一道“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的中考試題命制歷程和反思

☉浙江省臺(tái)州市白云中學(xué)　張安軍

一道“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的中考試題命制歷程和反思

☉浙江省臺(tái)州市白云中學(xué)張安軍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容要求“初中階段學(xué)生通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷、體驗(yàn)了數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析等完整的統(tǒng)計(jì)過(guò)程，感悟統(tǒng)計(jì)思想，學(xué)會(huì)選擇合適的方法收集、整理、分析數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)解決生活情境中與統(tǒng)計(jì)有關(guān)的問(wèn)題，建立了數(shù)據(jù)分析觀念，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).”［1］這是初中階段學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在歷屆中考中都是必考內(nèi)容之一.近年來(lái)，有關(guān)抽樣與數(shù)據(jù)分析的中考解答題的試題雖題型多樣，但題型趨于類同，即兩張圖表（根據(jù)已知完整的統(tǒng)計(jì)表（圖）補(bǔ)全不完整的統(tǒng)計(jì)圖（表）），一道計(jì)算（用樣本估計(jì)總體比例計(jì)算），把抽樣與數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計(jì)思想變成簡(jiǎn)單讀圖、填空、計(jì)算，沒(méi)有凸顯新課標(biāo)所倡導(dǎo)的統(tǒng)計(jì)思想的核心觀念.中考試題對(duì)當(dāng)?shù)刂袑W(xué)教學(xué)、課程改革、學(xué)生發(fā)展等都會(huì)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.筆者又一次參加2016年浙江省臺(tái)州市數(shù)學(xué)中考試題的命制工作，深刻體會(huì)到中考試題對(duì)當(dāng)?shù)卣n堂教學(xué)起著重要作用.在這次命制過(guò)程中，一道抽樣與數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計(jì)試題也經(jīng)歷了曲折的歷程，從原有題型的否定、揚(yáng)棄走向超越.下面談?wù)勗擃}的命制過(guò)程及自己的感受和反思.

一、命題意圖

本試卷共有24道題，本題為第22題，根據(jù)命題計(jì)劃和雙向細(xì)目表，本題應(yīng)是一道統(tǒng)計(jì)的綜合題，難度系數(shù)為0.7至0.75，是本試卷的容易題，雖簡(jiǎn)單容易，但要體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的核心思想，即數(shù)據(jù)的分析觀念.數(shù)據(jù)分析能力應(yīng)該包含三個(gè)方面的內(nèi)容.首先體會(huì)數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，在以信息和技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代社會(huì)中，生活中充滿了大量的數(shù)據(jù)，需要人們面對(duì)它們作出選擇.因此，應(yīng)該知道數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，提高運(yùn)用其解決問(wèn)題的意識(shí).其次根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法，應(yīng)意識(shí)到統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法只有好與壞之分而沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)之分，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題選擇合適的方法，比如選擇抽樣的方法，選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表來(lái)表示數(shù)據(jù)、選擇合適的數(shù)據(jù)代表表示數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.第三，通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，實(shí)際上用來(lái)推斷總體的樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，而有足夠多的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)感受到數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，但是數(shù)據(jù)較多時(shí)就具有穩(wěn)定性，這就是統(tǒng)計(jì)所特有的思維.

二、命制過(guò)程

命題組決定以現(xiàn)實(shí)生活為背景，以學(xué)生熟悉的事例為載體命制試題，又能很好體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分析觀念.于是我們決定在教材中尋找題材，修改一下背景就得到以下的初稿，即一稿.

一稿：為了解某校500名學(xué)生的視力情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行檢查，并將檢查結(jié)果整理后繪制了如下頻數(shù)分布表（表1）和頻數(shù)分布直方圖（圖1）.

圖1　

表1　

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）為了使樣本盡可能具有代表性，下列抽取的樣本最合適的是_____.（填寫(xiě)序號(hào)）

①某班全體學(xué)生的視力情況；

②各班部分男生的視力情況；

③各班學(xué)號(hào)尾數(shù)為6的的視力情況.

（2）根據(jù)圖表中所給信息，求頻數(shù)分布表中m的值，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

（3）視力在哪個(gè)范圍的學(xué)生人數(shù)最多？

（4）若視力在4.8以內(nèi)（不含4.8）為真性近視，請(qǐng)估計(jì)該校真性近視的學(xué)生人數(shù)所占的百分比，并對(duì)該校學(xué)生的視力情況作出評(píng)價(jià).

