幾何流方程的分離變量解

朱春蓉，儲(chǔ)佩佩，黃守軍（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000）

幾何流方程的分離變量解

朱春蓉，儲(chǔ)佩佩，黃守軍
（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000）

利用不變子空間方法及擬設(shè)法，在變量變換作用下給出雙曲幾何流和Ricci流的各種分離變量解，包括乘法分離變量解和廣義泛函分離變量解，并給出了這些解的性質(zhì)分析.

幾何流方程；分離變量解；不變子空間方法；擬設(shè)法

1　引言

近幾十年來(lái)非線性偏微分方程出現(xiàn)在越來(lái)越多的領(lǐng)域，構(gòu)造它們的精確解也變得十分重要.精確解不僅可以幫助人們理解相應(yīng)問(wèn)題在特殊情況下的實(shí)際意義，而且還可以輔助驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算結(jié)果和相關(guān)性質(zhì)分析結(jié)論，從而作為數(shù)值計(jì)算和性質(zhì)分析的基礎(chǔ).分離變量法是構(gòu)造線性偏微分方程精確解非常有效的一個(gè)方法.Fourier在研究熱方程問(wèn)題時(shí)發(fā)展了該方法，Sturm和Liouville在十九世紀(jì)三十年推廣了這種方法.近期，這種方法無(wú)論是在概念還是在方法上都有相應(yīng)的發(fā)展.

假設(shè)給定一個(gè)1+1維非線性演化方程

其中E是關(guān)于括號(hào)中變量任意光滑的函數(shù)，u是依賴(lài)于兩個(gè)相互獨(dú)立的自變量x和t的未知函數(shù).如果該方程有解形如

則它們被稱(chēng)為該方程的乘法分離變量解或加法分離變量解；如果該方程有解形如

則它被稱(chēng)為該方程的非線性分離變量解；如果該方程有解形如

其中φi（x）（i=1，···，n）線性無(wú)關(guān)，則它稱(chēng)為該方程的廣義分離變量解；如果該方程有解形如

則稱(chēng)它為該方程的泛函分離變量解；如果該方程有解形如

則稱(chēng)其為該方程的廣義泛函分離變量解.

在研究偏微分方程的分離變量解時(shí)，有兩個(gè)主要的問(wèn)題.問(wèn)題一，給定方程尋求其分離變量解；問(wèn)題二，研究哪些方程具有分離變量解.圍繞這兩個(gè)問(wèn)題的研究，上述的各種分離變量解的概念得以提出，與此同時(shí)也產(chǎn)生了給出這些分離變量解的方法，包括李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)法［1］，擬設(shè)法［2-7］，廣義條件對(duì)稱(chēng)法［8-11］，群分葉法［12-13］和不變子空間法［14-15］等.上述方法在各種不同方程及方程組中得到進(jìn)一步推廣和使用［16-25］.

