Sobolev方程一個新的H1-Galerkin混合有限元分析

刁　群，石東洋，張　芳（.平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南平頂山467000；.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南鄭州45000）

Sobolev方程一個新的H1-Galerkin混合有限元分析

刁群1，石東洋2，張芳2
（1.平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南平頂山467000；2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南鄭州450001）

研究了Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元方法.利用不完全雙二次元和一階BDFM元，建立了一個新的混合元模式，通過Bramble-Hilbert引理，證明了單元對應(yīng)的插值算子具有的高精度結(jié)果.進(jìn)一步，對于半離散和向后歐拉全離散格式，分別導(dǎo)出了原始變量u在H1-模和中間變量p→在H（div）-模意義下的超逼近性質(zhì).

Sobolev方程；H1-Galerkin混合有限元方法；Bramble-Hilbert引理；半離散和全離散格式；超逼近

1　引言

考慮如下的Sobolev方程

其中Ω為R2上的一個凸多邊形區(qū)域，?Ω為其光滑邊界，X=（x，y），u0（X）和f（X，t）是已知函數(shù)，a（X，t）和b（X，t）為給定的具有有界導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，滿足

這里b0，b1為常數(shù).

Sobolev方程在流體穿過裂縫巖石的滲透理論，土壤中的濕氣遷移問題，不同介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)問題，黏土的加固理論等許多數(shù)學(xué)物理問題中有著廣泛的應(yīng)用.關(guān)于其數(shù)值方法的研究已有很多.對于線性情形，如［1］和［2］分別利用R-T混合元方法和一階廣義差分格式，并借助L2投影或Ritz-Volterra投影，給出了誤差分析；［3］和［4］分別研究了各向異性網(wǎng)格下非協(xié)調(diào)Carey元和W ilson元解的高精度分析，得到了超逼近性質(zhì)和整體超收斂結(jié)果.進(jìn)一步，借助分裂外推技術(shù)，導(dǎo)出了H1-模意義下比通常誤差估計提高兩階的收斂速度；［5］提出了時間間斷Galerkin有限元方法，得到了最優(yōu)收斂階；［6］和［7］分別建立了非協(xié)調(diào)混合元）和協(xié)調(diào)混合元（Q11+Q01×Q10）格式，得到了半離散和全離散格式下的超逼近性質(zhì)和整體超收斂結(jié)果.對于非線性情形，如［8］給出了非協(xié)調(diào)元方法的半離散和向后歐拉全離散格式，證明了最優(yōu)收斂階，超逼近和整體超收斂結(jié)果；［9］討論了類W ilson元的超收斂分析及外推；［10］研究了經(jīng)濟型差分-流線擴散非協(xié)調(diào)有限元方法，分別給出了Euler-EFDSD和Crank-Nicolson-EFDSD格式的最優(yōu)誤差估計.

眾所周知，混合有限元方法是求偏微分方程數(shù)值解的有效方法之一，但它需要所涉及的兩個有限元逼近空間滿足所謂的inf-sup條件或B-B相容性條件，這通常不是一件很容易的事.為了克服這一要求，降低空間匹配的難度，Pani在［11］中提出了H1-Galerkin混合有限元方法.后來，被廣泛應(yīng)用于很多有實際背景的問題［12-16］.但就作者所知，該方法對Sobolev方程的應(yīng)用，目前還僅局限于收斂性的研究，并且大多數(shù)需要借助于不同形式的投影算子進(jìn)行誤差分析［17-20］.

本文的主要目的是利用不完全雙二次元Q-2和一階BDFM元，對Sobolev方程構(gòu)造一個新的H1-Galerkin混合元模式.首先，通過Bramb le-Hilbert引理，證明了單元對應(yīng)的插值算子具有的新的高精度結(jié)果.其次，在不需要借助傳統(tǒng)有限元分析中必不可少的投影算子的前提下，對于半離散和全離散格式，分別導(dǎo)出了原始變量u在H1-模和中間變量→p在H（div）-模意義下的超逼近性質(zhì).且對全離散格式來說，該性質(zhì)還是無條件的，即不需要網(wǎng)格比就能得到.

