改善思考問題方法提高學(xué)生解題能力

筅江蘇省錫東高級中學(xué)　葉琳

改善思考問題方法提高學(xué)生解題能力

筅江蘇省錫東高級中學(xué)葉琳

數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之一就是培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)未來生活發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展智能的同時(shí)提高人的素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力.然而出于高考和升學(xué)的壓力，學(xué)生整天在大量的習(xí)題中度過，成為解題的“熟練工”，不少學(xué)生把解題規(guī)律簡單化為“對題型，套解法”，以做大量的模擬試題去代替數(shù)學(xué)能力的提高，但是往往成效不大，疲憊不堪.筆者對本校高三學(xué)生通過不同方式進(jìn)行了實(shí)證調(diào)查，深入訪談和持續(xù)關(guān)注，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題活動中往往出現(xiàn)如下幾個問題：

一、學(xué)生解題過程中常見的幾個問題

1.已有知識缺乏，解題經(jīng)驗(yàn)不足

學(xué)生己有的知識、能力和經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它是接受新知識的基礎(chǔ)，調(diào)查中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和能力基礎(chǔ)比較薄弱，存在支離破碎的甚至錯誤的知識.在解題讀題時(shí)學(xué)生對題目的條件及問題設(shè)問的形式陌生，特別是遇到新情境的問題更是束手無策.

案例1（直線與圓的復(fù)習(xí)課片斷）若a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-1，2）在直線l：ax＋by＋c＝0上的射影為M，則點(diǎn)N（-，1）到點(diǎn)M的距離的最大值為_____

圖1　

教學(xué)片斷回放.（學(xué)生分析思考過程）

生：a，b，c成等差數(shù)列，得到2b= a+c，設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），則ax0+by0+c=0.又因?yàn)镻M⊥l，所以"=-1.后面就想研究點(diǎn)N到點(diǎn)M（x0，y0）的距離d=，上面的三個等式卻不知道怎么用.

師：距離d里面有x0，y0兩個變量，求最值首先想到消元，但發(fā)現(xiàn)行不通，直線ax0+by0+c=0的變量更多，怎么用2b=a+c這個條件呢？（學(xué)生陷入困惑）

師：將2b=a+c可以代入直線方程，變成ax＋by＋2b-a＝0，能發(fā)現(xiàn)什么？

生：a（x-1）＋b（y-2）＝0，直線l恒過定點(diǎn)Q（1，2）.

師：由PM⊥l可以得到什么？

生：射影點(diǎn)M的軌跡是“以PQ為直徑的圓”，方程為x2+（y-2）2=1（.如圖1）

2.讀題審題不細(xì)致

認(rèn)真細(xì)致地審題是解題的第一步，也是解題成功的必要前提.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“最糟糕的情況是學(xué)生沒弄清問題就進(jìn)行演算和作圖.”事實(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常對審題掉以輕心，對題目中容易混淆的詞語認(rèn)識不到位，產(chǎn)生錯解.還有很多學(xué)生解題時(shí)審題速度很快，有的沒看完題目就匆匆下筆，認(rèn)為這樣節(jié)省解題時(shí)間，事實(shí)上，審題時(shí)條件和結(jié)論之間的聯(lián)系都沒有分析清楚，往往導(dǎo)致解題的失敗.

案例2（高三某次模擬試卷填空題第6題）在區(qū)間［-2，2］上任取兩個整數(shù)a，b，使得關(guān)于x的方程x2-2axb2+1=0有實(shí)數(shù)根的概率是_______________.

學(xué)生解答如下：x2-2ax-b2+1=0有實(shí)數(shù)根滿足Δ= 4（a2+b2）-4≥0，即a2+b2≥1，由幾何概型得到概率為

上述問題考查的是有關(guān)概率的問題，我們可以看出學(xué)生能夠?qū)㈩}目條件正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，但是很多學(xué)生在讀題時(shí)忽略了“整數(shù)a，b”，而看成是在區(qū)間［-2，2］上取兩個實(shí)數(shù)a，b，本來屬于古典概型的問題卻當(dāng)作幾何概型來處理，導(dǎo)致解題失誤.

3.解題后不善于歸納和整理

學(xué)生通過整理解題的不同方案，自我糾正錯誤，錯題整理，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，鞏固知識和技能，滲透數(shù)學(xué)思想.事實(shí)上我們的學(xué)生不善于將問題進(jìn)行歸納和整理，很多只是零碎的解題方法，形不成知識網(wǎng)絡(luò)和解題脈絡(luò).

