加權(quán)Morrey空間上分數(shù)次極大算子的雙權(quán)不等式

張婷婷，劉秋菊，謝永紅?（.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟貿(mào)易系，河北石家莊050000；.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北石家莊05004）

加權(quán)Morrey空間上分數(shù)次極大算子的雙權(quán)不等式

張婷婷1，劉秋菊2，謝永紅2?
（1.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟貿(mào)易系，河北石家莊050000；2.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北石家莊050024）

Ye與W ang研究了Hardy-Littlewood極大算子在加權(quán)M orrey空間的雙權(quán)不等式.該文將Ye與Wang的結(jié)果拓展到分數(shù)次極大算子，此外也得到了Ap型的充分條件.

分數(shù)次極大算子；雙權(quán)不等式；加權(quán)Morrey空間

1　引言

設(shè)0≤α＜n，f是Rn上的可測函數(shù)，分數(shù)次極大算子Mα定義為

當α=0時，Mα即為Hardy-Littlewood極大算子M.

Sawyer在［1］中給出了Hardy-Littlewood極大算子以及其它正算子從Lp（ω）到Lq（u）有界的充分條件.Saw yer在［2］中得到了Mα的雙權(quán)強型不等式.Cruz-U ribe在［3］中用新的方法證明了Mα的雙權(quán)強型不等式.

設(shè)f是Rn上的可測函數(shù)，1＜p＜∞，0≤κ≤1，ω與u為權(quán)函數(shù)，加權(quán)Morrey空間定義為

其中上確界是對于Rn上任意邊平行于坐標軸的所有方體Q取的.若在上述定義中用球體B替代方體Q，得到的是同一個空間.

Morrey空間是由Morrey在［4］中研究二階橢圓偏微分方程解的局部正則性時引入的函數(shù)空間，在偏微分方程解的局部正則性研究中起著重要作用.Chiarenza與Frasca在［5］中證明了Hardy-Littlewood極大算子、分數(shù)次積分算子及奇異積分算子在M orrey空間上的有界性.由于Morrey空間是Lebesgue空間的推廣，因此研究各類算子在其空間上的加權(quán)有界性是自然而且有意義的.Komori與Shirai在［6］中得出了這些算子在加權(quán)Morrey空間上的有界性.關(guān)于各類積分算子在加權(quán)Morrey空間上的有界性，可參見［7-9］等文獻.Ye與Wang在［10］中得到了Hardy-Littlewood極大算子在加權(quán)Morrey空間的雙權(quán)不等式.

則極大算子M是從Lp，κ（ω）到Lp，κ（u）的有界算子.

本文主要討論Morrey空間上分數(shù)次極大算子的雙權(quán)不等式成立時的充分條件與必要條件，以下是本文的主要結(jié)果.

則分數(shù)次極大算子Mα是從Lp，κ（ωp，ωq）到的有界算子.

則分數(shù)次極大算子Mα是從Lp，κ（ωp，ωq）到的有界算子.

2　相關(guān)定義及引理

若ω（x）∈Lploc（R n），ω（x）≥0，a.e.x∈R n，則稱ω（x）為R n上的權(quán)函數(shù).

定義2.1（見［11，p21］）設(shè)1＜p＜∞，若

定義2.2（見［12，p261］）設(shè)1＜p，q＜∞，若

定義2.4若u是（p，q，κ）-權(quán)，ω是（p，q，κ）-特殊權(quán)，且有

則稱（u，ω）∈Sp，q，κ.

引理2.1（見［11，p22］）（a）設(shè)ω∈Ap，1＜p＜∞，則ω滿足二倍條件△2：對于任意方體Q，存在常數(shù)C＞0，使得ω（2Q）≤Cω（Q）；

（b）設(shè)ω∈Ap，1＜p＜∞，則ω滿足擬二倍條件：對于任意ε，0＜ε＜1，存在δ，0＜δ＜1，使得對任意方體Q，有ω（εQ）≤δω（Q）.

