初等解法解決“涉高問題”——從兩道“涉高問題”的解答談起

☉江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)磨頭初級中學(xué)　張?zhí)m梅

初等解法解決“涉高問題”——從兩道“涉高問題”的解答談起

☉江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)磨頭初級中學(xué)張?zhí)m梅

初等解法指利用初中階段所掌握的知識解決相關(guān)問題的方法；“涉高問題”指需要利用高中知識解決或利用高中知識解決起來明顯簡單易懂的題目.筆者在近期教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)在部分中考試題中，特別是在一些練習(xí)冊或習(xí)題集中出現(xiàn)了一些涉及高中知識的題目或利用高中知識解決起來思路比較容易貫通的題目；更有少數(shù)教師為了提高學(xué)生的解題效率，直接補充相關(guān)的高中知識，這讓筆者陷入了深思，下面結(jié)合具體的題目給出一些思考，不當(dāng)之處，敬請指正.

一、教學(xué)案例

案例1如圖1，直線y= x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于和B（4，m）兩點，P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C.

圖1　

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△PAC為直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；

（3）在直線AB下方的拋物線上，是否存在這樣的點Q，使得點Q到線段AB的距離最遠(yuǎn)？若存在，請求出這個最遠(yuǎn)距離；若不存在，請說明理由.

解析：（1）y=2x2-8x+6.（過程略）（2）①當(dāng)點P為直角頂點時，∠APC=45°≠90°，舍去.②當(dāng)點C為直角頂點時，顯然點C與點A關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸x=2對稱，易得點C的坐標(biāo)為所以點P的坐標(biāo)為

③當(dāng)點A為直角頂點時，此時過點A作直線AB的垂線交x軸于點D，過點A作AE垂直于x軸（如圖2），易得△AEF～△DEA，所以AE2=EF·ED.

圖2　

圖3　

反思：上述問題由于直角頂點不確定，因此需要分類討論.在分類討論的③中涉及了兩直線垂直的情況，作為教師容易想到的就是利用高中知識（兩直線垂直且斜率存在時，兩直線斜率的乘積為-1），甚至在教學(xué)過程中也給學(xué)生灌輸這種方法，顯然這種做法是不合適的.上述問題在解決過程中，用初中知識也是非常容易解決的，只需要構(gòu)造如圖3所示的基本圖形即可，需要注意的是點D一般為與坐標(biāo)軸的交點，然后利用初中階段的核心知識（相似三角形）便可以順利解決這類問題.

（3）過點P作PQ垂直于x軸，交拋物線于點Q，過點Q作AB的垂線，垂足為M（如圖4）.

設(shè)點Q的坐標(biāo)為（n，2n2-8n+6），P點的坐標(biāo)為（n，n+則PQ=（n+2）-（2n2-8n+6）=-2n2+9n-4=所以當(dāng)時，PQ取到最大值

圖4　

反思：上述問題的求解，對于教師而言最容易想到的是設(shè)直線AB的平行直線系，然后與二次函數(shù)聯(lián)立，當(dāng)判別式為零時（相切），直線與二次函數(shù)只有一個交點，此時這個交點即為距離線段AB最遠(yuǎn)的點.在教學(xué)過程中，有的老師也給學(xué)生補充了上述解法，殊不知在初中的教學(xué)中并不涉及上述知識，顯然這種做法是超綱的.事實上，只要將上述問題進行靈活轉(zhuǎn)化即可，即將求線段MQ的最大值轉(zhuǎn)化為求線段PQ的最大值，顯然這種做法對學(xué)生而言是簡潔易懂的，在教學(xué)過程中值得提倡，也是對盲目采用高中做法的有利回?fù)?

下面在給出如案例1中第（3）問的類似問題：

圖5　

解析：設(shè)線段AB所在直線的解析式為y=ax+b，將點A、B的坐標(biāo)代入得解得所以AB所在直線的解析式為

反思：上述題目的求解過程最容易想到的方法如案例1（3）的反思中所述的方法，殊不知，此時如果應(yīng)用這種解法，到最后一定要驗證切點的橫坐標(biāo)在1≤m≤4這個范圍內(nèi)，前面的計算過程和算理對學(xué)生而言已經(jīng)是很難理解了，如果再加上這一步，這明顯超出了初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，更是超出了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān).然而，上述求解過程中卻應(yīng)用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義進行了靈活的轉(zhuǎn)化，學(xué)生理解起來，比較容易，最重要的是利用初中階段的核心知識便可以解決，值得一線教師思考.

二、思考

上述兩個教學(xué)案例中的“涉高問題”都利用初中階段的核心知識得以順利解決，而且整個解題過程看上去比較完美，給人以美的享受.

有的專家提出，在初中階段的教學(xué)中適當(dāng)?shù)匮a充高中階段的知識是可行的，筆者認(rèn)為這應(yīng)該是對學(xué)有余力的學(xué)生而言的，不應(yīng)該大面積地進行講解高中階段的知識.對學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)補充高中階段的知識也應(yīng)該注意“度”的把握，不應(yīng)該將高中階段的知識簡單下放，只告訴學(xué)生“結(jié)果”，而沒有“過程性”的講解；只讓學(xué)生簡單的模仿，而不能融會貫通，理解其本質(zhì)，就上述兩個案例中所涉及的高中知識而言，真正使學(xué)生理解，即使是優(yōu)生，也是非常困難的.因此，在初中階段的教學(xué)過程中不應(yīng)該簡單地將高中的知識下放，而應(yīng)該利用初中階段的知識，特別是核心知識進行解決.

上述案例只是其中的一部分，歡迎更多的老師參與進來，引起更多一線教師的積極思考和積極轉(zhuǎn)變.