案例3（高三某次模擬考試第18題）在等差數(shù)列｛an｝中，Sn是其前n項(xiàng)的和，已知a2，a5，a14成等比數(shù)列，且S20=400.

（1）求數(shù)列｛a｝n的通項(xiàng)公式；

（2）求和：a1+a4+a7+…+a3n+1.

對于第（1）問很多學(xué)生的解題過程如下：

等差數(shù)列的公差d是否為零，是學(xué)生容易遺忘的知識點(diǎn)，學(xué)生在求解6a1d=3d2時(shí)“毫不猶豫”地將d=0約去，不考慮常數(shù)列的情況，諸如此類的情況還有：ax2+bx+c=0的方程或者不等式中，容易遺漏a=0的情況，等比數(shù)列求和公式中公比q是否為1的情況.盡管學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中對于此類問題已經(jīng)是很熟悉的，但是由于沒有及時(shí)地歸納整理，只是形成了表面知識記憶，沒有形成知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

二、提高學(xué)生解題能力的途徑

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是提高數(shù)學(xué)解題能力，這一任務(wù)應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終，它是一項(xiàng)長期復(fù)雜的系統(tǒng)工程.筆者嘗試將波利亞的解題表具體化到可操作的步驟：讀題分析—提取組合—解題反思，并付諸于教學(xué)實(shí)踐，檢驗(yàn)對提高學(xué)生的解題能力是否有幫助.

1.讀題審題訓(xùn)練，生成合理的問題表征

解題教學(xué)的關(guān)鍵是指導(dǎo)幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行問題表征，尋找解題突破口，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，而非就題論題.在教學(xué)過程中，筆者指導(dǎo)學(xué)生讀題時(shí)要密切注意以下幾個方面：（1）要將題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題目，比如說實(shí)際問題（像應(yīng)用題），要從題目中大量的文字語言描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言描述出來，要弄清楚問題是屬于哪個數(shù)學(xué)內(nèi)容的.（2）列出題目中所給出的條件和要求的.（3）搜索縮小條件和要求的范圍.結(jié)合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，確定判斷題目條件和問題中所涉及的知識點(diǎn)，可以用什么方法或者技能來解決.在審題時(shí)要兼顧條件與結(jié)論，這樣有利于“弄清問題”.

圖2　

案例4（學(xué)生的讀題審題訓(xùn)練）如圖2，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界），設(shè)，則α+β的取值范圍是___________.

讀題分析：首先，題目本身就是數(shù)學(xué)語言闡述的題目，故不需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

其次，條件有5個：“直角梯形ABCD”，“AB⊥AD”，“AD=DC=1，AB=3”，“點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界）”，；問題是“求α+β的取值范圍”.

最后，明確條件和問題之后，開始判斷它們的范圍，“點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動”，故點(diǎn)P的范圍在三角形內(nèi)，可能要用到線性規(guī)劃來解決.

在教學(xué)過程中，筆者要求學(xué)生在讀題時(shí)養(yǎng)成把題目條件圈出來的習(xí)慣，很多學(xué)生讀題很馬虎，一目十行，題目還沒看完就下筆去做，結(jié)果不是條件漏看了就是看錯了，導(dǎo)致解題錯誤.匆匆讀題后就急于下手，對問題的意義、涉及的概念、相關(guān)的知識都不甚理解，解題也就極易出錯.讀題時(shí)圈出條件，從視覺感知變得強(qiáng)烈起來，二遍讀題或者審題時(shí)可以關(guān)注圈出來的條件，減少審題馬虎導(dǎo)致的錯誤.

2.有效提取組合，擬定解題方案

學(xué)生要有一定的知識儲備和解題經(jīng)驗(yàn)的積累，才有可能形成解題思路.費(fèi)里德曼說解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題.解過的題形成了自己的解題經(jīng)驗(yàn)，主要包括題目的類型與模型的積累，解題方法與技巧和數(shù)學(xué)思想方法的積累.

