四維余代數(shù)的分類(lèi)

范 中 平

(中國(guó)海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

四維余代數(shù)的分類(lèi)

范 中 平

(中國(guó)海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

利用余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)基，得到了余代數(shù)同構(gòu)的等價(jià)條件，從而完成了四維余代數(shù)的分類(lèi)，并針對(duì)更高維的余代數(shù)分類(lèi)給出了一般方法.

余代數(shù)；余根濾鏈；樹(shù)結(jié)構(gòu)基

The classification of 4-dimensional coalgebra. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):028-032

0 引 言

余代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究是含幺結(jié)合代數(shù)、雙代數(shù)和Hopf代數(shù)相關(guān)研究中的重要部分，受文獻(xiàn)[1-3]中非點(diǎn)態(tài)非余半單的Hopf代數(shù)分類(lèi)方法的啟發(fā)，通過(guò)余代數(shù)的余根濾鏈分層考慮余代數(shù)的結(jié)構(gòu).余根濾鏈中上層元素的余結(jié)構(gòu)要涉及下層元素需滿(mǎn)足某些特定條件；反之，給定了余根濾鏈中的下層下元，可以按這些特定條件窮舉可能的余根濾鏈中的上層元素，進(jìn)而給出整個(gè)余代數(shù)的余結(jié)構(gòu).則稱(chēng)這種上下緊密關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)為樹(shù)結(jié)構(gòu).通過(guò)這種樹(shù)結(jié)構(gòu)給出的基稱(chēng)為樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

本文定義了樹(shù)結(jié)構(gòu)的等價(jià)關(guān)系，使得樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi)與余代數(shù)的同構(gòu)類(lèi)一一對(duì)應(yīng).通過(guò)窮舉樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi)完成四維余代數(shù)的分類(lèi)，這種分類(lèi)方法對(duì)更高維的余代數(shù)具有通性.由于有限維情形下，余代數(shù)與含幺結(jié)合代數(shù)互為對(duì)偶，則相同維數(shù)的含幺結(jié)合代數(shù)的分類(lèi)亦可借助此方法.

假設(shè)k是一個(gè)特征為零的代數(shù)閉域.在下文的討論中，如不另作說(shuō)明，線(xiàn)性空間在k上都是有限維的.

1 余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)基

本節(jié)定義余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

對(duì)于余代數(shù)(C,Δ,ε)，由文獻(xiàn)[4] Theorem 5.4.2給出的余根分解知，存在一個(gè)余理想I和一個(gè)C到其余根C0的滿(mǎn)同態(tài)π:C→C0,使得C=C0?I和ker π=I.固定此余理想I，并定義

ρL=(π?id)Δ和ρR=(id?π)Δ.

(1)

容易驗(yàn)證，(C,ρL,ρR)為一個(gè)C0-雙余模.

定義一組C的子空間Pn,n≥0如下：

P0=0,

P1={c∈C|Δ(c)=ρL(c)+ρR(c)}= Δ-1(C0?I+I?C0),

Pn={c∈C|Δ(c)-ρL(c)-ρR(c)∈

記C的余根濾鏈為{Cn}n≥0.由文獻(xiàn)[1] Lemma 1.1知，Pn=Cn∩I.

則有

命題1(文獻(xiàn)[3]Lemma 3.1) 如果對(duì)c∈Pn,n≥2,有c?Pn-1，那么對(duì)所有的n′∈{1,2,…,n-1}，有

對(duì)一個(gè)余代數(shù)的單左余模，其對(duì)偶空間為此余代數(shù)的單右余模.且一個(gè)單余代數(shù)有唯一的單左余模和唯一的單右余模同構(gòu)類(lèi)，所以對(duì)τ∈，可以固定Vτ和分別作為Dτ-單左余模和Dτ-單右余模同構(gòu)類(lèi)的代表元.則有

(2)

任意的C0-雙余?？梢苑纸獬善銫0-單雙余子模的直和.對(duì)任意的C0-單雙余模M，存在τ,μ∈，使得作為C0-雙余模,有

(3)

容易驗(yàn)證，對(duì)n≥1,有Pn關(guān)于ρL,ρR是C的C0-雙余子模，則Pn可以分解成C0-單雙余子模的直和.對(duì)τ,μ∈,記為Pn同構(gòu)于Vτ?的C0-單雙余子模的和，有

注意到Pn-1?Pn是一個(gè)C0-雙余子模，那么存在一個(gè)Pn的C0-雙余子模Qn，使得

Pn=Pn-1?Qn.

