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    兩同余式組解的互補(bǔ)定理

    2016-11-21 11:01:28王元恒
    教育教學(xué)論壇 2016年42期

    王元恒

    摘要:給出了兩個同余式組解間的互補(bǔ)定理,并說明應(yīng)用此定理可以巧妙地“神奇化易”,利用一個同余式組的解來簡單求出另一個同余式組的解.

    關(guān)鍵詞:同余式組解;孫子定理;互補(bǔ)關(guān)系

    中圖分類號:O156.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A ? ? 文章編號:1674-9324(2016)42-0198-02

    文[1]中給出了一次同余式的四種不同解法.其實(shí),一次同余式在公元前二世紀(jì)時因天文歷法的需要而出現(xiàn),同時也出現(xiàn)了同余式組

    ax≡r(mod60)≡r(modb)

    的求解問題([2]),其中,a是一回歸年日數(shù),b是一朔望月數(shù).

    《孫子算經(jīng)》(成書于公元67—270年之間中)第26問題([3]):“今有物不知其數(shù)。三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?答曰二十三.”原題后給出最小正整數(shù)解是23,并給出了具體的解法:三三數(shù)之剩二,置一百四十(70×2);五五數(shù)之剩三,置六十三(21×3);七七數(shù)之剩二,置三十(15×2)。并之得二百三十三,以二百一十減之即得。這種解法經(jīng)后人整理發(fā)展即成為世界著名的孫子定理,或者稱為中國剩余定理,它比德國大數(shù)學(xué)家高斯(1777—1855)發(fā)表同樣的定理大約早1500年.

    定理1(孫子定理)([4]) 設(shè)m,…,m(k≥2)是兩兩互質(zhì)的正整數(shù),令M=m…m,M=M/m,M:MM≡1(modm),i=1,…,k.則一次同余式組x≡r(modm)≡…≡r(modm)的解為

    x≡rMM+…+rMM(modM).

    由此可見,孫子問題求解中的70,21,15就是孫子定理中的MM,MM,MM.

    數(shù)學(xué)問題的解決過程,是一個化未知為已知、化神奇為簡易的過程。與有物不知其數(shù)類似的問題,在小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽中常出現(xiàn),近年來在招聘公務(wù)員考試中也常出現(xiàn).

    例1(2007年山西省招考公務(wù)員試題) 幾百個糖,若平均分給7個小朋友,則多余3個,若平均分給8個小朋友,則多余6個,若再加3個,則可以平均分給5個小朋友,那么糖的數(shù)目可能有( ?)種情況.

    A.3種 ?B.4種 ?C.5種 ?D.6種

    解1 此題屬于求一數(shù),是其滿足:7除余3,8除余6,5除余2。由中國剩余定理可求出此數(shù)為:120×3+105×6+56×2-280k,當(dāng)k取1,2,3時,其數(shù)小于1000,因此選A正確.

    解2 生活中求解問題并不需要這么復(fù)雜,只需要計算出7,8,5的公倍數(shù)是7×8×5=280,然后用1000÷280的商3就是答案.

    華羅庚先師教導(dǎo)我們([5]):“神奇化易是坦道,易化神奇不足提.”對于孫子問題,他說:“只要不是白癡,都能解得答案:分析問題中所給的條件,根據(jù)條件逐步尋求滿足條件的解(數(shù)),由三三數(shù)之剩二做起:把2記在心里,然后加3,于是有2+3=5,這時滿足第一個條件,再加3,即2+3+3=8,這時滿足第一個條件,同時也滿足第二個條件,現(xiàn)在就不必再加3,而是加[3,5]=15,立即可得8+15=23(為什么要加15,因?yàn)?5為3,5的最小公倍數(shù)),23同時滿足問題中的三個條件,是滿足條件的最小正整數(shù)解.”孫子的神奇妙算問題,華羅庚僅用加法就求出了答案,印證了他老人家“神奇化易是坦道”的名言.或者更簡單,直接驗(yàn)證7的倍數(shù)加2:2,9,16,23,…即得23為答案.但是,如果當(dāng)同余式組的解很大時,就不好直接驗(yàn)算時,還有什么另外簡單方法嗎?其實(shí),本文發(fā)現(xiàn)有如下的“互補(bǔ)定理”,可以利用一個同余式組的解來簡單求出另一個同余式組的解.

    定理2(互補(bǔ)定理) 設(shè)m,…,m(k≥2)是兩兩互質(zhì)的正整數(shù),令M=m…m,x為同余式組x≡b(modm)≡…≡b(modm)的解,y為同余式組y≡c(modm)≡…≡c(modm)的解.則

    x+y≡0(modM)?圳b+c≡0(modm),i=1,…,k.

    證明 由孫子定理知x≡∑bMM(modM),

    y≡∑cMM(modM).

