數(shù)方格在平面圖形面積公式推導(dǎo)教學(xué)中的妙用

鄭昌建

方格是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用的直觀圖之一，是數(shù)形結(jié)合的有效載體。在平面圖形面積學(xué)習(xí)中，方格還有其特殊的意義——面積單位。數(shù)方格在圖形面積教學(xué)中是一種直觀、簡(jiǎn)易、原始的計(jì)量面積的方法，在各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材中教學(xué)平面圖形面積時(shí)都會(huì)用到。但在具體實(shí)施過(guò)程中，很多時(shí)候老師都只是把它單獨(dú)地作為一種計(jì)量面積的方法，對(duì)數(shù)方格這一環(huán)節(jié)的教學(xué)也只是輕描淡寫、一帶而過(guò)。其實(shí)數(shù)方格的作用遠(yuǎn)不止于此，筆者認(rèn)為它可以統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)小學(xué)階段平面圖形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)。

一、長(zhǎng)方形和正方形的面積公式推導(dǎo)教學(xué)，數(shù)方格可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)面積的認(rèn)識(shí)，感悟面積是面積單位平鋪度量出來(lái)的結(jié)果

在長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)教學(xué)時(shí)，首先給出一個(gè)5 cm×3 cm的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生估計(jì)面積，然后引導(dǎo)學(xué)生用邊長(zhǎng)1 cm的正方形紙片（面積單位）來(lái)擺一擺。這個(gè)長(zhǎng)方形中可以擺幾個(gè)面積單位，面積就是幾。于是就呈現(xiàn)（如右圖）每個(gè)方格的面積為1 cm2的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生去通過(guò)數(shù)方格（面積單位）得到：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊有5個(gè)面積單位，寬邊有3個(gè)面積單位，面積單位總數(shù)為5×3=15（個(gè)）。接著讓學(xué)生用12個(gè)面積為1 cm2的小正方形去拼出不同的長(zhǎng)方形，畫出示意圖（如下圖）

再觀察并數(shù)出長(zhǎng)邊擺的個(gè)數(shù)和寬邊擺的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)邊所擺面積單位的個(gè)數(shù)（即每行的面積單位數(shù)）×寬邊所擺面積單位的個(gè)數(shù)（即行數(shù)），同時(shí)發(fā)現(xiàn)：每行的面積單位數(shù)正好是長(zhǎng)方形長(zhǎng)刻度數(shù)，行數(shù)正好是寬的刻度數(shù)，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)的刻度數(shù)×寬的刻度數(shù)=長(zhǎng)×寬。作者在長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)教學(xué)過(guò)程中，是將面積轉(zhuǎn)化為方格，讓學(xué)生理解面積的計(jì)算就是計(jì)算面積單位的數(shù)量，而數(shù)方格的過(guò)程就是學(xué)生主動(dòng)探索，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)和寬與面積單位數(shù)之間聯(lián)系的過(guò)程。

二、平行四邊形面積公式推導(dǎo)教學(xué)中，讓學(xué)生在數(shù)方格的過(guò)程中感悟轉(zhuǎn)化的思想

在平行四邊形的面積公式推導(dǎo)教學(xué)中，教學(xué)瓶頸和學(xué)生的困惑是：為什么把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形？是怎么想到把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的呢？這也是平行四邊形面積公式推導(dǎo)有別于長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)之處。教材是通過(guò)讓學(xué)生數(shù)一數(shù)的方法，數(shù)出畫在方格中（且注明：一個(gè)方格代表1 cm2，不滿一格按半格計(jì)算）的平行四邊形與一個(gè)長(zhǎng)方形（底和長(zhǎng)相等、高與寬相等）的面積來(lái)體驗(yàn)平行四邊形與長(zhǎng)方形的底和長(zhǎng)相等、高與寬相等，面積相等，體驗(yàn)平行四邊形可以通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化成與之面積相等的長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積，得出平行四邊形面積計(jì)算公式。但作者認(rèn)為，這樣數(shù)沒(méi)有真正地讓學(xué)生體驗(yàn)到轉(zhuǎn)化的思想，并且為了學(xué)生能數(shù)出面積，教材還特意注明“一個(gè)方格代表1 cm2，不滿一格按半格計(jì)算”，這顯然不能解決學(xué)生的困惑和教學(xué)的瓶頸，也沒(méi)有真正地發(fā)揮數(shù)方格的價(jià)值。作者認(rèn)為，數(shù)方格的過(guò)程是要讓學(xué)生在數(shù)的過(guò)程中，去感悟“剪一剪、拼一拼”將不能直接用標(biāo)準(zhǔn)面積單位度量的圖形，能準(zhǔn)確地得到它的面積，其方法是“轉(zhuǎn)化”。為實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，可以這樣展開。

