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    容許性余代數(shù)的必要條件

    2016-11-16 02:40:02范中平浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院浙江杭州310027
    關(guān)鍵詞:子代數(shù)樹(shù)結(jié)構(gòu)維數(shù)

    范中平(浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,浙江杭州310027)

    容許性余代數(shù)的必要條件

    范中平
    (浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,浙江杭州310027)

    通過(guò)從余代數(shù)的角度構(gòu)造Hopf代數(shù)的塊系統(tǒng),給出了非余半單余代數(shù)和純非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件.其應(yīng)用簡(jiǎn)化了45維和105維Hopf代數(shù)的分類(lèi),為有限維Hop f代數(shù)的分類(lèi)提供了新的方法.

    余代數(shù);容許性;Hop f代數(shù);分類(lèi);塊系統(tǒng)

    1 引言

    本文屬于有限維Hop f代數(shù)分類(lèi)的研究范疇.基域k是一個(gè)特征為零的代數(shù)閉域.在下面的討論中,如不另作說(shuō)明,空間都是指k上的線(xiàn)性空間,映射也都是k上的線(xiàn)性映射.

    有限維Hopf代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題由于其重要的數(shù)學(xué)意義和物理意義,一直是Hop f代數(shù)研究的中心問(wèn)題之一.而作為Hop f代數(shù)的基本結(jié)構(gòu),余代數(shù)在此類(lèi)問(wèn)題的研究中有重要作用.考慮余根的性質(zhì),可以把Hop f代數(shù)分為三種類(lèi)型:余半單的(cosem isim p le),點(diǎn)態(tài)的(pointed),以及非余半單非點(diǎn)態(tài)的(non-cosem isim p le non-pointed).目前余半單pq2型和pqr型Hop f代數(shù)及點(diǎn)態(tài)pq2型Hop f代數(shù)的分類(lèi)已經(jīng)由Natale和Andruskiew itsch等完成[1-3].非余半單非點(diǎn)態(tài)2p2型Hop f代數(shù)的分類(lèi)由Hilgem ann和Ng完成[4].

    本文從余代數(shù)的角度研究Hop f代數(shù)的結(jié)構(gòu).稱(chēng)一個(gè)余代數(shù)C是容許的(adm issib le),如果C上存在一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),使得C成為一個(gè)Hopf代數(shù).Kaplansky最先提出了余代數(shù)的容許性問(wèn)題[5],他猜測(cè)一個(gè)余代數(shù)具有容許性等價(jià)于其任意有限維子空間都包含于一個(gè)具有容許性的有限維余子代數(shù).雖然Larson給出了反例證明這個(gè)猜測(cè)是錯(cuò)的,卻由此引起了Hopf代數(shù)研究者的興趣:究竟怎樣的余代數(shù)才具有Hop f代數(shù)結(jié)構(gòu)?顯然研究這個(gè)問(wèn)題對(duì)有限維Hop f代數(shù)的分類(lèi)有極其重要的作用.

    作者通過(guò)給出一系列余代數(shù)具有容許性的必要條件(定理3.1和定理3.2),部分回答了這一問(wèn)題.將余代數(shù)的余根分解給出的雙余模結(jié)構(gòu)和余根濾鏈給出的分層結(jié)構(gòu)結(jié)合起來(lái),構(gòu)造了余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)(定義2.1)和塊系統(tǒng)(定義2.3),并自然的推廣到Hopf代數(shù)上.通過(guò)研究非余半單Hop f代數(shù)的塊系統(tǒng)中各個(gè)“塊”之間的聯(lián)系,給出了純非余半單Hopf代數(shù)(定義3.1)的基本塊和維數(shù)下界(命題4.1和命題4.2).應(yīng)用上述結(jié)果到45維(推論4.1)和105維(推論4.2)Hopf代數(shù)上,簡(jiǎn)化了此維數(shù)的Hopf代數(shù)分類(lèi)情形,對(duì)非余半單非點(diǎn)態(tài)pq2型和pqr型Hopf代數(shù)的分類(lèi)工作做出了貢獻(xiàn).

