幾何證明題學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

馬春燕

摘要：在幾何證明教學(xué)中，教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和訓(xùn)練是十分重要的，可以通過(guò)讀題、分析、看圖、總結(jié)四個(gè)方面讓學(xué)生在主動(dòng)獲得知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧，形成良好的思維習(xí)慣，最終達(dá)到能獨(dú)立分析、解答問(wèn)題的目的。

關(guān)鍵詞：幾何;分析方法;總結(jié)技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1992-7711（2016）04-091-2

平面幾何是初中生普遍認(rèn)為難學(xué)，任課教師認(rèn)為難教的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。之所以難，是因?yàn)閺拇鷶?shù)到幾何發(fā)生了由數(shù)到形、由計(jì)算到推理的轉(zhuǎn)變，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng);其次，概念、性質(zhì)、定理比較多，而學(xué)生不能正確理解并掌握其幾何語(yǔ)言;進(jìn)而，遇到問(wèn)題不會(huì)分析，予以解答。

眾所周知，幾何的證明就是要用合理的推斷來(lái)說(shuō)明因果關(guān)系的正確性，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在幾何證明教學(xué)中，教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和訓(xùn)練十分重要，要讓學(xué)生在主動(dòng)獲得知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧，形成良好的思維習(xí)慣，最終達(dá)到能獨(dú)立分析、解答問(wèn)題的目的。通過(guò)實(shí)踐教學(xué)反饋總結(jié)，我認(rèn)為對(duì)幾何證明學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)有以下四個(gè)方面：

一、學(xué)會(huì)讀題

第一，很多學(xué)生在把一個(gè)題目讀完后，還沒(méi)有弄清楚題目講的是什么意思，就開(kāi)始動(dòng)筆書(shū)寫(xiě)，這是不可取的，往往寫(xiě)下來(lái)也是不得分的。我們應(yīng)該邊讀邊想，給的條件有什么用，再對(duì)照?qǐng)D形來(lái)對(duì)號(hào)入座;思考所求結(jié)論從什么地方入手，也應(yīng)在圖中找到相應(yīng)位置。

第二，在讀題的時(shí)候每個(gè)條件要在所給的圖形中標(biāo)記出來(lái)。相等的邊或角用相同的符號(hào)來(lái)表示;倍數(shù)關(guān)系的邊或角用同類(lèi)型的相應(yīng)倍數(shù)來(lái)表示。

第三，圖形復(fù)雜一點(diǎn)的題目往往有一些隱藏條件，我們讀題時(shí)也要能挖掘出來(lái)。這就需要注重平時(shí)的積累，對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)的掌握，對(duì)特殊圖形的認(rèn)識(shí)。有些是由已知條件所能直接得出的結(jié)論，也應(yīng)標(biāo)注在圖形旁邊，結(jié)合證明內(nèi)容看需要用哪些。

二、學(xué)會(huì)分析

證明題的分析無(wú)非三種方法：第一，正向思維。對(duì)于一般簡(jiǎn)單的題目，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、性質(zhì)的應(yīng)用，逐步推導(dǎo)，證出結(jié)論。第二，逆向思維。從命題的結(jié)論考慮，逆推使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)往前倒推，直到已知條件。這種方法能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問(wèn)題，探索解題方法，拓寬解題思路。第三，正逆結(jié)合。從題目要你證明的結(jié)論出發(fā)往回推理，然后再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，以利于縮短條件與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明的目的。

三、學(xué)會(huì)看圖

所謂看圖，是指觀察，分析和認(rèn)識(shí)幾何圖形。通過(guò)看圖，不僅找到圖形中的已知條件和證明內(nèi)容，還要知曉幾何圖形的內(nèi)在構(gòu)成和聯(lián)系，從而達(dá)到解一題通一類(lèi)的效果。激發(fā)了學(xué)生的解題興趣，迸發(fā)出創(chuàng)新思維。

初中數(shù)學(xué)幾何板塊的模型思想非常突出，如果學(xué)生把每一道幾何題目的基本構(gòu)架“理”清楚，也就是幾何圖形的本質(zhì)“看”透徹，那么學(xué)習(xí)將會(huì)事半功倍。復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。有時(shí)還需要構(gòu)造基本圖形，添加輔助線，把大問(wèn)題細(xì)化成幾個(gè)小問(wèn)題，逐一擊破，從而解決問(wèn)題。

例如：蘇科版數(shù)學(xué)用書(shū)初二下冊(cè)學(xué)習(xí)四邊形的時(shí)候，有這樣一個(gè)問(wèn)題：在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）將矩形紙片沿BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處（如圖①），設(shè)DE和BC相交于點(diǎn)F，試說(shuō)明△BDF為等腰三角形，并求BF的長(zhǎng);