    所以,x+y≡∑(b+c)MM(modM).

    如果x+y≡0(modM),則x+y≡0(modm),i=1,…,k.又因?yàn)椋扣衘:1≤j≤k,當(dāng)j≠i時有M≡0(modm),進(jìn)而MM≡0(modm);

    當(dāng)j=i時,MM≡1(modm).故有

    0≡x+y≡∑(b+c)MM≡b+c≡0(modm),i=1,…,k,即b+c≡0(modm).

    反之,如果b+c≡0(modm),則

    0≡∑(b+c)MM≡x+y≡0(modm).

    j=1,…,k.又因?yàn)閙,…,m(k≥2)兩兩互質(zhì),所以有x+y≡0(modm…m),即

    x+y≡0(modM).

    證畢.

    此定理好像是兩個同余式組間的一座橋梁,從而方便了直接驗(yàn)證法求解.

    例2 今有物不知其數(shù)。三三數(shù)之剩一,五五數(shù)之剩二,七七數(shù)之剩五,問物幾何?

    解1 由孫子定理知,所求的解為

    x≡1×70+2×21+5×15≡82(mod 105).

    解2 此問題正是孫子問題的互補(bǔ)問題,由于孫子問題的解是23,所以應(yīng)用定理2得最小解為105-23=82.

    例3(韓信點(diǎn)兵) 傳說的是西漢大將韓信剛拜將時,眾將官多有不服.一次他到校軍場,查點(diǎn)士兵人數(shù).韓信讓士兵五五列隊(duì)余3人,七七列隊(duì)余2人,八八列隊(duì)余5人,九九列隊(duì)余2人,然后詢問人數(shù).下級軍官故意把人數(shù)錯報為2395人,韓信聽后,哈哈大笑說:“不對。應(yīng)當(dāng)是2333人.”使下級將官們大吃一驚,從此對他十分敬佩.

    解1 應(yīng)用孫子定理(較繁的是計算),令

    M=5×7×8×9=2520,M1=7×8×9=504,

    M2=5×8×9=360,M3=5×7×9=315,

    M4=5×7×8=280.

    由MM≡1(modm),i=1,2,3,4,m=5,m=7,

    m=8,m=9得到

    M=4,M=5,M=3,M=1.

    所以所求的解為

    x≡3×504×4+2×360×5+5×315×3+2×280×1

    ≡2333(mod2520)

    即韓信說的士兵人數(shù)應(yīng)當(dāng)是2333人.

    解2 首先估計下士兵人數(shù)在2000人與2500人之間,而M=5×7×8×9=2520,所以應(yīng)用定理2的互補(bǔ)方法,來考慮“韓信點(diǎn)兵”問題的互補(bǔ)問題.然后,再應(yīng)用華羅庚先師的“神奇化易”的直接算法:

    先在滿足第一條件的數(shù)列:

    2,7,12,17,22,27,…

    中找出同時滿足其他條件的數(shù).例如同時滿足第一、三條件的數(shù)是27,而5和8的最小公倍數(shù)是40,所以又可在同時滿足第一、三條件的數(shù)列:

    27,67,107,147,187,…

    中找出同時滿足其他條件的數(shù).數(shù)187就同時也滿足了第二條件,而5,7,8的最小公倍數(shù)是280,所以又可在同時滿足第一、二、三條件的數(shù)列:

    187,187+280,187+2×280,…

    中找出同時滿足第四條件的數(shù),就是187.

    于是應(yīng)用定理2知道,士兵人數(shù)為2520-187=2333人.

    顯然在具體計算求解時,解法2比較簡單,甚至小學(xué)生都會求解,我們大學(xué)數(shù)學(xué)師生更應(yīng)該會求解.

    最后應(yīng)該指出的是,應(yīng)用定理2(互補(bǔ)定理)在計算機(jī)上求解大型同余式組的解時,可以使計算工作量減少一半.

    參考文獻(xiàn):

    [1]劉耀斌.一次同余式的解法探討[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,(4):79-81.

    [2]沈康身.中國剩余定理的歷史發(fā)展[J].杭州大學(xué)學(xué)報,1988,(3):270-282.

    [3]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,1982.

    [4]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,1958.

    [5]華羅庚.從孫子的“神奇妙算”談起[M].北京:人民教育出版社,1964.

    Complementary Theorem between the Solutions of Two Congruence Groups and Its Applications

    WANG Yuan-heng

    (Department of Mathematics,Zhejiang Normal University,Jinhua,Zhejiang 321004,China)

    Abstract:The complementary theorem between the solutions of two congruence groups is given in this paper.So,one can get the solution of a congruence group from another solution of its complementary congruence group and some examples are given to show this.

    Key words:solutions of congruence group;the Chinese remainder theorem;complementation

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