形里的性質(zhì)解題，取得意想不到的效果.

例3已知AC、BD為圓：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），則四邊形ABCD的面積的最大值為______.

解法一：如圖3，S四邊形ABCD=

當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD時取“=”號，且Smax=此時圓心O到AC、BD的距離OE、OF相等，在正方形OEMF中，由OM=，得到OE=

圖3　

解法二：如圖4，設(shè)E、F分別為

AC、BD的中點，則在矩形OEMF中，

OE2+OF2=OM2=3.又AC2+BD2=4（4-

OE）2+4（4-OF）2=20，則S四邊形ABCD=當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD時，取“=”號.

圖4　

評注：在解題時，需要靈活思考，解法一巧用基本不等式及特殊的純幾何圖形直接求解，解法二是在解法一的基礎(chǔ)上優(yōu)化了解題過程，變正方形為矩形.可見，在解決解析幾何題時，我們不妨考慮得細致一點兒，方法多樣一點兒，則能靈活解決相關(guān)問題.

四、運用線段垂直平分線性質(zhì)解題

垂直平分線定理是平面幾何中常見并且運用較為廣泛的定理，也是我們熟知的定理，若能在解析幾何中巧妙運用，則可避開復(fù)雜運算，使解答直觀容易.

例4如圖5，A、B是兩個定點，且|AB|=2，動點M到點A的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點P，直線k垂直于直線AB，且點B到直線k的距離為3.求證：點P到點B的距離與到直線k的距離之比為定值.

證明：以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）.

圖5　

因為直線l為線段MB的垂直平分線，所以|PM|=|PB|，所以|PA|+|PB|= |PA|+|PM|=|MA|=4.

所以點P的軌跡是以A、B為兩焦點，長軸為4的橢圓，易求其方程為=1，直線k是橢圓的準(zhǔn)線.根據(jù)定義知，點P到點B的距離與到直線k的距離之比為e=

評注：本題巧妙地運用垂直平分線定理及橢圓定義很快使問題獲解.

五、運用圓和三角形有關(guān)性質(zhì)解題

圓和三角形是平面幾何中的基本圖形，也是解析幾何問題中常見的“構(gòu)造”元素，所以圓和三角形的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，在解析幾何問題中是十分重要的.例如，解析幾何中曲線上的兩動點連線過定點問題是高考考查的重點內(nèi)容之一，是近年來高考、競賽的常見題.此類問題定中有動，動中有定，常與軌跡問題、曲線系問題相結(jié)合，深入考查直線與圓、圓錐曲線的關(guān)系等相關(guān)知識，若利用圖形中的幾何特征來解題能起到事半功倍的作用.

例5如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2=r2和直線l：x=a（其中r和a均為常數(shù)，且0＜r＜a），M為l上一動點，A1、A2為圓C與x軸的兩個交點，直線MA1、MA2與圓C的另一個交點分別為P、Q，求證：直線PQ過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

圖6　

分析：此題解法很多，若按照解析幾何的基本思路循規(guī)蹈矩，即用代數(shù)方法解決幾何問題，設(shè)出點的坐標(biāo)，找出題目中的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式，解得結(jié)果.思路簡單、清晰，學(xué)生易上手，但由于題中涉及的未知量較多，因此運算過程復(fù)雜，計算量大，需要學(xué)生有足夠的耐心和細心，一般學(xué)生很難解到最終結(jié)果（具體解法略），若能關(guān)注到圖形的幾何特征即可很快得到結(jié)果.

證明：運用圓直徑所對的圓周角是直角，建立代數(shù)關(guān)系，列出動點P、Q滿足的曲線系方程，求出動直線PQ的方程，得出定點.

由題設(shè)可知，A1（-r，0），A2（r，0），設(shè)M點的坐標(biāo)為（a，t），直線MA1的斜率為k1，MA2的斜率為k2，則MA1的方程為y=k1（x+r），過點M（a，t），則t=k1（a+r），得到k1=

MA2的方程為y=k2（x-r），過點M（a，t），則t=k2（a-r），得到k2=.連接AQ并延長交直線x=a與N，如圖6所示，

由于A1A2是圓C的直徑，A1Q⊥MQ，所以直線A1Q的方程為y=-

（x+r），將k2代入，即y=-x+r），得N點坐標(biāo)為

同理，連接PA2并延長交直線x=a于點N′，得直線PA2的方程為y=-可知N′的坐標(biāo)為⊥，所以N和N′實際為同一點.

根據(jù)幾何特征，P、Q、N、M四點共圓，P、Q在以MN為直徑的圓上，即（x-a）2+（y-t）

所以PQ為兩圓的交線，求得PQ的方程為（x-a）2+（y-令 y=0，得x=，故直線PQ恒過定點

評注：在解析幾何題設(shè)中均隱藏著一些特定的幾何特征.利用圖形中的幾何特征，尋找代數(shù)關(guān)系，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.避開煩瑣復(fù)雜的整理、轉(zhuǎn)化的過程，而借助于幾何特征建立曲線系，設(shè)而不解，運算的量小，不易出錯.這種方法在很多題目中都可應(yīng)用，在解析幾何繁雜的運算中利用圖形的幾何特征解題將起到事半功倍的作用.

六、利用平行線分線段成比例的性質(zhì)解題

平行線分線段成比例是初中幾何的一個重點內(nèi)容，而在解析幾何中若能巧用此定理，則可減少計算量，降低解題難度.

圖7　

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數(shù)；若不存在，說明理由.

（Ⅱ）如圖8，過點S作SE垂直于x軸，設(shè)S（x0，y0），顯然SE∥l，則有

圖8　

評注：第（Ⅱ）問巧妙運用平行線分線段成比例，找出線段與線段的相等關(guān)系，從而得到結(jié)論，大大減小運算量，使解題速度大大提高.此解法體現(xiàn)的另一思路是圓錐曲線中與頂點相關(guān)的線段可以考慮將圓錐曲線的方程變形，然后用平方差公式得到相關(guān)比例，使解題的運算量大大減小.

七、利用角平分線有關(guān)性質(zhì)解題

角平分線定理在初中雖然僅出現(xiàn)在習(xí)題中，但它在高中內(nèi)容中時常出現(xiàn)，若作為結(jié)論加以介紹，并學(xué)會應(yīng)用，將使解決有關(guān)問題變得簡單易行.

圖9　

解析：如圖9，因為I為△F1F2P的內(nèi)心，連接F1I，F(xiàn)2I，則F1I、F2I、PI分別是三角形F1F2P的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得，即所以

評注：本題結(jié)合角平分線定理，使問題簡單明了，角平分線定理可以用正弦定理證明，便于理解和記憶.

總之，解析幾何中，“解析”只是方法，“幾何”才是本質(zhì).平面幾何在教學(xué)目標(biāo)上側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的作圖識圖能力和邏輯推理能力.只有利用平面幾何相關(guān)知識，正確把握問題中各個對象的位置關(guān)系，并轉(zhuǎn)化出其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，才能用解析的方法順利解決問題.教學(xué)中若利用平面幾何知識可避免煩瑣計算，收到意想不到的解題效果；這樣不僅能起到變難為易、化繁為簡的作用，還有助于打破學(xué)生學(xué)習(xí)過程中易于形成的一種思維定勢，有益于學(xué)生的發(fā)散性思維的培養(yǎng).F