（2）將矩形紙片折疊，使B與D重合（如圖②）求折痕GH的長(zhǎng)。

這道題目中，問(wèn)題（1）由平行線加角平分線就能得等腰三角形。對(duì)于BF的長(zhǎng)度的求解，借助于方程思想，設(shè)BF=x，利用“角落里的小勾”來(lái)完成，得x2=（8-x）2+62，解方程即可，在這里就不贅述了。

問(wèn)題（2）中，同是翻折，但折痕不一樣，得到的翻折圖形自然不一樣，但兩張圖形在結(jié)構(gòu)模型上是完全一致的，都包含了全等圖形和直角三角形，看透這一點(diǎn)，解題就會(huì)容易許多。和圖（1）一樣，利用“角落里的小勾”很快求出BH、CH=AG=GF。接下來(lái)思考GH的求法，想法一：放入直角三角形求GH，那么就要添輔助線GM⊥BC于點(diǎn)M，這樣，只要求出BM，就能得MH，放在Rt△GMH中，利用勾股定理求出GH。所以解題關(guān)鍵轉(zhuǎn)化成求BM，而B(niǎo)M=AG，問(wèn)題迎刃而解。想法二：GH看成四邊形GBHD的對(duì)角線，因此連接GB和BD交于點(diǎn)O。繼續(xù)由圖（1）的積累，容易證四邊形GBHD是菱形，對(duì)角線互相垂直平分，放于Rt△BOH中，利用勾股定理求出OH，兩倍即是GH。

因此，我們認(rèn)清圖形的內(nèi)在構(gòu)成和聯(lián)系，看清圖形的本質(zhì)，將復(fù)雜圖形解析成幾個(gè)基本圖形，很多看似困難的問(wèn)題都能輕松解答。

四、學(xué)會(huì)總結(jié)

當(dāng)一道幾何題證出來(lái)后，同學(xué)們會(huì)感到很高興，事實(shí)上，這對(duì)今后的學(xué)習(xí)可以帶來(lái)更大的信心。此時(shí)，如果同學(xué)們花上幾分鐘的時(shí)間，回顧總結(jié)一下自己在解題中所用的定理、性質(zhì)，總結(jié)解題時(shí)的思路和方法，這將是學(xué)習(xí)的更高境界，也是自我升華的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，今后會(huì)解的就不僅僅是這道題，而是這一類(lèi)題。

例如：4.1如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

求證：（1）AD=CF;（2）AB=BC+AD.

此題的證明較為簡(jiǎn)單，當(dāng)我們邊讀題邊把條件標(biāo)注在圖形上，題目讀完，解題思路也就出來(lái)了。通過(guò)證明△ADE≌△FCE，得出AD=CF;再證△ABE≌△FBE，就能得AB=BF，從而得出AB=BC+AD.

這時(shí)，我們是成功的，自然是開(kāi)心的，但仍需靜下心來(lái)，總結(jié)一下圖形特點(diǎn)以及解題方法，我們說(shuō)，圖形中由平行線加線段的中點(diǎn)構(gòu)成全等三角形是解題的關(guān)鍵。這樣，遇到下面這道題，你就心中有數(shù)啦。

4.2如圖，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中點(diǎn)，AD、BC與AB之間有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

此題是個(gè)開(kāi)放式問(wèn)題，需要我們有一定的圖形積累，要有基本知識(shí)儲(chǔ)備。正因?yàn)閷?duì)4.1的總結(jié)思考，我們遇到此題時(shí)，并不慌張。從圖形看，此圖繼續(xù)有平行線加線段的中點(diǎn)，和4.1結(jié)構(gòu)一樣，圖形本質(zhì)相同，因此，為了構(gòu)成全等三角形，那么延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，圖形就變成4.1，問(wèn)題解決了。

做完這道題，我們對(duì)于平行線加線段的中點(diǎn)構(gòu)成全等三角形已經(jīng)足夠掌握，此時(shí)不妨從換一個(gè)角度來(lái)思考本題的另一個(gè)重點(diǎn)。那就是對(duì)于兩條線段之和等于第三條線段的證明方法，是將兩條中的一條線段通過(guò)全等或等角對(duì)等邊替換成與另一條在一直線上的線段，從而轉(zhuǎn)化成證兩條長(zhǎng)線段相等的模型。

幾何學(xué)習(xí)看似困難，實(shí)際上每道題都有一定的解題方法，每一類(lèi)題都有相似的解題思想。掌握證明題的一般步驟、總結(jié)解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想、歸納解題的基本規(guī)律是求解幾何證明題的關(guān)鍵。