動(dòng)靜之間話轉(zhuǎn)化

周新玲

直線與圓的位置關(guān)系問題是高考中常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年的高考都會涉及到直線與圓的動(dòng)態(tài)關(guān)系問題.直線與圓的動(dòng)態(tài)位置關(guān)系問題常見的有三種題型：即動(dòng)圓定直線；定圓動(dòng)直線；動(dòng)圓動(dòng)直線.這幾類問題常常要進(jìn)行動(dòng)靜之間的相互轉(zhuǎn)化，而動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化是過程與瞬間的轉(zhuǎn)化、表象與本質(zhì)的轉(zhuǎn)化、形與數(shù)的轉(zhuǎn)化.因此，深刻理解轉(zhuǎn)化過程中的“變與不變”、“動(dòng)與靜”的關(guān)系，對分析問題和解決問題十分重要.下面我們結(jié)合近幾年的高考題及模擬題舉例說明.

題型一：動(dòng)圓定直線

例1（1）（2013屆蘇州二模第10題）已知圓C：（x-a）2+（y-a）2=1 （a>0）與直線y=3x相交于P，Q兩點(diǎn)，若∠PCQ=90°，則實(shí)數(shù)a=.

解析因?yàn)椤螾CQ=90°，所以△PCQ是等腰直角三角形.圓心到直線的距離d=22r=22.

即|3a-a|10，解得a=52.

（2）圓（x-3）2+（y-3）2=r2 （r>0）上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點(diǎn)有3個(gè)，則r的值為.

解析因?yàn)閳A心到直線的距離d=2，所以r=2+1=3.

變題圓（x-3）2+（y-3）2=r2 （r>0）上到直線3x+4y-11的距離等于1的點(diǎn)有2個(gè)，則r的取值范圍為.

解析借助幾何畫板，畫出直線，當(dāng)圓心為（3，3），r不斷變化時(shí)是以（3，3）為圓心的同心圓，在這個(gè)變化過程中有兩個(gè)極端情形，圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1和圓上只有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，圓的半徑在這之間變化的過程中符合條件.故r+1>d，

r-1

題型二：定圓動(dòng)直線

例2（1）（2010年江蘇第9題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

解析圓心到直線的距離d=|c|13，

由題意得d<1，即|c|13，所以-13

本題實(shí)際上和例1第（2）小題是一類問題，只是一個(gè)是直線是定的，圓是動(dòng)的，一個(gè)是圓是定的，直線是動(dòng)的.均是通過觀察移動(dòng)過程中，圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系.

（2）若直線x+y+m=0上存在點(diǎn)P可作圓O：x2+y2=1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，且∠APB=60°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析易得：在Rt△AOP中，∠APO=30°，所以O(shè)P=2，

圓心到直線的距離d≤OP=2，即|m|2，

所以-22≤m≤22.

（3）（2012年江蘇高考第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是.

解析圓C的圓心（4，0）到直線y=kx-2的距離d≤2，即|4k-2|1+k2≤2，解得0≤k≤43.

例3（2009年江蘇第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2=4.

（1）若直線l過點(diǎn)A（4，0），且被圓C1截得的弦長為23，求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面內(nèi)的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿

也是減函數(shù)，

所以f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為f（-3）與f（3）.

而f（3）=3f（1）=-2，f（-3）=-f（3）=2.

所以f（x）在[-3，3]上的最大值為2，最小值為-2.

方法總結(jié)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x1）-f（x2）與0的大小，或f（x1）f（x2）與1的大小.有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝鐇1=x2·x1x2或x1=x2+x1-x2等.

引導(dǎo)學(xué)生逐步探究利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性兩種方法.體驗(yàn)了數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.探究時(shí)先以基本初等函數(shù)為載體，再深化擴(kuò)展為函數(shù)的一般性質(zhì).從而理解掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性.為后面的學(xué)習(xí)及綜合應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和邏輯思維能力.足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析（1）y=0或y=-724（x-4）.

（2）方法一（代數(shù)法）：設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程y-b=k（x-a），k≠0，則直線l2的方程為y-b=-1k（x-a）.因?yàn)閳AC1和圓C2半徑相等，又直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，所以圓C1圓心到直線l1的距離與圓C2圓心到直線l2的距離相等.

即|1-k（-3-a）-b1+k2=|5+1k（4-a）-b|1+1k2，

化簡整理得1+3k+ak+b=5k+4-a-bk，

或1+3k+ak+b=-（5k+4-a-bk），

即（a+b-2）k=b-a-3或（a-b+8）k=a+b-5.

因?yàn)闈M足條件的k有無窮多個(gè)，

所以a+b-2=0，

b-a-3=0 或a-b+8=0，

a+b-5=0.

解得a=52，

b=-12或a=-32，

b=132.

故存在點(diǎn)P坐標(biāo)為（-32，132）或（52，-12）滿足條件.

方法二（幾何法）：點(diǎn)P在C1C2的中垂線上，且與C1、C2構(gòu)成等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計(jì)算可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-32，132）或（52，-12）.