注意Qn的選取不是唯一的.

C=C0?I=C0?∪n≥1Pn=C0??n≥1Qn=

?σ∈Dσ?

?σ∈Dσ?).

由式(2)知，有C0-雙余模同構(gòu)：

(5)

ρL(ωi,j)=(id?f-1)(Δ?id)f(ωi,j)=

(6)

和

ρR(ωi,j)=(f-1?id)(id?Δ)f(ωi,j)=

(7)

并且由Pn的定義知

(8)

(9)

由式(4)知，WC是余代數(shù)C的一組基.

定義1 對(duì)余代數(shù)C,繼承前面討論中的記號(hào)，稱(chēng)WC為C的一個(gè)由W0和I構(gòu)造的樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

2 樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi)

本節(jié)給出樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)關(guān)系，使得研究余代數(shù)的同構(gòu)類(lèi)與此等價(jià)關(guān)系下樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi)一一對(duì)應(yīng).

令W為由W0和I構(gòu)造的余代數(shù)C.樹(shù)結(jié)構(gòu)基W的余結(jié)構(gòu)指雙線(xiàn)性集合FW={Fω:kW×kW→k|ω∈W},這里kW是以W為基生成的線(xiàn)性空間.其中的雙線(xiàn)性型由下式定義：對(duì)任意的ω0∈W,

對(duì)余代數(shù)C和D，稱(chēng)C的樹(shù)結(jié)構(gòu)基WC與D的樹(shù)結(jié)構(gòu)基WD有一致的余結(jié)構(gòu)，如果存在線(xiàn)性映射θ:C→D,使得θ(WC)=WD且對(duì)ω∈W，有

ΔDθ(ω)=(θ?θ)ΔC(ω).

顯然θ是C到D的余代數(shù)同構(gòu)，且對(duì)任意的ω0,ω1,ω2∈WC,Fω0∈FWC,Fθ(ω0)∈FWD，有

Fω0(ω1,ω2)=Fθ(ωυ)(θ(ω1),θ(ω2)).

接下來(lái)分三方面討論樹(shù)結(jié)構(gòu)基之間的聯(lián)系.

(a)首先給出一個(gè)余代數(shù)在同一余根分解下的不同樹(shù)結(jié)構(gòu)基之間的聯(lián)系.

僅改變C的單余子代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)基的選取不會(huì)影響C的C0-雙余模結(jié)構(gòu)，所以與I和不同單余子代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)基構(gòu)造的樹(shù)結(jié)構(gòu)基相差一個(gè)線(xiàn)性雙射.以下討論中都不改變C的單余子代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)基的選取，所以與I和不同的單余子代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)基構(gòu)造的樹(shù)結(jié)構(gòu)基之間有一致的余結(jié)構(gòu).

假設(shè)W′為由W0和I構(gòu)造的但不同于W的C的樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

(10)

(b)然后給出一個(gè)余代數(shù)在不同余根分解下的樹(shù)結(jié)構(gòu)基之間的關(guān)系.

假設(shè)存在余代數(shù)滿(mǎn)同態(tài)π1:C→C0和余理想I′?C，使得C=C0?I′,kerπ1=I′.則存在自然的投射π2:C→I′，使得對(duì)任意的x∈C，有

c=π1(c)+π2(c).

(11)

定義一個(gè)線(xiàn)性映射φ:C→C如下：

對(duì)ω∈W,

(12)

容易驗(yàn)證，φ是雙射，且φ(W)是C的一組基.

命題2 對(duì)余代數(shù)(C,Δ,ε)，由式(12)定義的φ是C的余代數(shù)自同構(gòu).

