淺談向量在幾何中的運用

筅江蘇省泰興市第二高級中學(xué)　周余峰

淺談向量在幾何中的運用

筅江蘇省泰興市第二高級中學(xué)周余峰

向量是一個新的數(shù)學(xué)知識章節(jié)，自從2003年第一次進入新課程教材，向量承擔(dān)著越來越重要的工具性作用.向量既具有代數(shù)的運算特點，還有幾何的本質(zhì)特征，因此向量漸漸成為既能區(qū)分學(xué)生思維能力又能考查學(xué)生運算水平的重要知識點，它的工具性作用在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也越發(fā)明顯.

怎么才能使用好向量的工具性作用呢？向量的工具性作用，又如何展示向量的本質(zhì)特征呢？中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的平面向量，以及平面向量的基本特征，包括平面向量的基本運算，這些都是工具性的具體體現(xiàn).近年來，隨著教學(xué)中對向量本質(zhì)的認知越來越深刻，向量問題的難度有逐年加大的趨勢，這就需要教師不斷引導(dǎo)學(xué)生，既要加深向量的運算水平也要提高對向量幾何意義的一些理解.近代中學(xué)數(shù)學(xué)泰斗吳文俊先生是這樣描述向量的：我們利用向量運算，可以把我們以前無法解決的很多幾何問題僅僅通過運算就可以解決了，這是向量工具代數(shù)化的體現(xiàn)；反過來，很多復(fù)雜的代數(shù)問題我們也通過向量的幾何含義輕松解決.本文將從向量解決幾何問題的視角，談一談它在解決幾何問題中的工具性作用.

一、向量的核心知識

對于教學(xué)而言，下面知識是向量最基本的核心知識：第一，向量加減法，它把向量加法和減法的幾何含義通過平行四邊形法則和三角形法則充分地展示了出來；第二，向量的數(shù)乘運算，充分地展示了向量的共線性；第三，平面向量基本定理，這是平面向量非常核心的知識，對這一定理知識掌握得好壞，可以大大區(qū)分學(xué)生對于向量知識是否有本質(zhì)的理解；最后，從物理功這樣的概念中類比得到的平面向量數(shù)量積，是中學(xué)數(shù)學(xué)向量運算的最后一個知識點，也是最重要的知識點，如極化恒等式等都是解決向量幾何問題的有力武器.對比平面向量和空間向量，其工具的核心有：

知識點平面向量空間向量多點共線條件+yO筅平面內(nèi)任意一點O和不重合的兩點A、B，若O筅筅P=xO筅筅A筅B（其中x+y=1），則P、A、B三點共線對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，若滿足O筅筅P=xO筅筅A+ yO筅筅B+zO筅筅C（其中x+y+z=1），則P、A、B、C四點共面向量基本定理如果e1、e2是平面內(nèi)的兩上不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc向量的坐標運算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2），a·b=x1x2+y1y2，a∥b圳x1=λx2且y1=λy2（λ∈R）已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），則a+b=（a1+b1，a2+b2，a3+b3），a-b=（a1-b1，a2-b2，a3-b3），a·b=a1b1+a2b2+a3b3，a∥b圳a1=λb1且a2=λb2且a3= λb3（λ∈R）夾角和距離設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a=x21+y21姨，b=x22+y22姨，cosθ=x1x2+y1y2x21+ y21姨x22+y22姨；如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），那么|a|=（x1-x2）2+（y1-y2）2姨設(shè)a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），則a=a21+a22+a23姨，b=b21+b22+b23姨，cos〈a，b〉= a1b1+a2b2+a3b3姨a21+ a2 2+ a23姨b21+ b2 2+ b23；已知A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則|A筅筅B|=姨（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2

二、向量在解析幾何中的滲透

眾所周知，解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點和重點.解析幾何問題，如果只從代數(shù)化的角度去思考，其運算量非常之大，若能從向量角度去思考，結(jié)合向量具有幾何特征這一特點，可以大大簡化問題的運算.教師在教學(xué)中應(yīng)該多加引導(dǎo)，讓學(xué)生明白向量工具性的作用，向量不僅僅只能運用于向量章節(jié)，工具性的作用使它可以運用于任何具備代數(shù)和幾何特征的知識中.

問題1（共線問題）過拋物線y2=2px焦點F的一條直線與它交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），經(jīng)過點Q作拋物線準線的垂線，垂足為點M，設(shè)拋物線的頂點為O.求證：

（Ⅰ）y1y2=-p2；

（Ⅱ）三點M、O、P共線.

說明：運用向量證明共線，無需平面幾何式煩瑣的作圖過程，也沒有一味的強行計算，通過坐標向量以及向量共線的充要條件，輕松快捷，體現(xiàn)了向量工具性的作用.