本文討論雙曲形式幾何流和Ricci流的分離變量解.為了刻畫(huà)度量的波動(dòng)性質(zhì)，［26］提出了雙曲幾何流

其中g(shù)ij表示黎曼度量，Rij表示Ricci張量，R表示標(biāo)量曲率.在黎曼曲面（M2，g）上，它可以改寫(xiě)為

其中u=u（x，y，t）＞0表示度量gij的共形因子，即gij=u（x，y，t）δij.Ricci流

可以表示為

Ricci流是由Ham ilton于1982年在他的研究論文“Three-manifolds w ith positive Ricci curvature”中提出的［27］.眾所周知，它是人們非常感興趣的幾何演化方程.在2003年左右，Perelm an應(yīng)用Ricc流概念完成了Poinc′are猜想的證明［28-30］，且Ricci流和量子理論也有相關(guān)性［31］. Lie對(duì)稱(chēng)群是研究非線性微分方程非常有效的一種方法.Cim poiasu和Constantinescu在文獻(xiàn)［32］中給出了二維Ricci流的對(duì)稱(chēng)群和群不變量.在文獻(xiàn)［33］中，他們利用Lie對(duì)稱(chēng)群和優(yōu)化系統(tǒng)的方法討論了Ricci流的不變解.關(guān)于Ricci流的Lie對(duì)稱(chēng)群研究還可以參考文獻(xiàn)［34-35］.在文獻(xiàn)［36］中，Xu通過(guò)變量變換w=ln u給出了方程（4）和（5）的Lie對(duì)稱(chēng)群.在文獻(xiàn)［37］中，Galaktionov和Svirshchevskii對(duì)這兩個(gè)方程的群不變解也有研究.最近，Wang應(yīng)用Xu的結(jié)果，并通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化系統(tǒng)給出了方程（4）和（5）的群不變解［38］.本文基于文獻(xiàn)［38］，將在變量變換意義下，結(jié)合擬設(shè)法和不變子空間法考慮方程（4）和（5）的分離變量解.這里得到的解包含了文獻(xiàn)［38］中所有的分離變量解.同時(shí)，本文還給出了很多新的分離變量解，這些解在下文中用“u?”來(lái)表示.還對(duì)這些分離變量解的性質(zhì)進(jìn)行了分析，包括奇性分析和對(duì)時(shí)間的演化情況的分析.

為了便于下文的敘述，這里以非線性演化方程（1）為例，對(duì)不變子空間方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹.設(shè)｛φi（x），i=1，···，n｝為一個(gè)相互線性無(wú)關(guān)的函數(shù)集合，其中n≥1.Wn表示這些函數(shù)的線性擴(kuò)張，記作

如果E［Wn］?Wn，那么稱(chēng)子空間Wn在給定算子E作用下不變，或者稱(chēng)算子E允許子空間Wn.在線性代數(shù)中， 這意味著

其中｛Ψi｝表示以｛φi｝作為基時(shí)E［u］在Wn中的表示系數(shù).如果方程（1）中的非線性微分算子E允許子空間Wn，那么方程（1）具有廣義分離變量解（2），其中ψi（t）（i=1，···，n）滿(mǎn)足常微分方程組

通過(guò)擬設(shè)法或者不變子空間方法理論中的不變條件可以得到非線性微分算子允許的不變子空間，具體可以參考文獻(xiàn)［15］.

在下文中，將做如下安排：§2討論方程（4）的分離變量解；§3討論方程（5）的分離變量解；§4給出本文的總結(jié)和討論.

2雙曲幾何流

2.1徑向?qū)ΨQ(chēng)形式的解

令v=ru，此方程可化為

再作變換v=ωr，則有

將算子F［ω］≡ωttωr看作關(guān)于變量t的非線性微分算子，由擬設(shè)法或不變子空間理論中的不變條件可以驗(yàn)證它允許不變子空間代入方程（6），得到關(guān)于fi（r）（i=1，2，3）的微分方程組

由此，得到

及

在這里及下文中，ai和bi均表示任意常數(shù).求解方程（7），得到方程（4）的解

其中Δ=1-4a3.在Δ＞0情形中為代數(shù)方程0兩個(gè)不相等的實(shí)根；在Δ＜0情形中

注意到，這里得到的解只會(huì)在形如｛（x，y）：x2+y2=c｝的集合上具有奇性，其中c為某個(gè)非負(fù)常數(shù).當(dāng)Δ≥0時(shí)，這樣的集合至多有兩個(gè)，而當(dāng)Δ＜0這樣的集合可能有無(wú)限多個(gè).