環(huán)節(jié)一：估測(cè)面積引入。在引入環(huán)節(jié)中老師先拿出一個(gè)平行四邊形紙片，讓學(xué)生摸一摸它的面積，然后讓學(xué)生估一估它的面積大約是多少。

環(huán)節(jié)二：引出數(shù)方格。為了驗(yàn)證誰(shuí)估測(cè)的比較準(zhǔn)確，讓學(xué)生思考：有什么辦法可以準(zhǔn)確地知道這個(gè)平行四邊形的面積？有學(xué)生就說(shuō)測(cè)量底和鄰邊長(zhǎng)度，并且將它們相乘，有學(xué)生說(shuō)用方格去擺。老師就順勢(shì)把這個(gè)平行四邊形畫在了方格紙上，并且告訴學(xué)生“每一個(gè)方格是面積為1 cm2”的正方形。學(xué)生獨(dú)立地在方格紙操作，老師提出操作要求：請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳习涯銛?shù)的過(guò)程清楚地表示出來(lái)，做到讓人一目了然。

環(huán)節(jié)三：學(xué)生操作，反饋交流。當(dāng)學(xué)生有了自己的方法與答案之后，我們展開交流，發(fā)現(xiàn)數(shù)方格的效果凸顯出來(lái)了。

學(xué)生除了先得到滿格20個(gè)以后，還可發(fā)現(xiàn)：20個(gè)半、21個(gè)半……得到24以外，大部分學(xué)生用了轉(zhuǎn)化的方法，如圖1用了左右不滿格去拼成一個(gè)滿格。圖2和圖3學(xué)生用了整體剪拼、轉(zhuǎn)化而成，得到面積為24 cm2。圖2的學(xué)生從中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后是長(zhǎng)方形，用了長(zhǎng)乘寬即底乘高的方法計(jì)算得到。

以上的教學(xué)中我們得到：讓學(xué)生數(shù)方格，不僅僅是讓其數(shù)出結(jié)果，更重要的是讓學(xué)生在數(shù)的過(guò)程中，體驗(yàn)和感悟到平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，自己發(fā)現(xiàn)。當(dāng)有了圖2中學(xué)生的引領(lǐng)，大部分學(xué)生的頭腦開竅了，知道“只要算出拼成的長(zhǎng)方形面積就可以知道平行四邊形的面積了”。老師借勢(shì)讓學(xué)生再思考：是不是任意一個(gè)平行四邊形都可以這樣剪下來(lái)拼過(guò)去轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形呢？是不是都可以通過(guò)所拼成的長(zhǎng)方形面積的計(jì)算得到平行四邊形的面積呢？

可見(jiàn)，通過(guò)數(shù)方格學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了平行四邊形似乎可以通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，而且可以通過(guò)所拼成的長(zhǎng)方形面積的計(jì)算得到平行四邊形的面積。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中只要通過(guò)操作驗(yàn)證任意一個(gè)平行四邊形只要沿高剪就能拼成長(zhǎng)方形或正方形，并且尋找所拼成長(zhǎng)方形與平行四邊形之間的相等關(guān)系，就可得出：平行四邊形面積=底×高。

以上教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想緣于直觀的數(shù)方格，他們想把方格補(bǔ)完整的同時(shí)實(shí)施了這種樸素的轉(zhuǎn)化方法。因此，在平行四邊形的面積公式推導(dǎo)教學(xué)中，我們教師的教學(xué)落腳點(diǎn)應(yīng)該是讓學(xué)生在數(shù)方格中經(jīng)歷方格割補(bǔ)湊整到圖形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的遞進(jìn)，以此實(shí)現(xiàn)書本知識(shí)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)無(wú)縫對(duì)接。

三、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)教學(xué)，數(shù)方格讓學(xué)生拓展思維，建立空間聯(lián)系，感悟殊途同歸的同化思想

在學(xué)習(xí)完平行四邊形面積公式推導(dǎo)后，教材在三角形和平行四邊形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有編寫用方格，而是讓學(xué)生通過(guò)用兩個(gè)完全一樣的三角形或梯形來(lái)拼成平行四邊形來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果從學(xué)生的角度想一想，學(xué)生是怎樣知道兩個(gè)完全一樣的三角形或梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形的呢？學(xué)生基本上很難想到。