2　混合元的構(gòu)造及性質(zhì)

設(shè)Ω是一個矩形區(qū)域，其邊界?Ω分別平行于x軸和y軸，Th是Ω的矩形單元剖分族，滿足正則性假設(shè).對e∈Th，設(shè)其四個頂點分別為a1（xe-he，ye-ke），a2（xe+he，ye-ke），a3（xe+ he，ye+ke），a4（xe-he，ye+ke）.四條邊分別為記平面上的參考單元為四個頂點為四條邊.

其中

滿足

可以驗證，以上定義的插值算子是適定的，插值函數(shù)表達(dá)式分別為

其中

定義可逆仿射變換Fe

那么相應(yīng)的有限元空間以及所誘導(dǎo)的插值算子分別為

引理2.1［21］若u∈H4（Ω），則有

引理2.2若→p=（p1，p2）∈（H3（Ω））2，則有

證［22］中已給出（2.2）式的證明.下面證明（2.3）式.

由Sobolev嵌入定理和逆不等式，有

這里P2）為單元e?上的二次多項式空間.由Bramble-Hilbert引理，知

于是

通過仿射變換，可得

注意到利用格林公式，有

喉口面積明確之后，由經(jīng)驗公式可知文丘里管噴嘴長度L1、混合段長度Lt和擴壓器長度L2。為讓文丘里管收縮角度及擴張角度在合適錐角范圍以內(nèi)，由試驗臺架的位置布置，分別計算得到文丘里管收縮段、喉口混合段和擴壓段長度。具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1,實物見圖3。

綜合以上兩式，即得（2.3）式.

3　半離散格式下的超逼近分析

類似于［17］可以證明問題（3.3）存在唯一解.

一方面，在（3.6）的第一式中令v=ξ，可得

即

對任意的φ∈W1，∞（Ω），定義其在單元e上的平均值則有

利用平均值技巧、插值理論和引理2.1，可得

類似的，有

再由引理2.2，可得

把（3.8）-（3.11）與（3.7）結(jié)合，有

對上式兩邊從0到t積分，由?ξ（X，0）=0及G ronwall引理，得

另一方面，在（3.6）的第二式中令→w=→θ，有

利用平均值技巧和引理2.2，可得

根據(jù)函數(shù)β的有界性，有

由于u|?Ω=0，從而可得η|?Ω=0，所以由格林公式，知

把（3.14）-（3.16）與（3.13）結(jié)合，并取適當(dāng)小的ε，有

將（3.17）代入到（3.12），由Gronwall引理可得（3.4）.再把（3.4）代入到（3.17）即得（3.5）.證畢.

注2定理3.1證明過程中關(guān)鍵的地方在于對（β?η，→θ）的估計，這里需要應(yīng)用單元特有的插值條件，才能由格林公式得到（3.16）的結(jié)果，從而得出本定理的結(jié)論.

4　全離散格式下的超逼近分析

設(shè)0=t0＜t1＜···＜tN=T為［0，T］的等距剖分對任意的光滑函數(shù)

類似于［17］可以證明問題（4.1）存在唯一解.

在（3.2）中令t=tn，可得

其中

這里

由于

而（4.6）的右端項可依次估計為

把（4.7）-（4.11）代入到（4.6），可得

在（4.13）中取充分小的τ，使得1-Cτ＞0，由離散的Gronwall引理，可得

（4.15）的右端項可依次估計為

把以上估計代入（4.15），并取適當(dāng)小的ε，有

結(jié)合（4.14）與（4.16），由離散的G ronwall引理，即得定理結(jié)論.

［1］Jiang Ziwen，Chen Huanzhen.Error estimates ofm ixed finite elementmethods for Sobolev equation［J］.Northeast M ath J，2001，17（3）:301-314.

［2］曹艷華.二維線性Sobolev方程廣義差分法［J］.計算數(shù)學(xué)，2005，27（3）:243-256.

［3］石東洋，郝曉斌.Sobolev型方程各向異性Carey解的高精度分析［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2009，26（6）: 1021-1026.

［4］石東洋，任金城，郝曉斌.Sobolev型方程各向異性網(wǎng)格下W ilson元的高精度分析［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2009，31（2）:169-180.

［5］何斯日古楞，李宏.Sobolev方程的時間間斷Galerkin有限元方法［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，26（4）:467-473.

［6］Shi Dongyang，Zhang Yadong.High accuracy analysis of a new noncon form ingm ixed finite element scheme for Sobolev equations［J］.App lM ath Com put，2011，218（7）:3176-3186.