分析與思考：雖以學(xué)生熟悉的生活背景為起點(diǎn)，經(jīng)歷了隨機(jī)抽樣、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)及通過(guò)數(shù)據(jù)的分析作出判斷，讓學(xué)生再一次感受統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程.但是仔細(xì)思考，發(fā)現(xiàn)4個(gè)設(shè)問(wèn)沒(méi)有真正涉及統(tǒng)計(jì)的核心觀念，例如第（1）問(wèn)在題干中已經(jīng)隨機(jī)抽取50名，而第（1）問(wèn)樣本的代表性，是為了考知識(shí)點(diǎn)而編題；第（2）問(wèn)，學(xué)生即使沒(méi)有學(xué)習(xí)初中這部分內(nèi)容，根據(jù)表中的信息也會(huì)求出m的值及補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，未能讓學(xué)生從直方圖揭示蘊(yùn)含的信息；第（3）問(wèn)通過(guò)直方圖或者表中的信息就能知道哪一組最多，此題考查也是停留在了解，未能考查數(shù)據(jù)的代表所蘊(yùn)含的意義；第（4）問(wèn)是用樣本估計(jì)總體的思想，但是在平常學(xué)生做過(guò)太多相類似的練習(xí)，即使學(xué)生做對(duì)，也未必知道此題蘊(yùn)含的思想，這樣一來(lái)此題也就成了一道計(jì)算題.

命題組還發(fā)現(xiàn)，此題缺乏整體性、和諧性，在實(shí)際生活中，沒(méi)有體現(xiàn)出應(yīng)用統(tǒng)計(jì)調(diào)查、隨機(jī)抽樣、根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單推斷的必要性和可能性，套一個(gè)背景，改頭換面，這也是近年來(lái)比較流行的一類統(tǒng)計(jì)中考試題，但在考查的本質(zhì)上沒(méi)有改變.為了編題而命題，有拼湊之嫌，沒(méi)有凸顯對(duì)統(tǒng)計(jì)核心的考查.

據(jù)上述分析，與課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的數(shù)據(jù)分析觀念相去甚遠(yuǎn).命題組決定對(duì)此題進(jìn)行全面調(diào)整.

二稿：為了解某校500名學(xué)生的視力情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行檢查，并將檢查結(jié)果整理后繪制成如圖2所示的頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)包括左端點(diǎn)不包括右端點(diǎn)，精確到0.1）.

表2：保健活動(dòng)后樣本學(xué)生視力頻數(shù)分布表

圖2：保健活動(dòng)前樣本學(xué)生視力頻數(shù)分布圖

（1）求本次調(diào)查所抽取的學(xué)生人數(shù).

（2）視力達(dá)到4.8及以上為達(dá)標(biāo)，現(xiàn)估計(jì)該校的學(xué)生視力達(dá)標(biāo)人數(shù)大約為188，你認(rèn)為合理嗎？為什么？

（3）為了保護(hù)視力，學(xué)校開(kāi)展全校性的視力保健活動(dòng).活動(dòng)結(jié)束后，再次從已抽查過(guò)的40名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名，視力狀況結(jié)果如表2所示.請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，從兩個(gè)不同的角度分析和評(píng)價(jià)該校開(kāi)展視力保健活動(dòng)的效果.

分析與思考：二稿繼續(xù)以視力為背景，但不同的是本題的立意發(fā)生了變化，一稿的題意首先對(duì)學(xué)校的學(xué)生視力狀況進(jìn)行調(diào)查，而后進(jìn)行評(píng)價(jià)，沒(méi)有很好凸顯統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值；二稿在一稿的基礎(chǔ)上，首先對(duì)全校學(xué)生的視力狀況進(jìn)行隨機(jī)抽查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在視力方面存在問(wèn)題，從而提出問(wèn)題，開(kāi)展全校性的視力保健活動(dòng)，為了檢測(cè)視力保健活動(dòng)的效果，又進(jìn)行跟蹤調(diào)查，從原有隨機(jī)抽樣的40名學(xué)生中，再隨機(jī)抽取20名，再用樣本估計(jì)總體思想對(duì)本次視力保健活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，讓學(xué)生經(jīng)歷在實(shí)際問(wèn)題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問(wèn)題、獲取信息的過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，有意識(shí)地讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程.

與一稿相比，二稿更凸顯對(duì)統(tǒng)計(jì)的核心知識(shí)的考查.例如，第（1）問(wèn)從直方圖中直接獲取信息.第（2）問(wèn)近年的中考試題都是估計(jì)該校視力達(dá)標(biāo)的人數(shù)大約為多少，現(xiàn)在從反面思考，即通過(guò)樣本估計(jì)總體得到達(dá)標(biāo)的人數(shù)（15÷40）×500≈188，這種估計(jì)合理嗎？用到統(tǒng)計(jì)中的什么思想？第（3）問(wèn)是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，有意識(shí)地突出統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法只有好與壞之分而沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)之分，學(xué)生應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法進(jìn)行解答.對(duì)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量意義的考查，要求學(xué)生深刻理解數(shù)據(jù)各代表什么意義，并在此能靈活運(yùn)用，突出調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著的信息等統(tǒng)計(jì)核心觀念和思想方法的考查.