作者認(rèn)為，要借助于數(shù)方格，讓學(xué)生充分利用方格的直觀感知來(lái)悟出其中的奧秘。三角形面積公式的推導(dǎo)可遷移平行四邊形的剪拼法，但同時(shí)又有屬于它自己的轉(zhuǎn)化方法，即加拼法，而加拼法需要更多的空間想象能力。因此，三角形面積公式推導(dǎo)教學(xué)要在這一點(diǎn)上有所凸現(xiàn)。如，在進(jìn)行三角形面積的教學(xué)時(shí)，教師先提供給學(xué)生一個(gè)有方格（每個(gè)方格邊長(zhǎng)1 cm）支撐的平行四邊形（圖4），算一算平行四邊形的面積，緊接著讓學(xué)生再思考“從圖中，你還能知道哪個(gè)圖形的面積嗎？”有的學(xué)生稍加思索，頓時(shí)想到了三角形的面積是12 cm2。方法就是通過(guò)用對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)完全一樣的三角形（圖5），感悟到這兩個(gè)三角形的面積相等且等于等底、等高的平行四邊形面積的一半。同時(shí)也朦朧地悟到兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。在此基礎(chǔ)上，老師再次呈現(xiàn)帶有方格的三角形（圖6），讓學(xué)生繼續(xù)探究，培養(yǎng)了學(xué)生個(gè)性化的且多樣化的轉(zhuǎn)化思路。

有了這樣的經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)诮虒W(xué)梯形的面積公式推導(dǎo)時(shí)，可以更大膽地去運(yùn)用方格。讓學(xué)生的聰明與才智得以充分的發(fā)揮，形成多角度地探索與發(fā)現(xiàn)梯形的面積計(jì)算方法，讓學(xué)生的智慧得以施展（如圖10～13）。

數(shù)方格讓學(xué)生能夠想得清楚，并且由此衍生出多種轉(zhuǎn)化方法。使圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，“兩個(gè)完全一樣的三角形或梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形”這時(shí)加拼法的出現(xiàn)是那么的自然，又符合學(xué)生思維特征，面積在方格里學(xué)生更容易產(chǎn)生轉(zhuǎn)化的想法，蘊(yùn)含了多種轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生真正地去體驗(yàn)與探索知識(shí)的真諦，知其然而知其所以然。數(shù)方格的作用在這時(shí)體現(xiàn)得淋漓盡致。

四、圓面積公式推導(dǎo)教學(xué)，數(shù)方格引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，突破方圓，領(lǐng)悟化曲為直的解決問(wèn)題原理

圓作為曲線圖形，好像與數(shù)方格關(guān)系有點(diǎn)遠(yuǎn)，有點(diǎn)牽強(qiáng)。其實(shí)不然，我們完全可以用同樣的思維方式，將其置于方格中，通過(guò)數(shù)圓的四分之一所占的方格數(shù)推算出圓的面積，如（圖14）。并且可以對(duì)圓面積與小正方形（半徑的平方）的倍數(shù)有一個(gè)猜測(cè)，從而產(chǎn)生圓面積=半徑的平方×3倍多一些的猜想，與實(shí)際操作推導(dǎo)公式相呼應(yīng)。

然后引導(dǎo)學(xué)生：能不能將圓形轉(zhuǎn)化成我們會(huì)算面積的圖形？為學(xué)生提供8個(gè)八分之一圓，如圖15擺放，組織學(xué)生操作，以此類推，得出下面的過(guò)程。通過(guò)觀察所拼成的長(zhǎng)方形（平行四邊形）的關(guān)系，驗(yàn)證數(shù)方格得出的圓面積=半徑的平方×3倍多一些，并明確“3倍多一些”具體的值為“圓周率”。

總之，數(shù)方格在平面圖形面積公式推導(dǎo)教學(xué)中既可以作為一種基本的計(jì)量面積方法，又可以在數(shù)方格中體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的策略，很自然地幫助學(xué)生建立轉(zhuǎn)化方法和公式的猜想，在學(xué)生操作驗(yàn)證后還可以作為典型例子，進(jìn)行關(guān)系的梳理和公式推導(dǎo)的回顧和總結(jié)。但數(shù)方格也不是沒(méi)有缺陷的，很多時(shí)候必須要特定的形狀，特定的擺法，才能適合學(xué)生操作。但這并不影響數(shù)方格對(duì)平面圖形面積公式推導(dǎo)教學(xué)的作用。教學(xué)中教師可以用特殊例子來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用一般圖形來(lái)操作驗(yàn)證，最后回到典型例子梳理推導(dǎo)過(guò)程和圖形之間的關(guān)系。

編輯 段麗君