立本溯源優(yōu)化運(yùn)算——解析幾何運(yùn)算的幾點(diǎn)策略

筅江蘇省西亭高級(jí)中學(xué)　王進(jìn)

立本溯源優(yōu)化運(yùn)算——解析幾何運(yùn)算的幾點(diǎn)策略

筅江蘇省西亭高級(jí)中學(xué)王進(jìn)

解析幾何是歷屆高考試題中的重要組成部分，信息量大，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算要求高，且具有一定的技巧性，需要學(xué)生“精打細(xì)算”，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)機(jī)智和意志品質(zhì)的極好的知識(shí)載體.但是，根據(jù)每年高考統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，解幾題的得分都偏低.學(xué)生對(duì)解幾題普遍有“恐懼心理”，主要是恐懼它的繁難冗長(zhǎng)的運(yùn)算過(guò)程，而且在于考生往往選擇思維方式最簡(jiǎn)易、計(jì)算量最大的方法，這樣字母越來(lái)越多，式子越來(lái)越繁，消不掉，算不出，時(shí)常被卡，費(fèi)時(shí)多，很難將運(yùn)算進(jìn)行到底，導(dǎo)致半途而廢，這就引發(fā)了筆者對(duì)“優(yōu)化運(yùn)算”的思考.本文結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，談?wù)剝?yōu)化解析幾何繁難運(yùn)算的有效策略，供讀者參考.

一、通過(guò)回歸本源、緊扣定義優(yōu)化運(yùn)算

定義是事物本質(zhì)屬性的概括與反映.圓錐曲線(xiàn)的許多性質(zhì)都是由定義派生出來(lái)的，對(duì)一些圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，特別是已知條件含有圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)（或準(zhǔn)線(xiàn)）的距離、離心率等，若能靈活地運(yùn)用定義去求解，把定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，則往往能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運(yùn)算、靈活解題的目的.

圓錐曲線(xiàn)的定義刻畫(huà)了圓錐曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì)屬性，有著豐富的內(nèi)涵，利用定義把問(wèn)題的定性分析和定量計(jì)算有機(jī)結(jié)合起來(lái)，思路清晰，易于找到問(wèn)題的突破口.

圖1　

例1如圖1，已知點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)l：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q，且QBBP·QBBF

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，已知求λ1+λ2的值.

解析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1， y），由，得（x+1，0）（2，-y）=（x-1，y）（-2， y），化簡(jiǎn)得y2=4x.

圖2　

過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為A′、B′，則由比例性質(zhì)和拋物線(xiàn)定義得

評(píng)注：圓錐曲線(xiàn)的原始定義應(yīng)用廣泛，對(duì)于圓錐曲線(xiàn)中與焦點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、計(jì)算或證明問(wèn)題，用定義來(lái)解會(huì)更簡(jiǎn)捷.

二、利用平幾知識(shí)優(yōu)化運(yùn)算

解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，往往需要求解涉及含多個(gè)參數(shù)的兩個(gè)以上方程組成的方程組，運(yùn)算較為復(fù)雜，運(yùn)算能力稍差的同學(xué)難以準(zhǔn)確迅速求解，甚至半途而廢；若能聯(lián)想到題目所涉及圖形的幾何性質(zhì)，并利用有關(guān)幾何性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，常?？梢苑寤芈忿D(zhuǎn)，達(dá)到巧妙解題的效果.

例2已知點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M（-1，0）、N（1，0）的距離比為，點(diǎn)N到直線(xiàn)PM的距離為1，求直線(xiàn)PN的方程.

解析：本題若按常規(guī)做法為：設(shè)P（a，b），則直線(xiàn)PM的方程為y，即bx-（a+1）y+b=0，于是1=|NH|=

圖3　

于是kPN=tan∠PNM=±1.

因此直線(xiàn)PN的方程為y=±（x-1）.

評(píng)注：本題重點(diǎn)考查運(yùn)算能力，這對(duì)考生提出了較高的要求.通過(guò)對(duì)比上述通法與巧法，讀者很容易看出：運(yùn)用平面圖形的有關(guān)幾何性質(zhì)來(lái)解決一些解析幾何問(wèn)題，可以有效地避免復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的目的.2013年高考山東卷理科第22題第（Ⅱ）問(wèn)也可以用此策略來(lái)求解.

三、通過(guò)設(shè)而不求來(lái)優(yōu)化運(yùn)算

所謂“設(shè)而不求”，就是在解題時(shí)設(shè)一些輔助元（參數(shù)）作為媒介，在解題過(guò)程中并不求出這些輔助元，只用它們連接已知量和未知量，最后又巧妙地將其消去，求出未知量.在研究直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)時(shí)，經(jīng)常討論中點(diǎn)、直線(xiàn)方程、弦長(zhǎng)等問(wèn)題，其慣用方法就是“設(shè)而不求”.它不僅可以有效解決相關(guān)問(wèn)題，還可以減少計(jì)算量.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線(xiàn)x=-3上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作TF的垂線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)P、Q.證明：OT平分線(xiàn)段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（2）證法1：由（1）可得F的坐標(biāo)是（-2，0），設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，m），則直線(xiàn)TF的斜率kTF=-m.

當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)PQ的方程是x=-2，也符合x(chóng)=my-2的形式.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線(xiàn)PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得

，消去x，得（m2+3）y2-4my-2= 0，其判別式Δ=16m2+8（m2+3）>0，所以y1+y2=

又直線(xiàn)OT的斜率kOT=所以點(diǎn)M在直線(xiàn)OT上，因此OT平分線(xiàn)段PQ.