    2 余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)和塊系統(tǒng)

    本節(jié)構(gòu)造余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)和塊系統(tǒng),為接下來(lái)的討論做準(zhǔn)備.

    對(duì)非余半單余代數(shù)(C,Δ,ε),由[6,Theorem5.4.2]給出的余根分解知,存在一個(gè)余理想I和一個(gè)C到其余根C0的投射π:C→C0,使得C=C0⊕I和kerπ=I.固定這個(gè)余理想I,并定義

    容易驗(yàn)證,(C,ρL,ρR)成為一個(gè)C0-雙余模.

    記C的余根濾鏈為{Cn}n≥0;對(duì)n≥0,令Pn=Cn∩I.

    令bC為C的單余子代數(shù)的指標(biāo)集.對(duì)τ∈bC,存在正整數(shù)dτ,使得dimDτ=dτ2.方便起見(jiàn),記類(lèi)群元g∈G(C)生成的單余子代數(shù)為Dg,且Dg在bC中的指標(biāo)就為g.對(duì)d≥1,設(shè)

    Dτ有唯一的單右余模同構(gòu)類(lèi)Vτ和唯一的單左余模同構(gòu)類(lèi)V?τ,且

    已知C0-雙余模范疇C0MC0是半單的.設(shè)M∈C0MC0,對(duì)τ,μ∈,記Mτ,μ為M的同構(gòu)于Vτ??Vμ的單C0-雙余子模的和,則有

    容易驗(yàn)證,對(duì)n≥1,有(Pn,ρL,ρR)∈C0MC0.則

    注意到Pn-1?Pn是一個(gè)C0-雙余子模.那么存在一個(gè)Pn的C0-雙余子模Qn,使得

    這里注意Qn的選取不是唯一的.

    有下式成立:

    顯然Wn為Qn的一組基.

    對(duì)n=0,記C的單余子代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)基全體為

    顯然W0為C0的一組基.

    由式(8)知,W是余代數(shù)C的一組基,并完整刻畫(huà)了C的樹(shù)結(jié)構(gòu).

    定義2.2對(duì)余代數(shù)C,稱(chēng)式(15)給出的W為C的一組由W0和I誘導(dǎo)的樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

    對(duì)w∈W,如果w∈W∩Pn,n≥1,有

    這里kw′,w1,w2∈k且只有(有限個(gè)非零.由式(16),定義

    將樹(shù)結(jié)構(gòu)中有內(nèi)在聯(lián)系的直和項(xiàng)合并起來(lái),得到以下結(jié)構(gòu).

    定義2.3對(duì)n≥0,稱(chēng)

    為余代數(shù)C的由I和Qn誘導(dǎo)的塊.

    顯然C=⊕n≥0,d1,d2≥1 Bd1,d2n,并稱(chēng)此直和為余代數(shù)C的由I和{Qn}n≥1誘導(dǎo)的塊系統(tǒng).

    命題2.1若存在n>1和d1,d2≥1,使得Bd1,d2n/=0,則存在一正整數(shù)集合{b1,···,bn-1}使得對(duì)所有的i=1,···,n-1,有Bd1,bii/=0和Bbi,d2n-i/=0.

    證對(duì)τ,μ∈bC,n≥1,每個(gè)非零Qτ,μn都對(duì)應(yīng)一個(gè)非零塊Bd1,d2n,這里d1=dτ,d2=dμ.容易驗(yàn)證,Pτ,μnPn-1等價(jià)于Qτ,μn/=0.由[7,Lemm a 3.2],命題得證.

    3 Hop f代數(shù)的塊系統(tǒng)

    本文將余代數(shù)的塊系統(tǒng)推廣到Hop f代數(shù)上,由此給出非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件.設(shè)(H,m,u,Δ,ε,S)是一個(gè)非余半單的Hopf代數(shù).不妨設(shè)H=C,并繼承上一節(jié)的符號(hào).

    討論H的塊之間的聯(lián)系,由此來(lái)刻畫(huà)H的結(jié)構(gòu).