證明 由φ|C0=id知，證明此命題等價(jià)于證明對(duì)任意的ω∈WW0，有

Δ(φ(ω))=(φ?φ)Δ(ω).

這里kωi,j,ω1,ω2∈k，且只有有限個(gè)非零.則有

Δ(φ(ωi,j))=Δ(ωi,j-π1(ωi,j))=

顯然，上式中第1項(xiàng)屬于I′?C0,第2項(xiàng)屬于I′?I′，第3項(xiàng)屬于I′?I′,而最后1項(xiàng)屬于C0?C0.由I′為余理想知，Δ(φ(ωi,j))?I′?I′+I′?C0+C0?I′.則最后一項(xiàng)為0.

所以有

命題得證.

由命題2,有φ(W)是一個(gè)由W0和I′構(gòu)造的C的樹(shù)結(jié)構(gòu)基，且W與φ(W)的余結(jié)構(gòu)一致.

(c)最后考慮同構(gòu)的余代數(shù)間的樹(shù)結(jié)構(gòu)基的關(guān)系.

假設(shè)f:C→D為一余代數(shù)同構(gòu).顯然有f(C0)=D0,f(I)為D的一個(gè)余理想，且D=D0?f(I).

容易驗(yàn)證，f(W)是一個(gè)由f(W0)和f(I)構(gòu)造的D的樹(shù)結(jié)構(gòu)基.且由f為余代數(shù)同構(gòu)知，W和f(W)有一致的余結(jié)構(gòu).

下面給出樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi)的概念，并將其與余代數(shù)的同構(gòu)類(lèi)聯(lián)系起來(lái).

定義2 對(duì)任意的W1,W2∈Ωm，假設(shè)W1為余代數(shù)C的樹(shù)結(jié)構(gòu)基，W2為余代數(shù)D的樹(shù)結(jié)構(gòu)基,如果存在一個(gè)線(xiàn)性雙射φC:C→C,使得φC(W1)是C的樹(shù)結(jié)構(gòu)基，且φC(W1)與W2有一致的余結(jié)構(gòu)，稱(chēng)W1與W2是等價(jià)的.

注2 此等價(jià)關(guān)系的定義良好；自反性與傳遞性顯然.要說(shuō)明對(duì)稱(chēng)性，即說(shuō)明如果W1與W2是等價(jià)的，那么存在一個(gè)線(xiàn)性雙射φD:D→D，使得φD(W2)是D的樹(shù)結(jié)構(gòu)基，且φD(W2)與W1有一致的余結(jié)構(gòu).

顯然由φC(W1)與W2有一致的余結(jié)構(gòu)知，C與D之間存在余代數(shù)同構(gòu)θ.由(c)知，θ(W1)是D的樹(shù)結(jié)構(gòu)基且與W1有一致的余結(jié)構(gòu).由(a)知，存在線(xiàn)性雙射φ′:D→D,使得φ′(W2)=θ(W1).令φD=φ′，則φD(W2)是D的樹(shù)結(jié)構(gòu)基，且φD(W2)與W1有一致的余結(jié)構(gòu).

綜合(a),(b)和(c)，顯然同一余代數(shù)的樹(shù)結(jié)構(gòu)基是等價(jià)的，且有

定理1 余代數(shù)C和D是同構(gòu)的等價(jià)于對(duì)任意的WC∈ΩC和WD∈ΩD，有WC等價(jià)于WD.

由此，分類(lèi)m維的余代數(shù)就等價(jià)于給出Ωm的所有等價(jià)類(lèi)，且窮舉Ωm的等價(jià)類(lèi)分為以下幾步：

步驟1 確定W0的余結(jié)構(gòu)；

步驟2 對(duì)n≥1，確定|Wn|；

步驟3 從n=1開(kāi)始依次確定Wn的余結(jié)構(gòu)，這里分成2步：對(duì)ω∈Wn,

步驟3a 確定ρL(ω)和ρR(ω)；

步驟4 驗(yàn)證由以上幾步給出的W=W0∪∪n≥1Wn的余結(jié)構(gòu)，使得以W為基生成的線(xiàn)性空間kW成為余代數(shù)；如成立，則W是kW的一組樹(shù)結(jié)構(gòu)基.