不足的是，進(jìn)行兩次抽樣，第二次是在第一次人員的基礎(chǔ)上進(jìn)行跟蹤調(diào)查，這和測(cè)量池塘里魚(yú)的條數(shù)有類似之處，事實(shí)上，第二次可以在500名學(xué)生中隨機(jī)抽取，表2中數(shù)據(jù)的分布與現(xiàn)實(shí)生活相比缺乏科學(xué)性，題目的題干上沒(méi)有交代清楚本次統(tǒng)計(jì)活動(dòng)基于什么目的開(kāi)展；第四，第（2）問(wèn)與整個(gè)題意不和諧，不自然，是為了考試而人為編題.

三稿：為了保護(hù)視力，學(xué)校準(zhǔn)備開(kāi)展全校性的視力保健活動(dòng)，并通過(guò)分析活動(dòng)前后學(xué)生的視力情況，評(píng)價(jià)活動(dòng)的效果.活動(dòng)前，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，檢查他們的視力，結(jié)果如圖3（數(shù)據(jù)包括左端點(diǎn)不包括右端點(diǎn)，精確到0.1）所示.活動(dòng)后，再次檢查這部分學(xué)生的視力，結(jié)果如表3所示.

圖3?。罕＝』顒?dòng)前樣本學(xué)生視力頻數(shù)分布直方圖

表3：保健活動(dòng)后樣本學(xué)生視力頻數(shù)分布表

（1）求所調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；

（2）視力達(dá)到4.8及以上為達(dá)標(biāo)，估計(jì)開(kāi)展視力保健活動(dòng)前該校學(xué)生中視力達(dá)標(biāo)率；

（3）請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，從兩個(gè)不同的角度分析活動(dòng)前后相關(guān)數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)視力保健活動(dòng)的效果.

三、感悟

1.注重課標(biāo)研讀，準(zhǔn)確定位

每年中考統(tǒng)計(jì)試題難度系數(shù)低，學(xué)生得分高，屬于容易題.在一些教師眼里，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)試題用不著教，學(xué)生都會(huì)做；又由于每年的中考統(tǒng)計(jì)試題在命制時(shí)，命題者未能很好區(qū)分第二學(xué)段和第三學(xué)段的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，導(dǎo)致一些教師在教學(xué)認(rèn)識(shí)上存在誤區(qū).因此命題組在命制時(shí)，準(zhǔn)確定位各學(xué)段的要求，《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》這部分內(nèi)容比較如下［2］：

表4　

數(shù)據(jù)分析可以分為描述性統(tǒng)計(jì)分析和推斷性統(tǒng)計(jì)分析.描述性統(tǒng)計(jì)分析是通過(guò)集中趨勢(shì)、離散程度、圖形表示等來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)，而推斷性統(tǒng)計(jì)分析是利用樣本的數(shù)據(jù)去推測(cè)總體的情況.由表4知：第一、二學(xué)段學(xué)生主要學(xué)習(xí)的是描述性統(tǒng)計(jì)分析，第三學(xué)段開(kāi)始接觸推斷性統(tǒng)計(jì)分析.通過(guò)對(duì)新課標(biāo)的解讀、準(zhǔn)確定位，明確考查意圖.例如，第（1）問(wèn)注重直方圖數(shù)據(jù)信息的獲得，第（2）問(wèn)注重?cái)?shù)據(jù)的分析，第（3）注重?cái)?shù)據(jù)的預(yù)測(cè)與推斷，重在推斷性統(tǒng)計(jì)分析和考查.

2.重視統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值，突出核心觀念的考查

試題以學(xué)生視力問(wèn)題為背景，設(shè)置前測(cè)與后測(cè)，第一次視力檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生視力存在問(wèn)題，第二次檢測(cè)是對(duì)視力保健活動(dòng)的效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)的結(jié)論開(kāi)放，讓學(xué)生意識(shí)到統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法只有好與壞之分而沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)之分，學(xué)生能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的方法.例如對(duì)于本試題，可用平均數(shù)、眾數(shù)等對(duì)這次活動(dòng)作出簡(jiǎn)單的判斷.對(duì)活動(dòng)的評(píng)價(jià)，實(shí)際上需要學(xué)生對(duì)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量有深刻的理解和辨別，同時(shí)要對(duì)各統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系有非常清楚的認(rèn)識(shí)，注重對(duì)統(tǒng)計(jì)意義的深層考查.試題同時(shí)重視統(tǒng)計(jì)過(guò)程的完整性，通過(guò)具體情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生對(duì)抽樣方式、樣本的代表性等進(jìn)行考查，滲透樣本估計(jì)總體的思想，突出數(shù)據(jù)分析的考查.

1.陳莉紅，等.2014年中考數(shù)學(xué)試題“抽樣與數(shù)據(jù)分析”分類解析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（1-2）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)教育出版社，2012.Z