解導(dǎo)數(shù)題的三種模式

華冉宇 冉光

模式，有形的直觀，又有較為固定的套路，因此教學(xué)中宜提倡模式教學(xué).數(shù)學(xué)解題模式教學(xué)，有利于提高學(xué)習(xí)記憶，有利于解題方法與策略的形成，特別是對常考重點考試的題型，加強解題模式歸納與提煉，應(yīng)該是高三數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)研究的重點內(nèi)容之一.這里介紹導(dǎo)數(shù)解題的三種模式.

模式一判別單調(diào)性的宏觀模式：在求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間時，面對含參量t的導(dǎo)函數(shù)，首先應(yīng)該觀察出（求）使f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立的t的取值范圍，對該范圍進(jìn)行單調(diào)描述或解答，其次，對上一步的t的取值的反面再進(jìn)行單調(diào)性描述或解答.

學(xué)生解單調(diào)區(qū)間時，習(xí)慣上是先求導(dǎo)函數(shù)f ′（x）后立即令f ′（x）>0（或f ′（x）<0），解之.在含參量的導(dǎo)函數(shù)情況下，這樣很容易造成混亂而難以自拔.本模式關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生求了導(dǎo)函數(shù)f ′（x）后能宏觀著眼，從f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立與不恒成立兩個對立方面去求解.

例1設(shè)函數(shù)f（x）=x+1-aln（x+1），a∈R且a≠0，（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）比較x+1與ln（x+1）的大小，并證明.

解（1） f ′（x）=12x+1-ax+1=x+1-2a2（x+1），

f（x）的定義域為（-1，+∞）.

當(dāng)a<0時，恒有f ′（x）>0，f（x）在定義域（-1，+∞）上遞增.

當(dāng)a>0時，令f ′（x）>0，即x+1-2a>0，

解之x>4a2-1，所以，f（x）的增區(qū)間為[4a2-1，+∞），

減區(qū)間為（-1，4a2-1）.

練習(xí)已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a ∈R.（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-23，-13）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.

模式二恒成立問題的推理淘汰型模式：對于求解含參量恒成立問題中的參量的取值范圍，除常規(guī)的最值轉(zhuǎn)化、自然的解不等式等方法外，還有一種方法：把參量進(jìn)行特征分類，對各類進(jìn)行自然的推理驗證，合符恒成立的保留，不能恒成立的淘汰，保留下來的就是所求的.

例2（2007年全國Ⅰ高考題改編）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x，若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解記h（x）=f（x）-ax=ex-e-x-ax，

h′（x）=ex+e-x-a.

因為ex+e-x≥2，

當(dāng)a≤2時，恒有h′（x）≥0，h（x）在x≥0上遞增，于是對所有x≥0，恒有h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥ax.

當(dāng)a>2時，令h′（x）>0，即ex+e-x-a>0.（*）

設(shè)ex=t，t>0，解t+1t-a>0，

得ta+a2-42，

于是不等式（*）的解為

xlna+a2-42.

所以，h（x）在[0，lna+a2-42]上遞減，

在（lna+a2-42，+∞）上遞增.

由于h（0）=0，則當(dāng)x∈（0，lna+a-4a）時，恒有h（x）<0，即f（x）

這就是說，a>2時，對所有x≥0，f（x）≥ax不成立.

綜上，所求a的取值范圍是a≤2.

通過觀察，大多數(shù)學(xué)生解恒成立問題的習(xí)慣做法就是最值轉(zhuǎn)化，高考復(fù)習(xí)顯然不應(yīng)該局限于此.模式二就是一種與傳統(tǒng)方法有別的解題模式，邏輯性強，并常常伴隨有模式一的影子.

練習(xí)已知函數(shù)f（x）=1+x1-xe-ax.

（1）設(shè)a>0，討論y=f（x）的單調(diào)性；

（2）若對任意x∈（0，1）恒有f（x）>1，求a的取值范圍.

