數(shù)學(xué)之于經(jīng)濟(jì)

張亞妮

摘 要：數(shù)學(xué)歷來(lái)有學(xué)科之王的稱(chēng)號(hào)。作為一門(mén)“工具性質(zhì)”的學(xué)科，數(shù)學(xué)滲透于多種學(xué)科研究之中。經(jīng)濟(jì)學(xué)就是其中之一。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多研究都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的幫助，微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要組成部分同樣是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的必備知識(shí)，數(shù)學(xué)模型的建立同樣也必不可少。可以說(shuō)數(shù)學(xué)使得經(jīng)濟(jì)學(xué)研究變的更加嚴(yán)謹(jǐn)也更加簡(jiǎn)單且一目了然。很多時(shí)候一長(zhǎng)段的文字描述用數(shù)學(xué)符號(hào)表示后就變成了簡(jiǎn)單的兩三行符號(hào)公式，一個(gè)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的發(fā)展趨勢(shì)用函數(shù)，函數(shù)圖像來(lái)表示時(shí)也變得更加直觀。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 積分 函數(shù) 數(shù)學(xué)模型

中圖分類(lèi)號(hào)：F224

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-4914（2016）04-207-02

翻開(kāi)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的歷史，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多獲獎(jiǎng)?wù)叨际窃跀?shù)學(xué)領(lǐng)域同樣有傲人成績(jī)的。史上第一屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者拉格納·弗里希（Ragnar Frisch），是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)研究領(lǐng)域的先驅(qū)者，他發(fā)展了經(jīng)濟(jì)規(guī)劃的決策模型，設(shè)計(jì)了設(shè)法利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。弗里希作為經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)“三合一”的開(kāi)山之祖而最負(fù)盛名?！叭弦弧奔窗呀?jīng)濟(jì)理論、數(shù)理方法和統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的分析中。甚至經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)就是弗里希創(chuàng)造的一個(gè)名詞，而也在經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多領(lǐng)域均有廣泛的影響。同時(shí)獲獎(jiǎng)的還有簡(jiǎn)·丁伯根（Jan Tinbergen）教授，他是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)模式建造者之父，主要從事于把統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)理論。這兩位學(xué)者發(fā)展了動(dòng)態(tài)模型來(lái)分析經(jīng)濟(jì)進(jìn)程。

其實(shí)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中我們也不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)是有著密切關(guān)系的兩個(gè)學(xué)科。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象經(jīng)濟(jì)理論都可以通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)去解釋。本文主要淺析數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、微積分在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)管理與決策優(yōu)化方面扮演著重要角色。預(yù)測(cè)作為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中非常重要的一項(xiàng)行為其在管理資金投放、商品產(chǎn)銷(xiāo)、人員組織等方面是重要的決策依據(jù)。經(jīng)濟(jì)的發(fā)展離不開(kāi)各種資源的優(yōu)化組合，為了獲得最大的利益需要在多種策略中擇其一。而將這類(lèi)問(wèn)題投射到數(shù)學(xué)學(xué)科上既是需要使代表獲利的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極大值，代表?yè)p失的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值問(wèn)題。即經(jīng)濟(jì)學(xué)上的利益問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)方面的目標(biāo)函數(shù)求極值問(wèn)題。而在決策問(wèn)題上即為線(xiàn)性規(guī)劃、非線(xiàn)性規(guī)劃、優(yōu)選問(wèn)題等。

一、數(shù)學(xué)模型之于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)

在經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，經(jīng)常碰到大宗物資調(diào)用問(wèn)題，例如煤、鋼材、樹(shù)木等等，在全國(guó)有若干生產(chǎn)基地，根據(jù)已有的交通網(wǎng)，應(yīng)如何制定調(diào)運(yùn)方案，將這些物資運(yùn)到各消費(fèi)地點(diǎn)，而總費(fèi)用要最小。而將這一問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述既是已知有m個(gè)生產(chǎn)地Ai，i=1，2，…，m?？晒?yīng)某種物質(zhì)，其供應(yīng)量分別為ai ，i=1，2…，m。有n個(gè)銷(xiāo)地Bj，j=1，2，…，n，其需要量分別為bj，j=1，2，…，n，從Ai到Bj運(yùn)輸單位物資的運(yùn)價(jià)（單價(jià)）為cij，這些數(shù)據(jù)可匯總于產(chǎn)銷(xiāo)平衡表和單位運(yùn)價(jià)表中如圖1和2。

