一道試題的解答與探究之旅

☉山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　汲廣川

一道試題的解答與探究之旅

☉山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)汲廣川

一、緣起

題目如圖1，在正方形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接CM，BN，交點(diǎn)為P，連接AP.求證：AP=AB.

圖1　

二、問(wèn)題的解法與探究

分析：此題條件簡(jiǎn)單明了，結(jié)論單一，是學(xué)生常見(jiàn)的題型；曾作為八年級(jí)期末考試的倒數(shù)第二大題，很多學(xué)生在解答此題時(shí)“折腰”，找不到解題思路.

在九年級(jí)復(fù)習(xí)時(shí)，筆者又展示了此題，讓學(xué)生進(jìn)行探究、交流.

師：觀察圖形，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生1：通過(guò)條件發(fā)現(xiàn)基本圖形有正方形，△CDM≌△BCN；結(jié)論是證明線(xiàn)段相等，結(jié)合圖形只要證明∠ABP=∠APB，或者證明線(xiàn)段所在的三角形全等即可.

師：這位同學(xué)由結(jié)論，想到等腰三角形的判定，想到證明三角形全等，想法非常好，那么由條件“中點(diǎn)”，你們又想到什么？

學(xué)生討論交流展示：

（1）想到倍長(zhǎng)中線(xiàn)，構(gòu)造三角形全等或構(gòu)造平行四邊形；

（2）想到等腰三角形的三線(xiàn)合一；

（3）想到三角形的中位線(xiàn)定理；

（4）想到直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；

（5）想到中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

師：通過(guò)條件，你們還有什么不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生2：CM=BN，CM⊥BN.

學(xué)生3：三角形相似.

三、學(xué)生展示思路

劉健壯同學(xué)展示了兩種思路：

思路1：（構(gòu)造三角形全等和直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半）如圖2，延長(zhǎng)CM，BA交于點(diǎn)E，易證△CDM≌△EAM，所以CD=AE.因?yàn)镃D=AB，所以AB= AE.因?yàn)镋P⊥BN，所以

圖2　

圖3　

思路2：如圖3，取BC的中點(diǎn)E，連接PE，AE.

因?yàn)锳D=BC，M是AD中點(diǎn)，所以AM∥CE，AM=CE，所以四邊形AMCE是平行四邊形.所以AE∥CM.因?yàn)锽N⊥CM，所以AE⊥BP.因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以BE.所以O(shè)P=OB，所以AP=AB.

李汶龍同學(xué)展示：

思路3：（構(gòu)造全等三角形和直角三角形中邊的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)）如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP，垂足為E.因?yàn)椤螦BE+∠CBP=90°，∠CBP+∠BCP=90°，所以∠ABE=∠BCP，易證△ABE≌△BCP（AAS），所以BE=CP.在Rt△BCN中，tan所以所以.所以BE=PE.所以AP=AB.

圖4　

圖5　

劉健壯同學(xué)又給出一種方法：

我是這樣想的，如圖5，連接BM，易證△MBC是等腰三角形.如果能證明△MBC～△ABP，就能證明AP=AB.

思路4：從圖形中易證△BAM≌△BCN（SAS）.所以∠BAM=∠BCN.所以∠ABP=∠MBC.所以△BAM～△BPC.所以即，所以△BAP～△BMC，所以

因?yàn)镸C=MB，所以AP=AB（構(gòu)造三角形相似和等腰三角形）.同學(xué)們不自覺(jué)的鼓掌！

又有一位同學(xué)給出了想法：由直角三角形中的數(shù)量關(guān)系：BC=2CN，若能用正方形的邊長(zhǎng)表示出AP的長(zhǎng)即可.

師生共同分析：構(gòu)造直角三角形.

思路5：如圖6，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，PF⊥AB，垂足分別為E、F，因?yàn)镃P⊥BP，所以∠CPE=∠CBP.因?yàn)樵O(shè)CE=a，則PE=2a，BE=4a.所以BC=5a.在Rt△APF中，AF=3a，PF=4a，所以AP=5a.所以AP=AB.

圖6　

圖7　

最后，教師給出另外兩種解法：

思路6：因?yàn)椤螹AB=∠MPB=90°，以BM為直徑作圓（見(jiàn)圖7），則點(diǎn)A、P在圓上.所以∠AMB=∠APB，∠DMC=∠ABP.因?yàn)椤鰿MD≌△BMA（SAS），所以∠AMB=∠DMC.所以∠APB=∠ABP.所以AP=AB.