    命題3.1對(duì)任意n≥0和d1,d2≥1,有dim被dim整除.

    命題3.2對(duì)任意n≥1,d≥1,有d im Bnd,1和dim Bn1,d都能被d|G(H)|整除.

    引理3.1對(duì)u∈WH∩I,

    (i)如果ρL(u)=1?u且對(duì)任意的v∈WH有u∈/R(v),那么u?是H?的一個(gè)左積分且存在g∈G(H)使得ρR(u)=u?g;

    (ii)如果ρR(u)=u?1且對(duì)任意的v∈WH有u∈/L(v),那么u?是H?的一個(gè)右積分且存

    在h∈G(H)使得ρL(u)=h?u.

    證證明(ii)與證明(i)類(lèi)似.所以只證明(i).對(duì)任意的w∈WH,考慮卷積w??u?.對(duì)任意的v∈WH,由u∈/R(v)成立知,(

    因此w??u?=w?(1)u?.由w的任意性,w?取遍W?H中的所有基元.對(duì)任意的f∈H?,有f?u?= f(1)u?,使得u?是一個(gè)H?的左積分.已知H的左積分空間是一維的.由式(10)知,存在類(lèi)群元g,使得ρR(u)=u?g.引理得證.

    對(duì)H的形如B1,1n的塊,記

    由以上幾個(gè)命題,得到非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件如下:

    定理3.1如果一個(gè)非余半單余代數(shù)具有容許性,那么此余代數(shù)的塊系統(tǒng)一定滿(mǎn)足命題2.1,命題3.1,命題3.2,命題3.3,命題3.4和命題3.5所述.

    定義3.1設(shè)C是一個(gè)非余半單余代數(shù).稱(chēng)C是純非余半單的,如果C沒(méi)有非退化的斜本原元.

    沿用上一節(jié)的記號(hào).設(shè)H是一個(gè)有限維非余半單Hop f代數(shù).稱(chēng)H是純非余半單Hop f代數(shù),如果H作為余代數(shù)是純非余半單的.容易驗(yàn)證,H是純非余半單Hop f代數(shù)等價(jià)于dim B1,11=0.

    一般地,非余半單Hop f代數(shù)的結(jié)構(gòu)分成點(diǎn)態(tài)部分和非點(diǎn)態(tài)部分來(lái)考慮.點(diǎn)態(tài)部分由Andruskiew itsch的提升方法可以較清楚的了解其結(jié)構(gòu).本文更關(guān)心的是非點(diǎn)態(tài)的部分.

    討論純非余半單Hopf代數(shù)有非常重要的意義.由[3,Proposition 1.8]知,H是純非余半單Hop f代數(shù)的等價(jià)條件是H的點(diǎn)態(tài)Hop f子代數(shù)都包含于G(H).這就是說(shuō)其點(diǎn)態(tài)部分的結(jié)構(gòu)是平凡的,由此可以更直接的研究其非點(diǎn)態(tài)的部分.

    注3.1在一些特定維數(shù)下,非余半單Hop f代數(shù)如果存在,則都是純非余半單Hopf代數(shù).由[9,Lemma 2.8]知,如果(|G(H)|,dim H/|G(H)|)=1成立,那么H是純非余半單Hop f代數(shù).更近一步,對(duì)任意的g∈G(H),如果ord(g)的平方不能整除dim H,則H是純非余半單Hopf代數(shù).舉例來(lái)說(shuō),維數(shù)中沒(méi)有平方因子的非余半單Hop f代數(shù)都是純非余半單Hopf代數(shù).

    命題3.7設(shè)H是一個(gè)純非余半單Hop f代數(shù).如果mH<mH,那么存在b1,b2>1和l>m H>1,使得Bb1,1l/=0和B 1,b2l/=0.

    證由于H沒(méi)有非退化的斜本原元,有B1,11=0且mH>1.

    總結(jié)純非余半單余代數(shù)具有容許性的必要條件如下:

    定理3.2如果一個(gè)純非余半單余代數(shù)有Hop f代數(shù)結(jié)構(gòu),那么此余代數(shù)的塊系統(tǒng)一定滿(mǎn)足定理3.1,命題3.6和命題3.7.