若用xij表示從Ai到Bj的運(yùn)量，那么在產(chǎn)銷(xiāo)平衡的條件下，要求得總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案，可求解以下數(shù)學(xué)模型：

min z=■i=jm■nj=1cjix

■x=b，j=1，2，……n■xij=ai，i=1，2，……mxij≥0

這就是運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。它包含m×n個(gè)變量，（m+n）約束方程。然后再經(jīng)過(guò)單純形法等求解這一問(wèn)題。

上述過(guò)程就是典型的利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到最優(yōu)解決方案的例子。

通過(guò)以上我們也可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程其實(shí)是將所研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、清晰更具科學(xué)性和說(shuō)服性的過(guò)程。而在此過(guò)程數(shù)學(xué)就是我們研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的工具。

二、導(dǎo)數(shù)之于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)

導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)的自變量在改變時(shí)，相應(yīng)的因變量變化的快慢程度，即變化率。而將導(dǎo)數(shù)引進(jìn)經(jīng)濟(jì)研究之后，通常被應(yīng)用于邊際和彈性。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際經(jīng)濟(jì)變量都是用增加某一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量一單位從而對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量帶來(lái)的影響是多少，例如邊際效用、邊際收益、邊際成本、邊際利潤(rùn)等等。而經(jīng)濟(jì)學(xué)中的這些邊際概念幾乎都是用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示的。例如邊際成本的計(jì)算公式MC（Q）=△TC（Q）/△Q，其中△TC（Q）表示總成本的變化量△Q表示對(duì)應(yīng)產(chǎn)量上的變化量。而邊際成本用以判斷增減產(chǎn)量在經(jīng)濟(jì)上是否合算。正如前邊所說(shuō)，經(jīng)濟(jì)研究非常注重預(yù)測(cè)，而導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用使得我們可以更直觀地估算出在動(dòng)態(tài)過(guò)程中經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的虧盈情況。

三、微積分之于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)

微積分作為數(shù)學(xué)的主要部分同樣也被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)中的最優(yōu)化問(wèn)題中。在經(jīng)濟(jì)分析中我們會(huì)見(jiàn)到很多的函數(shù)，很多時(shí)候當(dāng)知道了邊際函數(shù)而需求得總函數(shù)（即原函數(shù)）時(shí)就需要用積分來(lái)解決。例如知道了生產(chǎn)某產(chǎn)品a個(gè)的邊際成本函數(shù)，固定成本，并且知道了產(chǎn)品售價(jià)，在假設(shè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品售罄的情況下，求生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)會(huì)達(dá)到最大？在這個(gè)問(wèn)題中我們首先就由邊際成本積分再加上固定成本求得生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本，繼而由利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本得到利潤(rùn)和產(chǎn)量a之間的函數(shù)，分析該函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求得利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量。從而問(wèn)題得到解決。

在人類(lèi)學(xué)科史上積分是用來(lái)解決人們?cè)谏a(chǎn)活動(dòng)過(guò)程中遇到的復(fù)雜和動(dòng)態(tài)過(guò)程的量化累計(jì)。所以在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，除了求總值還被應(yīng)用到其它變量時(shí)間累積的總量等。所以即使經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的復(fù)雜性，涉及的領(lǐng)域多，且函數(shù)表達(dá)方式都會(huì)有所不同，但究其根本的原理是一樣的。所以通過(guò)積分和微分的廣泛應(yīng)用能很好地解決這些問(wèn)題。微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用可以說(shuō)具有劃時(shí)代的意義，它使得經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究由原來(lái)的政治經(jīng)濟(jì)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)楦兇獾难芯咳绾卫孀畲蠡?，如何用有限的資源創(chuàng)造出更大的價(jià)值上。在這個(gè)過(guò)程中經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究也更加定量化、精密化和準(zhǔn)確化。

數(shù)學(xué)作為形式科學(xué)的一種在人類(lèi)歷史發(fā)展和社會(huì)生活中發(fā)揮著不可替代的作用。作為學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具，數(shù)學(xué)同樣在經(jīng)濟(jì)研究中必不可或缺。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中對(duì)經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是十分必要的，數(shù)學(xué)作為一個(gè)有力的定量分析工具可以更好地促使這些環(huán)節(jié)的進(jìn)行。數(shù)學(xué)是工具同樣也是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的翅膀。

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（作者單位：中央民族大學(xué)理學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè) 北京 100000）

（責(zé)編：賈偉）