2.2形如u=u（ax+by，t）的解

這里考慮方程（4）形如u=u（ax+by，t）的解，它滿(mǎn)足方程

在此方程中，令u=ωz，則有

類(lèi)似地，由擬設(shè)法或不變子空間方法知，方程（9）有解形如

其中fi（z）滿(mǎn)足常微分方程組

由此方程組，可以得到

及

求解后，得到

上有奇性.在a3≥0情形中，解（10）在類(lèi)似的集合上也具有奇性.當(dāng)a3=0時(shí)這樣的集合至多只有一個(gè)，而當(dāng)a3＞0時(shí)這樣的集合可能有無(wú)限多個(gè).通過(guò)2.1和2.2小節(jié)的討論，可以看出在變量變換意義下，這兩類(lèi)分離變量解均依賴(lài)于關(guān)于時(shí)間t的微分算子F［ω］=ωttωr（或F［ω］=ωttωz）的不變子空間L｛1，t，t2｝給出.因此，它們具有形式

這類(lèi)解為乘法分離變量解.常數(shù)ai（i=1，2）對(duì)應(yīng)于u的初始狀態(tài).在解（8）中，當(dāng)Δ≤0時(shí)，以及在解（10）中，當(dāng)a3≥0和a3，a4＞0時(shí)，f（x，y）均是非負(fù)的，這類(lèi)解每點(diǎn)隨時(shí)間的演化如圖1所示；在其它情形中，考慮到總有u＞0，解（8）和解（10）每點(diǎn)隨時(shí)間的演化如圖2所示.圖中H=a21-4a2.

圖1　

圖2　

注1在上文中，討論方程（4）形如u=f（ax+by，t）的解時(shí)并沒(méi)有涉及方程（4）行波解的討論，而行波解也可以看作是泛函分離變量解的一種特殊形式.因此，這里將對(duì)其進(jìn)行單獨(dú)討論.在方程（4）中，令u=f（z），其中z=ax+by+ct，a2+b2/=0，c/=0.把它代入方程（4）中得到關(guān)于f（z）的二階常微分方程

這里僅考慮方程（4）的非平凡解.在方程（11）中不顯含自變量z，令f′=p，則有

求解后，得到

其中a1為非零任意常數(shù).由此，得到方程（4）的隱式行波解

其中a2為任意正數(shù).在文獻(xiàn)［38］中，通過(guò)尋求群不變解也給出類(lèi)似的解.本文的行波解是通過(guò)直接的方法給出，形式上更加一般.另外，利用在上述推導(dǎo)過(guò)程中得到的方程（11）和（12）還可以對(duì)這個(gè)隱式解的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步分析.由方程（11）和（12）可以得到

為了討論方便，這里不妨假設(shè)a1＞0.考慮到u=f（z）＞0，通過(guò)（13）式，以及dz/d f和d2z/df2的表達(dá)式可以給出：

當(dāng)a1＜0時(shí)，同理可以給出z=f-1（u）的性質(zhì)分析.由上述分析，可以畫(huà)出隱式解（13）兩種情形下的簡(jiǎn)圖，分別如圖3和圖4所示，其中A=（a2+b2）/c2，B=（a2+b2）［ln（（a2+b2）/c2）-1］.圖3和圖4中演示的為B＞0的情形，當(dāng)B≤0時(shí)，也有類(lèi)似的圖形.

圖3?。╝1＞0）

圖4?。╝1＜0）

3　Ricci流

再令v=ru，則此方程轉(zhuǎn)化為

在下文中，將在兩種變量變換下求解此方程.

變換1 v=1/ω.

在［15］中，Galaktionov在壓力變化v=un下，通過(guò)不變子空間方法給出多孔介質(zhì)方程ut=（un ux）x的精確解.這里為了給出方程（14）的精確解，先作變換v=1/ω.在這種變換下，u=1/（rω），而ω滿(mǎn)足的方程為

允許不變子空間L｛1，r，r2｝.方程（15）有解形如

代入方程（15）后得到c0（t），c1（t），c2（t）的約束條件

由此方程組，得到下面的關(guān)系式

求解后，得到

其中，在a1=0情形中解在a1=0時(shí)為乘法分離變量解；在a1/=0時(shí)，為廣義泛函分離變量解.在a1=0情形中，當(dāng)b0＞0時(shí)，解（17）在集合｛（x，y）：上具有奇性；在a1＜0情形中，解（17）只在（0，0）點(diǎn)具有奇性；在a1＞0情形中，做如下討論.