引理2.2（見［6，p221］）若ω∈Ap，q，1＜p＜q＜∞，則

引理2.3（見［3，p36］）設(shè)0≤α＜n，f≥0是局部可積函數(shù).若對于某個方體Q，存在t＞0，有Z

則存在二進方體P，使得Q?3P與

成立.

證明定理1.1，需要用到下面的引理.

可積，則下面兩條等價：

證事實上在（a）中令f=σχQ′便得到了（b）.另一方面的證明如下：首先，不失一般性，假設(shè)f∈Lp（ωp）為具有緊支集的非負有界函數(shù)，這確保了Mαf是幾乎處處有限的.以下面方式分解Rn：

則對于每個k及任意x∈Ωk，存在包含x的方體，使得

所以

其中y=N×Z，ν是y上的測度，其定義為

且對于每個可測函數(shù)h，算子T定義為

固定h≥0有界且具有緊支集，記

最后一個不等式應(yīng)用的是條件（b）.對于每個i，由于方體Pi是從方體族中提取的，所以存在在此種情況下，有Th（j，k）＞λ，所以

引理2.4證畢.

證明定理1.2，需要用到下面的引理.

引理2.5設(shè)0≤α＜n，1＜p＜q＜∞，0＜κ＜pq.若（u，ω）是權(quán)函數(shù)且σ=ωp（1-p′）局部可積，滿足擬二倍條件，則下面兩個不等式等價：

（1）存在常數(shù)C＞0，使得對于任意方體Q，有

（2）存在常數(shù)C＞0，使得對于任意方體Q及Q′，有

證若在（1）中取f=σχQ′，則（2）成立.（2）推出（1）的證明方法與引理2.4證明中（b）推（a）是相同的，只需要證明T是從的有界算子.利用以前相同的記號，則由不等式（2）式可得

3　主要結(jié)果的證明

因此

因此

定理1.2的證明此處省略其證明，因為除了由引理2.5，引理2.1（b）與引理2.2（b）外，證明方法與定理1.1相似.

定理1.3的證明設(shè)Q1，Q2，···，Q2n是內(nèi)部不相交，邊長相等的相鄰方體，且它們可以組成一個大的方體Q0.假設(shè)x∈Qi，i∈｛1，2，···2n｝，則對于j/=i，有

因此

易知Qj?3Qi，故

所以

［1］Saw yer E T.Two weight norm inequalities for certain m axim al and integral operators［J］. Lect Notes Math，1982，908:102-127.

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［9］Ye X iaofeng.Someestimates formultilinear commutatorson theweighted Morrey spaces［J］. M ath Sci，2012，6（1）:1-6.

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M R Su b jec t C lassifica tion:42B 20；42B 25

Tw o-weigh t norm inequalities for fractionalm ax im al operator on weighted M orrey spaces

ZHANG Ting-ting1，LIU Qiu-ju2，XIE Yong-hong2
（1.Departm ent of Econom y and Trade，Shijiazhuang Vocational Technology Institute，Shijiazhuang 050000，China；2.College of M athem atics and In form ation Science，Hebei Norm al University，Shijiazhuang 050024，China）

The tw o-weighted norm inequalities associated w ith the Hardy-Littlewood m axim al operator on weighted Morrey spaceswere discussed by Yeand Wang.These resultsof Yeand Wangwere expanded into fractionalm axim al operator，and su fficient cond itions for Aptype were also ob tained.

fractionalmaximal operator；two-weighted inequality；weighted M orrey space

O177

A

1000-4424（2016）02-0194-09

2015-10-10

2016-04-18

國家自然科學(xué)基金（11401164；11301136；11571089；11401159）；河北省自然科學(xué)基金（A 2014205069）；浙江省自然科學(xué)基金（LY 14A 010017）；河北師范大學(xué)博士基金（L2015B04）

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