    4 容許性必要條件的應(yīng)用

    應(yīng)用容許性的必要條件,得到了純非余半單Hop f代數(shù)的維數(shù)下界,給出了45維和105維Hop f代數(shù)的簡(jiǎn)化分類(lèi)結(jié)果.

    命題4.1如果H是純非余半單Hop f代數(shù),設(shè)|G(H)|=r,那么有

    證由命題3.6知,存在d>1和k>1,使得H的塊系統(tǒng)中一定有以下6個(gè)非零塊:

    已知

    則dim H≥(2d+2)r+2lcm(d2,r).命題得證.

    為方便起見(jiàn),對(duì)d>1,r≥1,記η(r,d)=(2d+2)r+2lcm(d2,r).

    命題4.2設(shè)H是純非余半單Hop f代數(shù),|G(H)|=r.如果mH<mH,那么有

    證由命題3.6和命題3.7知,存在b1,b2>1和l>mH>1,k>1,使得H的塊系統(tǒng)中一定有以下10個(gè)非零塊:

    與命題4.1的證明類(lèi)似,有dim H≥(2b1+1)r+lcm(b1b2,r)+η(r,b2).命題得證.

    從[10,Theorem 2]的證明可知,如果H是一個(gè)奇數(shù)維的Hop f代數(shù),則有|G(H)|>1或

    推論4.1設(shè)A是一個(gè)45維Hop f代數(shù),如果A是非余半單非點(diǎn)態(tài)的,且|G(A)|>1,那么有

    (i)|G(A)|=3;

    (ii)存在Hopf子代數(shù)T?A,使得T~=T3,這里T3是32維的Taft代數(shù);

    (iii)A的多維單余子代數(shù)有相同維數(shù)d2,并且d=2或3.

    證可以證明A一定不是純非余半單Hopf代數(shù).假設(shè)A是純非余半單Hop f代數(shù).如果|G(A)|=5,9,15,由命題4.1知,dim A>45,矛盾.如果|G(H)|=3,容易驗(yàn)證mA<mA,由命題4.2知,dim A>45,矛盾.所以A一定不是純非余半單Hopf代數(shù).

    已知A包含非退化的斜本原元,由[3,Proposition 1.8]知,這些非退化的斜本原元生成一個(gè)pq2型的A的點(diǎn)態(tài)Hop f子代數(shù)T.由Nichols-Zoeller定理知,dim T整除45.則dim T=32. Andruskiew itsch和Schneider在[11]證明了p2型的非余半單Hop f代數(shù)都是Taft代數(shù).所以有T~= T3.(ii)得證.

    推論4.2設(shè)A是一個(gè)105維Hopf代數(shù),且|G(A)|>1.如果|G(A)|/=3,那么A是余半單的.

    證假設(shè)A是非余半單的,則|G(A)|/=105.由注3.1知,A是純非余半單Hop f代數(shù).由命題4.1給出的維數(shù)下界知,|G(A)|/=15,21,35.如果|G(A)|/=5,7,容易驗(yàn)證mA<mA,由命題4.2知,d im A>105,矛盾.則只有|G(A)|=3,與題設(shè)矛盾.所以A是余半單的.

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    M R Su b jec t C lassifica tion:16T 05;16T 15

    N ecessary cond itions for coalgeb ras being adm issib le

    FAN Zhong-ping
    (School of Math.Sci.,Zhejiang Univ.,Hangzhou 310027,China)

    In this paper,necessary conditions are given for non-cosem isim ple and pure noncosem isim p le coalgeb ras being adm issible,using b lock system s built for Hop f algeb ras through their coalgebra structure.The im plications sim plify the classification for Hopf algebras of dimension 45 and 105 and p rovide a new m ethod for the finite d im ensional Hop f algeb ras classification problem.

    coalgebra;adm issibility;Hopf algebra;classification;block system

    O 153

    1000-4424(2016)02-0225-08

    2016-03-17

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11271319)

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