若用（17）式構(gòu)造方程（5）的解，則（17）式中常數(shù)bi（i=0，1，2）對(duì)應(yīng)著解的初始狀態(tài).為了便于討論，使用如下的記號(hào)：

顯然，當(dāng)b1＞0時(shí)，

當(dāng)b1＜0時(shí)，則反之.現(xiàn)在根據(jù)bi（i=0，1，2）的情形進(jìn)行如下討論：

（I）首先，考慮b2＜0的情形.

當(dāng)b1＞0，b0＞0時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有爆破界面A1；當(dāng)b1＞0，b0＜0時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有爆破界面A2；當(dāng)b1＜0，b0＞0時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有爆破界面A1；當(dāng)b1＜0，b0＜0時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有爆破界面A2；

（II）其次，考慮b2=0的情形.

當(dāng)b1＞0，b0＞0時(shí)，用（17）式定義方程（5）的解，此解只在（0，0）具有奇性；當(dāng)b1＞0，b0＜0時(shí)，方程（5）的解在集合

中用（17）式定義，其余點(diǎn)作無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有爆破界面A2；當(dāng)b1＜0時(shí)，要求b0＜0.此時(shí)，方程（5）的解在集合p

內(nèi)用（14）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有爆破界面A2；

（III）再次，考慮0＜b2＜1情形.若b1＞0，只在時(shí)間段［0，T）中考慮方程（5）的解.

當(dāng)b1＞0，b0＞0時(shí)，用（17）式定義方程（5）的解，此解只在（0，0）具有奇性；當(dāng)b1＞0，b0＜0時(shí)，方程（5）的解在集合

中用（17）式定義，其余點(diǎn)作無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有兩個(gè)爆破界面Ai（i=1，2）；當(dāng)b1＜0時(shí)，要

求b0＜0.此時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有兩個(gè)爆破界面Ai（i=1，2）；

（IV）最后，考慮b2＞1的情形.若b1＜0，只在時(shí)間段［0，T）內(nèi)考慮方程（5）的解.

當(dāng)b1＞0時(shí)，要求b0＜0.此時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解有兩個(gè)爆破界面Ai（i=1，2）；當(dāng)b1＜0，b0＞0時(shí)，用（17）式定義方程（5）的解，它只在（0，0）點(diǎn)具有奇性；當(dāng)b1＜0，b0＜0時(shí)，方程（5）的解在集合

內(nèi)用（17）式定義，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.這個(gè)解具有兩個(gè)爆破界面Ai（i=1，2）.

變換2 v=ωr.

在變換v=ωr下，方程（14）變?yōu)?/p>

即

其中f1（r），f2（r）滿(mǎn)足常微分方程組

由方程組（19），有

求解后，得到

其中Δ=4-4a2.在Δ＞0情形中為方程λ2+2λ+a2=0的兩個(gè)根；在Δ＜0情形中，

在本小節(jié)變換2的作用下得到的解均為乘法分離變量解，且在形如｛（x，y）：的集合上具有奇性，其中c為某個(gè)非負(fù)常數(shù).當(dāng)Δ≥0時(shí)，這樣的集合至多只有有限個(gè)，而當(dāng)Δ＜0時(shí)這樣的集合可能有無(wú)限多個(gè).

3.4形如u=u（ax+by，t）的解

這里考慮方程（5）形如u=u（ax+by，t）的解，則方程（5）轉(zhuǎn)化為

在此方程中，也采用兩種變量變換進(jìn)行求解.

變換1 v=1/u.

在方程（21）中，令v=1/u，有

其中ci（t），（i=0，1，2）滿(mǎn)足

求解后，得到方程（5）的解

當(dāng)a0/=0時(shí)，此解是廣義泛函分離變量解；否則，為乘法分離變量解.

