二元函數(shù)的最值引發(fā)的教學(xué)思考

吳雷雷

本文結(jié)合高考中經(jīng)常出現(xiàn)的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，闡述了求解的常用方法，即基本不等式、整體換元和數(shù)形結(jié)合法.高三學(xué)生學(xué)得辛苦，但由于缺乏對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，常常事倍功半，在重復(fù)與茫然的訓(xùn)練中效率不高.而我們教師可以通過(guò)自身的研究與探索，使得數(shù)學(xué)知識(shí)拎起來(lái)成一串、撒下去鋪一片，這樣就能讓學(xué)生舉一反三，讓學(xué)生在收獲的季節(jié)里，少些遺憾，多些欣慰！

下面是本人針對(duì)二元函數(shù)的最值及其相關(guān)問(wèn)題，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆此迹云趻伌u引玉.

一、基本不等式法

基本不等式是求解二元函數(shù)最值的常用方法，運(yùn)用其解決問(wèn)題時(shí)要注意“一正二定三相等”，常常需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)使用基本不等式的情景，思路有：變常數(shù)、變系數(shù)、拆項(xiàng)等.

例1設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=x2-1 （x>3）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，記m=3x+y-5x-1+x+3y-7y-2，則當(dāng)m最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

分析由于點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)圖象上，故可以化為一元函數(shù)，然后根據(jù)其特征，采用基本不等式求解.

略解m=3x+x2-6x-1+x+3x2-10x2-3

=6+x2-3x-1+x-1x2-3≥6+2x2-3x-1·x-1x2-3=8.

當(dāng)且僅當(dāng)x2-3x-1=x-1x2-3，即x=2時(shí)m取得最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）.

二、整體換元法

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中把某一個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量即所謂的“元”去替換它，把替換的變量重新構(gòu)造成新的數(shù)學(xué)關(guān)系.在整體換元解題中，最為重要的就是構(gòu)造元和設(shè)元，這是整體換元解題的關(guān)鍵，而經(jīng)過(guò)換元后能夠和已知條件聯(lián)系得更加直觀，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、生疏問(wèn)題熟悉化.

例2已知x，y為正數(shù)，則x2x+y+yx+2y的最大值為.

分析考慮到x，y為不相關(guān)的正數(shù)，

不妨令t=xy （t>0）.

略解設(shè)z=x2x+y+yx+2y=xy2（xy）+1=1xy+2，

令t=xy （t>0），則z（t）=t2t+1+1t+2，

z′（t）=（t2t+1+1t+2）′=-3t2+3（2t2+5t+2）2.

令z′（t）>0得0

三、數(shù)形結(jié)合法

若給定的目標(biāo)函數(shù)是線性目標(biāo)函數(shù)或者具有斜率、距離等幾何意義，則求此類二元函數(shù)的最值的基本思想是將“數(shù)”的問(wèn)題，化為“形”的特征，利用幾何意義解決問(wèn)題.

例3已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R.若|x1|+|x2|=1，則 f（x1）f（x2）的取值范圍是.

分析從|x1|+|x2|=1看，可看成|x|+|y|=1構(gòu)成的一個(gè)正方形，考慮運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，同時(shí)，不禁讓人想起求函數(shù)F（a，θ）=a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2的最值.

略解k=m2+2+2mx1m2+2+2mx2=m2+1m-（-x1）m2+1m-（-x2）.設(shè)點(diǎn)P（m2+1m，m2+1m），Q（-x2，-x1），則 f（x1）f（x2）的取值范圍就是PQ的斜率范圍，點(diǎn)P是射線y=x（x≥2）上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是|x|+|y|=1構(gòu)成的正方形上一點(diǎn).如圖1，直線P0Q1的斜率為1-22，直線P0Q2的斜率為2+2，則f（x1）f（x2）的取值范圍是[1-22，2+2].

二元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，高中階段，通常以較簡(jiǎn)單的形式出現(xiàn)，重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和探究意識(shí)，其求解過(guò)程是一種創(chuàng)造性的勞動(dòng)，而方法又是多種多樣的，比如還有消元法，三角換元法等等，我們要有所側(cè)重地選擇常見(jiàn)的幾種方法與學(xué)生探究，使數(shù)學(xué)思想方法的滲透更為自然，這樣對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)質(zhì)量具有獨(dú)特的意義，能取得良好的效果，從而讓學(xué)生真正感受到美的數(shù)伴隨在他們左右，最終充分地發(fā)展學(xué)生的想象力.y=x的交點(diǎn)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x=1m-1，因?yàn)閙>k>1，所以m-1>k-1>0，所以1m-1<1k-1，由圖象可知：在x∈（1m-1，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=x的上方，所以f（1k-1）>1k-1恒成立.

師評(píng)：通過(guò)函數(shù)圖象分析，讓我們更加清晰地看出試題是如何命制，也讓我們將相對(duì)抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀、清晰地展現(xiàn)出來(lái)，達(dá)到一幅圖勝過(guò)一千個(gè)文字說(shuō)明.

【本文是福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)策略實(shí)證研究》（課題立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJK15-464）】