作為數(shù)學(xué)教育研究數(shù)據(jù)處理的卡方分析法

筅華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院　劉曉燕　徐章韜

作為數(shù)學(xué)教育研究數(shù)據(jù)處理的卡方分析法

筅華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院劉曉燕徐章韜

一、引言

定量取向的實(shí)證教育、心理研究所處理的數(shù)據(jù)層次較低，大多是一些定類、定序變量，這些數(shù)據(jù)有時候也稱作質(zhì)性數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)處理的精要之一是依據(jù)變量的不同特點(diǎn)而選用不同的處理方法，否則不僅得不到有益的結(jié)論，還誤導(dǎo)了人們的認(rèn)識.在數(shù)學(xué)教育研究中，人們常常會遇到各種分類變量，分類變量的不同取值表示個體所屬的不同類別.例如，性別變量，其取值為男和女，表示按性別劃分，研究對象的群體可分為兩類；又如，對于某一事物的態(tài)度，其取值可以為喜歡、不喜歡，表示按態(tài)度劃分，研究對象的群體可分為兩類.在實(shí)證取向的數(shù)學(xué)研究中，我們常常關(guān)心兩個分類變量之間是否有關(guān)系，即兩個因素變量之間是彼此相關(guān)還是相互獨(dú)立.如，學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度是否與性別有關(guān)是一個常見的教育問題，顯然不能用個案來說明問題.男生中有喜歡數(shù)學(xué)的，也有不喜歡數(shù)學(xué)的；女生的情況亦然.于是，人們發(fā)展了針對分類變量的卡方分析法，以檢驗(yàn)分類變量與分類變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系.

二、多角度理解卡方分析法的原理

卡方分析法充分體現(xiàn)了比較分析法的精神，可以從多方面理解.

1.尊重生活經(jīng)驗(yàn)，從頻次看卡方

各種統(tǒng)計(jì)方法得到的結(jié)論或者其之所以合理，如果能得到經(jīng)驗(yàn)層次的支持，就容易得到理解.兩個人關(guān)系密切的話，其來往必定密切.老死不相往來，久不往來走動，親戚也會成路人.統(tǒng)計(jì)分類變量的頻次及其在全體中所占的比例，是研究分類變量之間是否存在關(guān)系的突破口.

例如，學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度是否與性別有關(guān)，也就是這兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題.性別變量x有男x1和女x2兩種取值，態(tài)度變量y有喜歡y1和不喜歡y2兩種取值，為了研究x是否與y有關(guān)，其關(guān)鍵在于尋找合適的統(tǒng)計(jì)量.我們設(shè)想一下，如果態(tài)度與性別無關(guān)，那么無論是喜歡數(shù)學(xué)的，還是不喜歡數(shù)學(xué)的，是分不出性別上的差異的.先把數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，得到按兩個分類變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分配表，即2×2的列聯(lián)表（見表1）.

表1　性別與態(tài)度的2×2列聯(lián)表

其中n+1=n11+n21，n+2=n12+n22，n1+=n11+n12，n2+=n21+n22，n=n11+ n21+n12+n22.

如果性別與態(tài)度無關(guān)，那么男生中喜歡數(shù)學(xué)的比例應(yīng)該與女生中喜歡數(shù)學(xué)的比例差不多，即，化簡得n11n22-n12n21≈0；換言之，如果性別與態(tài)度無關(guān)，那么男生中不喜歡數(shù)學(xué)的比例應(yīng)該與女生中不喜歡數(shù)學(xué)的比例差不多，即化簡得n11n22-n12n21≈0.因此|n11n22-n12n21|越小，說明性別與態(tài)度之間的關(guān)系越弱；|n11n22-n12n21|越大，說明性別與態(tài)度之間的關(guān)系越強(qiáng).

2.理論思考，從概率看卡方

基于上述分析，為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，可以通過各個變量的頻次及其在全體中所占的比例來構(gòu)造一個隨機(jī)變量對其進(jìn)行檢驗(yàn).從獨(dú)立性的角度進(jìn)行分析，當(dāng)性別x與態(tài)度y無關(guān)時，即事件x與事件y獨(dú)立，這時有P（x1y1）=P（x1）P（y1），P（x1y2）=P（x1）P（y2），

P（x2y1）=P（x2）P（y1），P（x2y2）=P（x2）P（y2）成立.

因?yàn)槭录母怕识伎捎孟鄳?yīng)的頻率來估計(jì)，如P（x1），

P（y1）的估計(jì)值分別為的估計(jì)值為很接近，即的值應(yīng)該很小.上述四個式子應(yīng)同時成立，左右兩端估計(jì)值之差應(yīng)很接近，故也應(yīng)該比較小，上式化簡得到χ2=，這就是卡方統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式.［1］

從這個統(tǒng)計(jì)量可以看出，|n11n22-n12n21|越小，χ2越小，即性別與態(tài)度之間關(guān)系越弱，|n11n22-n12n21|越大，χ2越大，即性別與態(tài)度之間關(guān)系越強(qiáng)，符合最初的分析.最后將χ2值與研究所得的臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而得出性別對于數(shù)學(xué)態(tài)度是否有影響.上述是二分變量與二分變量間的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，并得到相應(yīng)的2×2列聯(lián)表的χ2值計(jì)算公式.