考慮到解u＞0，在（23）式中，不妨設(shè)a2＞0.當(dāng)a0＞0時(shí)，由（23）式定義了方程（5）的一個(gè)整體解，且u→0（t→+∞）；當(dāng)a0=0時(shí)，由（23）式定義的方程（5）的解在集合

上具有奇性；當(dāng)a0＜0時(shí)，不妨設(shè)a0=-c2（c＞0）.此時(shí)，在集合

內(nèi)用（20）式定義方程（5）的n解，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓.此解有兩個(gè)爆破界o面

變換2 u=ωz.

在方程（21）中，令u=ωz.則它變?yōu)?/p>

由此方程組可以給出下面的關(guān)系式f1（z）=a1f2（z）+a2，及

求解方程（24），得到方程（5）的解

在變換2作用下，得到的解均為乘法分離變量解.這些解在形如｛（x，y）：ax+by=c｝的集合上具有奇性，當(dāng)a3≤0時(shí)這樣的集合至多有有限個(gè)，而當(dāng)a3＞0時(shí)這樣的集合可能有無(wú)限多個(gè).

注2在上文求解方程（5）形如u=f（ax+by，t）的解時(shí)，也沒(méi)有涉及方程（5）行波解的討論.這里對(duì)其行波解單獨(dú)進(jìn)行求解.令u=f（z），z=ax+by+ct，其中a2+b2/=0，c/=0.代入方程（5）后，有求解后，得到方程（5）的行波解

和

在（25）式中，假設(shè)c＞0.當(dāng)a2＜0時(shí)，考慮到u＞0，要求a1＜0.此時(shí)，（25）式定義了方程（5）的一個(gè)整體解，且

此解還是一個(gè)孤子解；當(dāng)a2＞0時(shí)，在集合｛（x，y）：ax+by＜s（t）｝內(nèi)可以用（25）式定義u，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓，其中

此時(shí)，解（25）具有爆破界面

當(dāng)c＜0時(shí)，可以進(jìn)行類(lèi)似的分析.

在（26）式中，假設(shè)c＞0.此時(shí)，在集合｛（x，y）：ax+by＜s（t）｝內(nèi)用（26）式定義u，其余點(diǎn)進(jìn)行無(wú)窮延拓，其中s（t）=-ct-（a/c）.此解具有爆破界面

4　總結(jié)

本文從分離變量的角度，討論了幾何流方程的精確解.在求解中，這里使用了各種變量變換.在變量變換意義下，結(jié)合擬設(shè)法和不變子空間方法給出了幾何流方程（4）和（5）的各種分離變量解，包括乘法分離變量解和廣義泛函分離變量解.這里得到的解包含了文獻(xiàn)［38］中應(yīng)用Lie群方法給出的所有分離變量解，并給出了很多新的分離變量解.例如，方程（5）的幾個(gè)廣義分離變量解.還對(duì)本文得到的解在性質(zhì)上進(jìn)行了分析，包括奇性分析和解隨時(shí)間演化情況的分析.另外，不變子空間方法是一種純數(shù)學(xué)的方法，使用它的過(guò)程也是分析方程中涉及的非線性微分算子代數(shù)性質(zhì)的過(guò)程.希望通過(guò)這種方法的使用，可以進(jìn)一步明確幾何流方程（4）和（5）相關(guān)的代數(shù)性質(zhì).

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M R Su b jec t C lassifica tion:53C 44；35C 99；83C 15

Separab le solu tions of geom etric flow

ZHU Chun-rong，CHU Pei-pei，HUANG Shou-jun
（College of M athem atics and Com puter Science，Anhui Norm al University，W uhu 241000，China）

In the sense of change of variab les，separab le solutions to the geometrical flows are constructed by invariant subspacemethod and ans¨atz-based method.Product separab le solutions and generalized functional separab le solutions are included.The behavior of these solutions are described.

geometrical flows；separab le solutions；invariant subspace method；ans¨atz-based method

O175.2

A

1000-4424（2016）02-0203-12

2016-02-23

國(guó)家自然科學(xué)基金（11301007）；安徽省自然科學(xué)基金（1408085QA 05；1408085M A 01）