評析本題代數(shù)法將動(dòng)直線問題轉(zhuǎn)化為方程的恒成立問題，體現(xiàn)了解析幾何中的幾何問題代數(shù)化特征.幾何法則充分利用等圓的垂直弦斜率變化過程中的不變性，通過過C1，C2做直線l1和l2的垂線，得到的兩個(gè)直角三角形全等，從而得點(diǎn)P在以C1C2的中垂線上.顯然幾何法更為簡便.

題型三：動(dòng)圓動(dòng)直線

例4（2011年江蘇第14題）設(shè)集合A={（x，y）}|m2≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，集合B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}.若A∩B≠，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析當(dāng)m≤0時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以|m|為半徑的圓面，集合B是兩平行線之間的部分，

而2-2m-12+m=（1-2）m+22>0，

即A∩B≠舍去；

當(dāng)m>0時(shí)，由A≠得m≥12；

此時(shí)集合A是以（2，0）為圓心，以m2和|m|為半徑的圓環(huán)，集合B是兩平行線之間的部分，

所以|2-2m-1|2≤m或|2-2m|2≤m，

所以12≤m≤2+2.

直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用是高考中?？急乜嫉膬?nèi)容，也是高考考試說明中8個(gè)C級考點(diǎn)之一.在解決這類問題時(shí)，要充分利用圖形的幾何直觀性，運(yùn)用幾何法解決問題，同時(shí)注重幾何法和代數(shù)關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，將幾何關(guān)系運(yùn)用代數(shù)式來表示，以上三個(gè)例題都顯示了這樣的特征.我們在教學(xué)過程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)對于這類題目學(xué)生一直“似懂非懂”，做過類似的題目再次碰到仍然會一而再再而三的出錯(cuò)，問題在哪里呢？

首先多數(shù)學(xué)生不會進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即使能夠找到極端情形，也不能確定大小關(guān)系.如例2的（2）（3）小題，很多同學(xué)能夠畫出圖形找出等號的情形，不能確定究竟是“大于等于”還是“小于等于”，這是因?yàn)閷χ本€與圓位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化把握不準(zhǔn).在這方面，教師不應(yīng)操之過急，包辦代替，而應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間去探索.讓學(xué)生感受直線與圓位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化過程，發(fā)現(xiàn)變化過程中的不等關(guān)系.只有真正理解了，消化了，才能舉一反三，觸類旁通.于此同時(shí)，我們可以對題目進(jìn)行變式，讓學(xué)生進(jìn)行探究.例如例1中的第（2）小題，可以進(jìn)行下面的變式：

變式1圓（x-3）2+（y-3）2=r2 （r>0）上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點(diǎn)有1個(gè)，則r的取值范圍是.

變式2圓（x-3）2+（y-3）2=r2 （r>0）上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點(diǎn)有2個(gè)，則r的取值范圍是.

變式3圓（x-3）2+（y-3）2=r2 （r>0）上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點(diǎn)有4個(gè)，則r的取值范圍是.

通過這樣的題組訓(xùn)練，學(xué)生就能夠更好地掌握圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化.

其次直線和圓的位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化如何觀察，怎么想到的需要教師有效的指導(dǎo)和引領(lǐng).教師在教學(xué)過程中應(yīng)充分借助多媒體手段展示動(dòng)態(tài)變化的思維過程，讓學(xué)生體會如何從圖形的變化中“提煉”出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.例如本文中的例3的幾何法，僅僅通過靜態(tài)圖形很難看出，可以借助幾何畫板展示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中的不變性即兩個(gè)直角三角形全等，從而得出點(diǎn)P在C1C2的中垂線上的結(jié)論.

再次在直線與圓動(dòng)態(tài)位置關(guān)系問題的學(xué)習(xí)中常常會發(fā)生學(xué)生 “聽聽都懂”， “一做就完”的現(xiàn)象.要突破這一教學(xué)困境，需要教師真正把課堂和講臺讓位于學(xué)生，讓“教師的教”真正服務(wù)于“學(xué)生的學(xué)”.雖然學(xué)生的想法可能五花八門，不能完全按照教師的預(yù)設(shè)進(jìn)行，這樣的課堂教師會感到很累，壓力很大但是只要我們備課要精細(xì)，立足學(xué)生，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設(shè)置臺階，控制節(jié)奏，誠如本文中提到的例4，難度較大，學(xué)生未必能提煉出這樣簡潔的關(guān)系.我們不要急于把答案告訴學(xué)生，讓他們畫圖，討論，列出關(guān)系.雖然列式不盡相同，但是只要做出來了，也是一種成功，適合學(xué)生的才是做好的.

數(shù)學(xué)問題無論如何變化，總是萬變不離其宗.正如我們研究直線與圓的動(dòng)態(tài)位置關(guān)系歸根結(jié)底就是以上三種類型.只要我們能夠引導(dǎo)學(xué)生深入探究這三類問題的解題方法，對問題加以變式延伸，從而提高思維的深度和廣度，才能跳出題海，提升能力.