還可以從另一個角度進(jìn)行分析.不妨把表中的數(shù)據(jù)看作理論頻次，那么就有進(jìn)行一下數(shù)學(xué)處理有，這個式子表明，如果變量間是相對獨(dú)立的，那么變量的條件分布和邊緣分布是相同的.這時可以得到.對下一行也可以進(jìn)行同樣的分析，得到類似的式子.當(dāng)分類變量x可以分作c類，分別為x1，x2，…，xc；分類變量y可以分為r類，分別為y1，y2，…，yr.為了研究x分類是否與y分類有關(guān)，對r×c列聯(lián)表用上述原理和方法可以得到通）表示.變形得到.所以如果列聯(lián)表中的變量是獨(dú)立的，則pij=pi*p*j.這樣為什么要研究條件就看得很清楚了.

由于pi*和p*j是對于總體而言，一般都是未知的，可以利用樣本數(shù)據(jù)對其進(jìn)行估計(jì)，得到.若變量間是相互獨(dú)立的，則pij與很接近，也就是說npij與很接近.令Eij=npij表示表中各個變量的期望頻次，那么實(shí)際的頻次nij與期望頻次的值Eij很接近，這時我們構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量x2=（分子取平方是為了取其絕對差值，分母Eij是為了平衡Eij數(shù)值本身的大?。?［2］實(shí)際頻次與期望頻次之間的差值越小，說明分類變量越接近獨(dú)立，這是構(gòu)建χ2統(tǒng)計(jì)量基本想法.把χ2值與臨界值比較，就能得到兩個分類變量究竟是彼此相關(guān)，還是相互獨(dú)立.

很明顯，2×2列聯(lián)表是r×c列聯(lián)表的特例，那么它們通過分析得出的χ2統(tǒng)計(jì)量是否一致呢？在r×c列聯(lián)表中，令r=2，c=2時，根據(jù)前面的分析，可分別得到E11，E12，E21， E22的值，將其代入χ2=統(tǒng)計(jì)量中，也能得到特例公式

各種檢驗(yàn)的精髓在于構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量.這種構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的方法從理論分析入手，重視局部信息與整體信息之間的關(guān)系，同時又兼顧了經(jīng)驗(yàn)直觀.

卡方分析法的精致之處還在于基于小概率事件，運(yùn)用比較法確定何為大，何為小.指定一個臨界值k0，如果卡方的值大于這個值，就謂之為大，兩個變量之間有關(guān)系；反之，則謂之為小，兩個變量之間沒有關(guān)系.細(xì)細(xì)品味起來，這有點(diǎn)極限定義中“ε-σ”語言的味道.“ε-σ”語言中，ε、σ辨證相依才能說明問題.然而，這種大小依據(jù)的制定合不合理，要根據(jù)小概率原理來確定.在卡方分析中，把“兩個分類變量沒有關(guān)系”錯誤地判斷為“兩個分類變量有關(guān)系”，這是一個不能容許事件，應(yīng)該是一個小概率事件.確定這個事件發(fā)生概率的上界，然后確定相應(yīng)的臨界值.概率上界不同，相應(yīng)的臨界值也不一樣，兩者之間是一種依存關(guān)系.

三、卡方的應(yīng)用

從上面的分析中可以看到，卡方分析法是判斷兩個分類變量之間是否相互獨(dú)立的非常有效的方法.它尊重了生活經(jīng)驗(yàn)，同時也得到了理論分析的支持.卡方分析法的思路非常精致，不同于在方差分析中通過對真實(shí)值與測量值之間的誤差進(jìn)行分析，得到分類變量與定距變量之間的相關(guān)性.［3］在卡方分析中，要判斷兩個變量是否獨(dú)立，不妨先假設(shè)這兩個變量獨(dú)立，進(jìn)行理論上的分析，得到一系列理論值.然后，以這些理論值為參照點(diǎn)，看實(shí)際值與理論值的絕對差距占理論值比例如何，從直觀而言，如果兩者很接近，在一定的條件下，就可以認(rèn)為兩者沒有差別，即兩個變量是相互獨(dú)立的.這也符合物理測量經(jīng)驗(yàn).測量一個物體的長度，測量值T1和理論值T之間總會產(chǎn)生誤差e，故有T1=T+e，如果測量是有效的，應(yīng)有E（T1）=E（T），σ（T）=σ（T1），而且的值也不應(yīng)太大.這也正是正態(tài)分布所要揭示的道理之一.事實(shí)上，正態(tài)分布可以看作是卡方分布的疊加.這樣教材中關(guān)于分布的兩塊內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性就找到了.

除了進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)之外，卡方分析法還可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對未知總體與某一假設(shè)或理論進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，即推斷總體的分布.如，實(shí)際分布與正態(tài)分布的擬合度檢驗(yàn)是檢驗(yàn)來自總體的樣本是否服從正態(tài)分布，或者說兩者是否存在顯著差異.如要判斷某次考試學(xué)生的成績是否符合正態(tài)分布，就可用卡方檢驗(yàn).首先假設(shè)數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，并求出各組的理論頻次，代入公式確定自由度和顯著性水平后進(jìn)行查表，得出的值與χ2值進(jìn)行比較，從而接受或拒絕原假設(shè)，判斷學(xué)生的考試成績的頻數(shù)分布是否屬于正態(tài)分布，從而得出一些教學(xué)上的建議和思考.

卡方檢驗(yàn)法對數(shù)據(jù)的要求不高，能夠?qū)Χ惢蚨ㄐ虻淖兞窟M(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；定比或定距數(shù)據(jù)如果視作定類數(shù)據(jù)，也可應(yīng)用卡方檢驗(yàn)法，所以卡方檢驗(yàn)法在教育研究中的應(yīng)用比其他檢驗(yàn)法更為廣泛.因此，要充分利用卡方檢驗(yàn)法對教育研究中的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析.

1.中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（選修1-2）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.盧淑華.社會統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2009.

3.徐章韜，趙弘.作為數(shù)學(xué)教育研究數(shù)據(jù)處理的方差［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.Z