證法2：由（1）可得F的坐標(biāo)是（-2，0），設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，m），則直線(xiàn)TF的斜率kTF=-m.

當(dāng)m≠0時(shí)，直線(xiàn)PQ的斜率kPQ=

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），則①，=1②.

又直線(xiàn)OT的斜率kOT=-，所以點(diǎn)M在直線(xiàn)OT上.

當(dāng)m=0時(shí)也適合，因此OT平分線(xiàn)段PQ.

評(píng)注：證法2利用“點(diǎn)差法”，采用整體代換，避免了證法1中直線(xiàn)代入圓錐曲線(xiàn)，再利用韋達(dá)定理的繁雜計(jì)算.“點(diǎn)差法”是解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的常用方法，它巧妙地運(yùn)用了“設(shè)而不求”的思想，有效地減少了計(jì)算量.

四、巧用參數(shù)方程或極坐標(biāo)優(yōu)化運(yùn)算

參數(shù)方程把曲線(xiàn)上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別通過(guò)參數(shù)直接表達(dá)出來(lái)，比較清楚地指明了曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，對(duì)于圓錐曲線(xiàn)上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值，以及處理兩線(xiàn)段長(zhǎng)度的積和差等問(wèn)題，有著普通方程無(wú)可比擬的優(yōu)越性.例4如圖4所示，橢圓C：=1的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1A2|=，S荀A1B1A2B2=2S荀B1F1B2F2.

圖4　

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)n是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，l是與n垂直相交于點(diǎn)P，與橢圓相交于點(diǎn)A、B的直線(xiàn)，|OPPP|=1，是否存在上述直線(xiàn)l使APPP·PP

PB=1成立？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為θ，P（x0，y0），則有：

故不存在這樣的直線(xiàn)l.

評(píng)注：本題若采用直線(xiàn)斜截式方程來(lái)求解，不僅要分類(lèi)討論，還要應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，向量數(shù)量積等列方程組，通過(guò)判別式、韋達(dá)定理來(lái)探討方程組解的情況，容易陷入繁冗的運(yùn)算而不能自拔，導(dǎo)致解題失敗.引入直線(xiàn)參數(shù)方程，巧妙地將點(diǎn)到直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化到P點(diǎn)的坐標(biāo)中，向量的數(shù)量積能用參數(shù)的乘積來(lái)表達(dá)，從而突破難點(diǎn)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

圓錐曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程形式的統(tǒng)一給人以美感，結(jié)論的簡(jiǎn)潔是任何一種形式都無(wú)法媲美的，當(dāng)問(wèn)題涉及圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦時(shí)，利用極坐標(biāo)方程往往能收到意想不到的效果.

圖5　

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AF1與直線(xiàn)BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P.

（1）若AF1-BF2=，求直線(xiàn)AF1的斜率；

（2）求證：PF1+PF2是定值.

（Ⅱ）（1）以F1為極點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線(xiàn)為極軸，延長(zhǎng)AF1交橢圓于點(diǎn)B′.

設(shè)∠AF1F2=θ，AF1=p1，B′F1=p2，則有AF1=p1

由橢圓對(duì)稱(chēng)性有BF2=B′F1=

由AF1-BF2=，得

（2）由p1=

評(píng)注：本題若按常規(guī)思路用直角坐標(biāo)系方程求解，需要聯(lián)立解方程組，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式來(lái)求解，計(jì)算量較大；而用極坐標(biāo)方程，幾何條件特征明顯，利于建立相關(guān)的關(guān)系式和表達(dá)式，再進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，能簡(jiǎn)化計(jì)算和論證，使問(wèn)題的解決思路變得統(tǒng)一、順暢，大大優(yōu)化了解題的過(guò)程.

五、利用向量?jī)?yōu)化運(yùn)算

圖6　

（1）證明：AC⊥BD；

（2）略.

常規(guī)思路：要證AC⊥BD，即證A為此可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），而后利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離平方公式對(duì)條件等式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形.

嘗試：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則|AB|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，|CD|2=（x3-x4）2+（y3-y4）2，|BC|2=（x3-x2）2+（y3-y2）2，|AD|2=（x4-x1）2+（y4-y1）2.又|AB|2+|CD|2= |BC|2+|AD|2，從而（x1-x2）2+（y1-y2）2+（x3-x4）2+（y3-y4）2=（x3-x2）2+（y3-y2）2+（x4-x1）2+（y4-y1）2，然而對(duì)于上式其變量之多、結(jié)構(gòu)之復(fù)雜，絕大部分同學(xué)看到都會(huì)心生畏懼，力不從心.

調(diào)整思路：考慮到線(xiàn)段長(zhǎng)的平方等于該線(xiàn)段所對(duì)向量的平方，于是通過(guò)向量搭橋，可將轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步轉(zhuǎn)化即，然后展開(kāi)化簡(jiǎn)求證

評(píng)注：通過(guò)向量搭橋來(lái)實(shí)現(xiàn)條件的合理轉(zhuǎn)化是本題的一大亮點(diǎn)，它有效地避開(kāi)了距離平方所帶來(lái)的復(fù)雜運(yùn)算，促使了整個(gè)解題過(guò)程簡(jiǎn)捷而富有實(shí)效，很值得我們探究和回味.

簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的方法和技巧還有許多，本文只給出其基本的五種方法.希望通過(guò)本文的闡述，能給讀者帶來(lái)一些啟發(fā)，進(jìn)而避開(kāi)煩瑣的解幾運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，最終使自己變得更加睿智.Z