模式三對于二問或多于二問的題目，大多數(shù)情況都會有前對后的銜接——或前對后交接，或前對后的運用，或前對后的啟示.

例3已知f（x）=lnx，（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）當(dāng)02a（b-a）a2+b2.

本題（1）對（2）的銜接比較隱含，需借助最大值得到一個不等式，再運用于（2）.

解（1）略.g（x）的最大值為g（0）=0.

（2）由（1）得：當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，+∞）時，g（x）

由此，當(dāng)0

所以f（b）-f（a）>2a（b-a）a2+b2.

銜接有時顯現(xiàn)，有時又隱含.還有一種銜接是：前對后的啟示，或方法，或形式，或內(nèi)容等.

例4（2006年上海）已知函數(shù)y=x+ax有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在（0，a]上是減函數(shù)，在[a，+∞）上是增函數(shù).

（1）如果函數(shù)y=x+2bx （x>0）的值域為[6，+∞），求b的值；

（2）研究函數(shù)y=x2+cx2 （常數(shù)c>0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

（3）對函數(shù)y=x+ax和y=x2+ax2 （常數(shù)a>0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)F（x）=（x2+1x）n+（1x2+x）2（n是正整數(shù)）在區(qū)間[12，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）.

本題（1）、（2）可直接運用題設(shè)性質(zhì)解答，（2）在運用時要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的知識.（3）的解答則可由（1）、（2）的函數(shù)形式及其單調(diào)性得到啟示：（1）是x的奇次冪，（2）是x的偶次冪，奇、偶的單調(diào)性有差異.

解（1）略. （2）略. y=x2+cx2是偶函數(shù)，減區(qū)間是（-∞，-4c]、（0，4c]，增區(qū)間是（-4c，0）、（4c，+∞）.

（3）可以把函數(shù)推廣為y=xn+axn（常數(shù)a>0），其中n是正整數(shù).

當(dāng)n是奇數(shù)時，該函數(shù)的減區(qū)間是（-2na，0）、（0，2na]，增區(qū)間是（-∞、-2na]、（2na，+∞）.

當(dāng)n是偶數(shù)時，該函數(shù)的減區(qū)間是（-∞，-2na]、（0，2na]，增區(qū)間是（-2na，0）、（2na，+∞）.

F（x）=（x2+1x）n+（1x2+x）n=C0n（x2n+1x2n）+C1n（x2n-3+1x2n-3+…+Crn（x2n-3r+1x2n-3r）+…+Cnn（xn+1xn），

因此，F(xiàn)（x）在[12，2]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù).

所以，當(dāng)x=12或x=2時，F(xiàn)（x）取得最大值（92）n+（94）n，當(dāng)x=1時，F(xiàn)（x）取得最小值2n+1.

練習(xí)設(shè)f（x）=px-px-2lnx，（1）若f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；（2）求證lnx≤x-1（x>0）；（3）求證ln222+ln332+…+lnnn2<12[（n-1）-（122+132+…+1n2）] （n∈N+，n≥2）.

銜接模式是命制高考大題普遍遵循的原則之一，一來數(shù)學(xué)本身注重運用，在一個題中就自成問題——結(jié)論——運用的系統(tǒng)，何樂而不為呢？二來節(jié)省學(xué)生考試時間，便于考查更多的知識點.導(dǎo)數(shù)考查從2004年全面鋪開以來，全國卷大題的設(shè)計凡有兩問或三問的都遵循了銜接模式，各省自主命題的同類問題沒有遵循該模式的只占少數(shù).其它大塊的大題兩問或多問的設(shè)計也大都遵循了這一模式.

以上三種模式是筆者多年高考教學(xué)的總結(jié)，具體，可行，有實用和導(dǎo)向雙重功效，在導(dǎo)數(shù)解題中覆蓋面較廣，對指導(dǎo)高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)頗有實效.