數(shù)學(xué)問題解決的最基本形式就是化歸，把未知的問題化為已知的問題，把非典型的問題化歸為典型的問題.在和學(xué)生嘗試?yán)貌ɡ麃喗忸}模式解題時(shí)，筆者給學(xué)生這樣的解題步驟：①讀題的同時(shí)圈條件，將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，列出條件和問題；②讀題以后，你馬上想起的數(shù)學(xué)知識有哪些？你從已知、題設(shè)能想到什么？從結(jié)論中考慮需要什么信息？這兩者如何產(chǎn)生火花？

在實(shí)施這樣的解題步驟的過程中，班級的學(xué)生由不習(xí)慣到慢慢適應(yīng)，在課堂教學(xué)中思維也漸漸活躍起來，一次的習(xí)題講評課讓筆者至今記憶猶新！實(shí)錄如下：

案例5如圖（圖3）放置的邊長為1

的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、

y軸正半軸上（含原點(diǎn)）滑動，則OAAB·OAAC

的最大值是_____________.

筆者在呈現(xiàn)出題目后，找學(xué)生起來

讀題，學(xué)生分析完條件后給出了自己的思路：老師我用平面向量基本定理做的（其中α是的夾角），故得到最大值為2.

圖3　

筆者：很好，Z同學(xué)從結(jié)論出發(fā)利用向量基本定理來處理這個問題，過程嚴(yán)謹(jǐn)，表述規(guī)范，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的榜樣！話音剛落，教室里討論聲想起來，生H站起來：“老師她的解法煩了，我是用平面幾何做的，會很省力的哦.”

圖4　

這樣的百家爭鳴的場景正是筆者需要的，筆者：“真的嗎？說說你是怎么做的？”

生H：過B、C分別作x軸、y軸的垂線，交坐標(biāo)軸于M、N兩點(diǎn)（如圖4），設(shè)AO=a，OD=b，可以證明△AOD，△BAM，△CAN全等，所以O(shè)D=AM=CN，OA=DN=BM，設(shè)B（a+b，a），C（b，a+b），所以的最大值是2.

此時(shí)生M舉手：“老師我是用矩陣變換做的！”“矩陣變換也可以做？”很多同學(xué)的臉上呈現(xiàn)驚訝的表情，（矩陣變換是附加里面的內(nèi)容）筆者也拿不準(zhǔn)思路究竟對不對，就讓學(xué)生繼續(xù)往下說，設(shè)A（a，0），D（0，b），則x，y）可以看作是繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，（x，y）=≥，求得B的坐標(biāo)后，同理求C的坐標(biāo)，最后用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求得答案.下面不由自主地響起了掌聲.

教學(xué)活動中老師應(yīng)充分展示學(xué)生的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和探索精神，當(dāng)然教師的引領(lǐng)十分重要，對于學(xué)生易混淆的問題，要通過變式問題不斷強(qiáng)化，不斷地練習(xí)，讓學(xué)生來領(lǐng)悟其中的解題奧妙，學(xué)會從多角度思考問題的方法.

3.適時(shí)解題回顧與反思，溫故而知新

在學(xué)生的問題解決過程中，往往只是用來正確和錯誤地判斷自己的答案，而不是認(rèn)真思考解決問題的過程中所用知識、方法.對于錯的題目等老師公布標(biāo)準(zhǔn)答案，把它抄到筆記本上就沒事了，事實(shí)上沒有反思的解題是不完整的.

解題結(jié)束后筆者讓學(xué)生總結(jié)，首先，回顧解本題用到哪些知識？其次，回顧本題的解題方法是什么？在思考過程中哪里出現(xiàn)了思路中斷或者受到阻礙的原因是什么？在哪里遇到了什么困惑？如何處理的等.解題結(jié)束后筆者和學(xué)生一起分析回顧解題中零星的想法和凌亂的解題思路，梳理解題過程，揭示解題的盲點(diǎn)，突破自己的解題障礙，久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，可以是解題策略，解題元認(rèn)知知識等，它們都是今后解題的經(jīng)驗(yàn)指南.

以上是筆者選擇高三的學(xué)生進(jìn)行的教學(xué)嘗試，主要是想通過學(xué)生的解題表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其解題能力的長處和不足之處，而這正是整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)果的體現(xiàn)，從而據(jù)此能更好地為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供參考建議.

1.董榮森，姚敬東.細(xì)化概念教學(xué)過程揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)——以“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)設(shè)計(jì)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（10）.

2.孔幫新.基于多元表征視角下的解題教學(xué)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（12）.

3.史曉偉.高中生數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的教學(xué)策略研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（6）.F