［7］史艷華，石東洋.Sobolev方程新混合元方法的高精度分析［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2014，34（4）: 452-463.

［8］Shi Dongyang，Wang Haihong，Du Yuepeng.An anisotropic noncon form ing finite element m ethod for app roxim ating a class of non linear Sobolev equations［J］.J Com pu t M ath，2009，27（2-3）:299-314.

［9］ShiDongyang，Wang Fen ling，Zhao Yanm in.Superconvergenceanalysisand ex trapolation of quasi-W ilson nonconform ing finite elementmethod for non linear Sobolev equations［J］.Acta Math Appl Sin（English Ser），2013，29（2）:403-414.

［10］石東洋，王海紅.非線性Sobolev方程的經(jīng)濟型差分-流線擴散非協(xié)調(diào)有限元法［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2013，33A（6）:1148-1161.

［11］Pani A K.An H1-Galerkin m ixed finite element methods for parabolic partial differential equations［J］.SIAM J Numer Anal，1998，35（2）:721-727.

［12］王瑞文.雙曲型積分微分方程H1-Galerkin混合元法的誤差估計［J］.計算數(shù)學(xué)，2006，28（1）: 19-30.

［13］劉洋，李宏，何斯日古楞.偽雙曲型積分-微分方程H1-Galerkin混合元法誤差估計［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2010，32（1）:1-20.

［14］陳紅斌，劉曉奇，徐大.粘彈性雙曲型方程的H1-Galerkin混合有限元方法［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，33（3）:279-288.

［15］石東洋，唐啟立，董曉靖.強阻尼波動方程的H1-Galerkin混合有限元超收斂分析［J］.計算數(shù)學(xué)，2012，34（3）:317-328.

［16］石東洋，史艷華，王芬玲.四階拋物方程H1-Galerkin混合有限元方法的超逼近及最優(yōu)誤差估計［J］.計算數(shù)學(xué)，2014，36（4）:363-380.

［17］郭玲，陳煥貞.Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元方法［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2006，26（3）: 301-314.

［18］Shi Dongyang，Wang Haihong.Nonconform ing H1-Galerkin m ixed FEM for Sobolev equ tions on anisotropic m eshes［J］.A cta M ath A pp l Sin（English Ser），2009，25（2）:335-344.

［19］李宏，季兆義，劉洋等.Sobolev方程的一類新型H1-Galerkin混合元法［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，35（3）:206-221.

［20］王金鳳，劉洋，李宏等.Sobolev方程的基于H1-Galerkin混合方法的新分裂格式［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2014，36（1）:32-48.

［21］郝曉斌.非協(xié)調(diào)有限元的構(gòu)造及其應(yīng)用［D］.鄭州:鄭州大學(xué)博士學(xué)位論文，2008.

［22］林群，嚴(yán)寧寧.高效有限元構(gòu)造與分析［M］.保定:河北大學(xué)出版社，1996.

M R Sub ject C lassification:65N 15；65N30

A new H1-Galerk in m ixed finite elem ent analysis for Sobo lev equation

DIAO Qun1，SHIDong-yang2，ZHANG Fang2
（1.School of M ath.Statis.，Pingdingshan Univ.，Pingdingshan 467000，China；2.School of M ath.Statis.，Zhengzhou Univ.，Zhengzhou 450001，China）

In this paper，H1-Galerkinm ixed finite elementmethod for Sobolev equation is studied.A new m ixed finite elem ent pattern is constructed using incom p lete biquad ratic elem ent Q-2and first order BDFM element.Through Bramble-Hilbert lemma，high p recision resu lts of interpolation operators correspond ing to unit are p roved.Further，the superclose p roperties for the prim itive variables u in H1-norm and the intermediate variable→p in H（div）-norm are obtained respectively in sem i-discrete and the backw ard Eu ler fu lly d iscrete schem es.

Sobolev equation；H1-Galerkinm ixed finiteelementmethod；Bramble-Hilbert lemma；sem i-discrete and fu lly discrete schemes；superclose

O 242.21

A

1000-4424（2016）02-0215-10

2015-04-10

2016-04-25

國家自然科學(xué)基金（11271340）；河南省科技計劃項目（162300410082）