思路7：解析法，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)CM、BN的一次函數(shù)解析式，從而求出交點(diǎn)坐標(biāo)P，進(jìn)而求出線(xiàn)段AP的長(zhǎng)，從而確定AP=AB.

四、解題后的反思

一堂好課的標(biāo)準(zhǔn)是生成的課堂，學(xué)生的思維拓展到哪里？是由學(xué)生自己決定的，教師不能按照主觀的意愿去杜撰學(xué)生的思維，過(guò)度拓展，這會(huì)造成學(xué)生理解問(wèn)題的依賴(lài)性，則無(wú)法完成獨(dú)立思考.如何打造生成性的課堂？

1.研究是上課的前提

課堂上學(xué)生的只言片語(yǔ)反映的是學(xué)生思維的火花，如果沒(méi)有老師的欣賞，思維的火花將會(huì)熄滅，老師只有對(duì)題目有很深層次的研究才能發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，才能駕馭好課堂.研究則可避免淺層次的講解，深入淺出則是一種理想境界，融會(huì)貫通是教師研究的必然結(jié)果.

一堂課，一道題的研究真正透徹了，學(xué)生的靈性才能彰顯出來(lái).

2.交流是思維延伸的有效途徑

有很多題目老師講的太早了，一場(chǎng)及時(shí)雨沒(méi)下到點(diǎn)上，學(xué)生心中的困惑還沒(méi)產(chǎn)生，我們就綁架了學(xué)生的思維.聆聽(tīng)是一種美德，更是一種功德，我們要做這種功德.其實(shí)“不憤不啟”離我們很遠(yuǎn).我們的課堂有時(shí)是在剝奪學(xué)生的思考.教師在講解之前要讓學(xué)生去交流，其交流促進(jìn)學(xué)生的思考，找到困惑，教師通過(guò)聆聽(tīng)才能“有的放矢”地點(diǎn)撥或講解.學(xué)生在課堂上的各種表達(dá)，使我們受益匪淺.原來(lái)我們只是熟悉自己的解法，多少年來(lái)我們一直沿用的解法如果和學(xué)生的想法比一比，才知道有多大差距.當(dāng)我們佩服自己學(xué)生的想法時(shí)，我們教育的結(jié)果就成形了.課堂是大智慧的產(chǎn)生地，我們的收獲不比學(xué)生少！

3.交流是需要培養(yǎng)的，而不是讀解題步驟，更不是對(duì)答案

（1）表達(dá)能力的培養(yǎng).學(xué)生明白說(shuō)什么，怎么說(shuō)，怎樣展示自己的思考過(guò)程，都需要培養(yǎng).沒(méi)有深層次的思考就沒(méi)有深層次的交流.生動(dòng)的課堂不一定是“思維超市”.

（2）聽(tīng)的培養(yǎng).表達(dá)是思考的結(jié)晶，思考則是聽(tīng)的延續(xù).聽(tīng)不限于對(duì)方說(shuō)的哪句話(huà)，是聽(tīng)別人的觀點(diǎn)，聽(tīng)的目的是讓自己的思維得以延續(xù)，或者把自己從困惑中“渡”出來(lái).聆聽(tīng)是一種美德，更是一種功德.

（3）拓展是教師終極想法.學(xué)生所想的，我們所了解的學(xué)情，都是為了拓展做準(zhǔn)備的.把一道題的來(lái)龍去脈弄清楚，所涉及的知識(shí)點(diǎn)想清楚.知識(shí)的靈動(dòng)性是體現(xiàn)在解決問(wèn)題上，知識(shí)的綜合是在解決問(wèn)題的過(guò)程中形成的.知識(shí)就是力量，是因?yàn)槔弥R(shí)解決了問(wèn)題才體現(xiàn)出力量的.

一堂課上完，我們沒(méi)有離開(kāi)學(xué)生的想，學(xué)生的思考受到老師的無(wú)限引導(dǎo)，思維得到無(wú)限拓展……我們有魚(yú)和水的感覺(jué)，這一切都是和諧的感應(yīng).生成的是美好的.