問題2（夾角問題）已知一個圓的直徑的端點是A（x1，y1）、B（x2，y2），求證：圓的方程是（x-x1）（x-x2）+（yy1）（y-y2）=0.（教材課后習(xí)題第82頁習(xí)題3）

傳統(tǒng)解法：因為直徑的端點為A（x1，y1）、B（x2，y2），

向量優(yōu)解：設(shè)P（x，y）是此圓上與點A、B都不重合的一點，則若P（x，y）是與點A或點B重合的點，則所以=0，從而（

說明：解析幾何中對于角的求解，更多的是利用余弦定理或者正切到角公式，前者運算煩瑣，后者已被教材刪減，而在向量中要解決鈍角問題即向量不共線且數(shù)量積為負值即可.類似的問題在高考中也出現(xiàn)過，請看下面的變式：

解析：F1，設(shè)P（3cosθ，2sinθ）.因為∠F1PF2為鈍角，所以-2sinθ）·1<0，解得-故點P橫坐標的取值范圍是

三、向量在立體幾何中的運用

對于利用向量解決立體幾何問題，在我們今天看來是一件非常平常不過的事情.曾幾何時，立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，很多空間幾何問題，從傳統(tǒng)法的角度要想找到線面角、二面角、點面距離極為困難，因為有了空間向量了的引入，將以往這些難點變得易于掌握和解決.

圖1　

圖2　

說明：向量有自由向量和坐標向量，相比而言，自由向量的使用度更為廣泛，也更為方便.類似于平面向量基本定理，在空間任何一個向量的分解都可以利用空間向量基本定理去實現(xiàn)，這樣就把所有的問題歸結(jié)為向量的代數(shù)運算，從而輕松地將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.

問題4（坐標向量解空間幾何）如圖2，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD中點.

（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1.

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長.

解析：（Ⅰ）證明：以點A為原點建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E，

（Ⅱ）假設(shè)在棱AA1上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，則D11P=（0，-1，t）.

設(shè)面B1AE的法向量為n=（x，y，z），有，取x=1，可得n=，要使DP∥平面B1AE，只要，則

又DP埭平面B1AE，所以存在點P使DP∥平面B1AE，此時AP=

（Ⅲ）連接A1D，B1C，由長方體AA1=AD=1，得A1D⊥AD1.

因為B1C∥A1D，所以AD1⊥B1C.

由（Ⅰ）知，B1E⊥AD1，故AD1⊥平面DCB1A1.是平面DCB1A1的一個法向量，而=（0，1，1），則cos<

因為二面角是30°，所以AB=2.

說明：相比問題3，問題4是坐標向量的體現(xiàn)，我們知道坐標向量最大的好處是正交分解的引入，是所有的向量均可用純代數(shù)的方式來進行運算，這也是我們現(xiàn)階段空間幾何教學(xué)中使用頻率最多的方式方法.可以這么說，因為有了空間向量大大簡化了我們對于角和距離的求解，將很多極難的空間想象問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)求解問題，將立體幾何問題的求解向前推進了一大步.

總之，通過上述案例我們不難發(fā)現(xiàn)，如果僅僅從純代數(shù)的角度去解決問題，勢必消耗大量的運算，如果可以結(jié)合向量既有代數(shù)特征又有幾何本質(zhì)這樣的工具性作用，那么解析幾何、立體幾何中的很多問題，我們都可以找到一個合適的切入點.舉個通俗易懂的例子，就好比我們在較長的山洞中挖隧道，無論你從東往西挖還是從西往東挖都非常費力，如果我們既能從東往西，又能從西往東兩者結(jié)合起來，不僅快速而且有效地打通隧道.因此，筆者也產(chǎn)生了以下兩點思考：

第一，解決各種中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何問題，從具備代數(shù)和幾何雙重特點的向量角度入手，往往讓問題的解決來得輕快、簡捷，既開拓了學(xué)生解決問題的視角，也提升了教師對于向量知識的更為深刻的理解.

第二，知識是發(fā)展的，要用發(fā)展的眼光來看待我們今天所學(xué)的知識.我們一直以為向量僅僅只是一個章節(jié)的內(nèi)容，其實向量更具備了工具性的特征貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，如果能從這樣的角度去看待向量，那么我們對于向量知識的理解和運用，能更上一層樓.限于水平，本文對向量解決幾何問題的探討還不夠深入，請各位讀者繼續(xù)批評指正.

1.俞求是.高中數(shù)學(xué)新課程立體幾何教學(xué)問題研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（2）.

2.鮑建生，等.向量教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（1）.

3.姜興榮.探求解析幾何解題思路的幾種策略［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（7-8）.Z