3 四維余代數(shù)的分類(lèi)

(13)

對(duì)于四維余代數(shù)，共有16個(gè)樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi).

A 類(lèi)群元有4個(gè)的情形：

第1類(lèi) W0={g0,g1,g2,g3}，則W=W0.

C 類(lèi)群元有2個(gè)，|W1|=2的情形：

(0,0,0,0)～(1,1,1,1)；

(0,0,0,1)～(0,1,0,0)～(1,1,1,0)～(1,0,1,1);

(0,0,1,0)～(1,0,0,0)～(1,1,0,1)～(0,1,1,1);

(0,0,1,1)～(1,1,0,0);

(0,1,0,1)～(1,0,1,0);

(0,1,1,0)～(1,0,0,1).

F 類(lèi)群元有1個(gè)，|W1|=2，|W2|=1的情形：

(14)

當(dāng)P1的基固定時(shí)，P1×P1到k的雙線(xiàn)性型與其度量矩陣一一對(duì)應(yīng)，即

進(jìn)行窮舉過(guò)程的步驟5.令φ為任一滿(mǎn)足步驟5要求的線(xiàn)性變換.記

W′=φ(W).

記φ的基變換矩陣為Pφ,有Pφ∈GL2(k)且

所以有

(15)

即矩陣B與B′是合同等價(jià)的.反過(guò)來(lái)每個(gè)合同變換的P矩陣都對(duì)應(yīng)一個(gè)步驟5中的線(xiàn)性變換.所以，四維矩陣全體M2(k)的合同等價(jià)類(lèi)與四維余代數(shù)的類(lèi)群元有1個(gè)，|W1|=2,|W2|=1的情形的樹(shù)結(jié)構(gòu)基的等價(jià)類(lèi)一一對(duì)應(yīng).

M2(k)的合同等價(jià)類(lèi)如下：

G 類(lèi)群元有1個(gè)，|W1|=1,|W2|=2的情形：

H 類(lèi)群元有1個(gè)，|W1|=1,|W2|=1,|W3|=1的情形：

I 沒(méi)有類(lèi)群元的情形：

第16類(lèi) W0={ei,j}i,j=1,2,這里{ei,j}i,j=1,2為一個(gè)四維單余代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)基.

綜上所述，有定理2 所有k上的四維余代數(shù)同構(gòu)類(lèi)如下，這里省略了自明的余結(jié)構(gòu)：

(1)C[4.1]=k{g0,g1,g2,g3}.

(16)C[4.16]=M*(2,k),這里M(2,k)表示一個(gè)k上的四維矩陣代數(shù).

[1] ANDRUSKIEWITSCH N, NATALE S. Counting arguments for Hopf algebras of low dimension[J]. Tsukuba Journal of Mathematics, 2001,25(1):187-201.

[2] BEATTIE M, DSCLESCU S. Hopf algebras of dimension 14[J]. Journal of the London Mathematical Society,2004,69(1):65-78.

[3] FUKUDA D. Structure of coradical filtration and its application to Hopf algebras of dimensionpq[J]. Glasgow Mathematical Journal, 2008,50(2):183-190.

[4] MONTGOMERY S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings[M]. Providence:American Mathematical Society, 1993.

FAN Zhongping

(SchoolofMathematicalSciences,OceanUniversityofChina,Qingdao266100,ShandongProvince,China)

By employing the tree structure basis of coalgebra, an equivalent condition for coalgebra being isomorphic is achieved. The list of all isomorphism classes of 4-dimensional coalgebra is completed, and a general method for the classification of larger dimensional coalgebra is provided.

coalgebra; coradical filtrations; tree structure basis

2015-11-11.

山東省博士后創(chuàng)新項(xiàng)目(201602024).

范中平(1988-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-1466-0814,男，博士，講師，主要從事非交換代數(shù)研究.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.004

O153.3

A

1008-9497(2017)01-028-05