帶有類(lèi)p-Laplacian算子的Kirchhoff型方程的多重解

張申貴，劉　華（西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730030）

帶有類(lèi)p-Laplacian算子的Kirchhoff型方程的多重解

張申貴，劉華
（西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730030）

研究一類(lèi)帶有類(lèi)p-Laplacian算子的K irchhoff型方程.利用對(duì)稱(chēng)山路定理，得到了多重解存在的充分條件，推廣和改進(jìn)了已有結(jié)果.

Kirchhoff型方程；類(lèi)p-Lap lacian算子；Dirich let邊值問(wèn)題；臨界點(diǎn)

1　引言

考慮D irichlet邊值問(wèn)題

問(wèn)題（1.1）中帶有類(lèi)p-Lap lacian算子，許多量子力學(xué)和流體力學(xué)中的數(shù)學(xué)模型都可以歸結(jié)為該問(wèn)題，例如“毛細(xì)現(xiàn)象”中廣義Cap iliarity方程為

近年來(lái)，學(xué)者們開(kāi)始利用臨界點(diǎn)理論對(duì)帶有類(lèi)p-Lap lacian算子和類(lèi)p（x）-Lap lacian算子的方程進(jìn)行了研究，如文［1-9］.當(dāng)p=2時(shí)，P.H.Rabinow itz給出著名的條件：（AR）存R 在μ＞2，L＞0，使得0＜μF（x，u）≤f（x，u）u，對(duì)所有x∈Ω和|u|≥L成立，其中F（x，s）=f（x，t）d t.特別地，文獻(xiàn)［1］和［2］在條件（AR）成立時(shí)，研究了問(wèn)題（1.1）解的存在性.條件（AR）可以保證非線(xiàn)性項(xiàng)f（x，u）關(guān)于變量u在無(wú)窮遠(yuǎn)處是超線(xiàn)性的.（AR）條件被廣泛的用于橢圓型偏微分方程邊值問(wèn)題、狄拉克方程、波方程、薛定諤方程和Ham ilton系統(tǒng)解存在性的研究中，但是很多超線(xiàn)性函數(shù)并不滿(mǎn)足條件（AR）.文［3-5］將條件（AR）推廣為更廣泛的超線(xiàn)性條件對(duì)x∈Ω一致成立，并在此條件下研究了問(wèn)題（1.1）解的存在性.

在研究古典D’Alembert波方程的彈性弦自由振動(dòng)的過(guò)程中，德國(guó)物理學(xué)家G.Kirchhoff建立了Kirchhoff方程.高維Kirchhoff模?型可以Z表達(dá)為?

該模型可用于描述生物的種群密度等平均量，其對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程為

其中a，b為正常數(shù).近年來(lái)，變分原理和臨界點(diǎn)理論已用于研究K irchhoff穩(wěn)態(tài)方程的可解性.本文中，研究Kirchhoff型方程Dirichlet邊值問(wèn)題

Ω是RN中具有光滑邊界的有界區(qū)域.

對(duì)所有x∈Ω和s∈R成立.其中p?表示Sobolev臨界指數(shù)

（M 0）設(shè)M（s）∈CR（R+，R+），存在m0＞0，有M（s）≥m0.

易見(jiàn)，問(wèn)題（1.1）對(duì)應(yīng)于問(wèn)題（1.2）中M（s）≡1的特殊情形.另外，本文假設(shè)非線(xiàn)性項(xiàng)滿(mǎn)足局部超線(xiàn)性條件：

（F1）設(shè)Ω0為Ω的一個(gè)正測(cè)度子集，使得一致成立，存在h∈ L1（Ω），有F（x，s）≥-h（x），對(duì)所有x∈Ω和s∈R成立.

在局部超線(xiàn)性條件下，將利用臨界點(diǎn)理論中的對(duì)稱(chēng)山路定理得到問(wèn)題（1.1）多重解存在性的充分條件.

2　預(yù)備知識(shí)

定義2.1［9］設(shè)E為Banach空間，若泛函φ∈C1（E，R）滿(mǎn)足：對(duì)任何｛un｝?E，由｛φ（un）｝有有收斂子列，則稱(chēng)泛函φ滿(mǎn)足（C）條件.

引理2.1［9］（對(duì)稱(chēng)山路定理）設(shè)E為實(shí)Banach空間，E=V⊕X，其中dim V＜+∞.若泛

（i）存在常數(shù)ρ，α＞0，使得φ|?Bρ∩X≥α.

3　主要結(jié)果

假設(shè)以下條件成立：

（F2）存在常數(shù)L＞0，C1＞0，當(dāng)|s|≥L時(shí)，有F（x，s）≥C1|s|.

（F3）存在常數(shù)L＞0，C2＞0，當(dāng)|s|≥L時(shí)，有

（F4）f（x，-s）=-f（x，s），對(duì)所有x∈Ω和s∈R成立.

本文的主要結(jié)果如下：

定理3.1設(shè)條件（M 0）-（M 1），（F0）-（F4）成立，則對(duì)任意的自然數(shù)n，問(wèn)題（1.2）至少有2n個(gè)非平凡解.

證利用引理2.1（對(duì)稱(chēng)山路定理）證明定理3.1.

由條件（M 0），（M 1），式（3.2），有

當(dāng)n充分大時(shí)，根據(jù)條件（F3）和式（3.1），有

由條件（M 0）及式（2.1），有

注意到當(dāng)n→∞時(shí)，有‖un‖→∞.由式（3.1），當(dāng)n充分大時(shí)，有

對(duì)所有x∈Ω和s∈R成立.

對(duì)u∈Zk，利用條件（M 0），（M 1），式（3.10），有

注3.1當(dāng)M（s）=1，Ω=Ω0，p=2時(shí)，則η=1.條件（AR）可以推出條件（F1）-（F3）成立［10］，另一方面，令f（x，u）=a（x）u ln（1+|u|），a（x）＞0，則f滿(mǎn)足定理3.1中條件，但不滿(mǎn)足條件（AR）.令M（s）=a+bs，p=2，其中a，b為正常數(shù).則M滿(mǎn)足（M 0），（M 1）.事實(shí)上，令p

此時(shí)，η=2，m0=a，則問(wèn)題（1.1）可以退化為方程

注3.2文獻(xiàn)［2］中研究的問(wèn)題為

易見(jiàn)，問(wèn)題（3.14）是更為一般的方程.對(duì)比文獻(xiàn)［2］中主要結(jié)果（Theorem 9），本文中的可解性條件更弱.另外，利用本文中類(lèi)似討論，也可以得到問(wèn)題（3.14）多重解的存在性結(jié)果.

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M R Su b jec t C lassifica tion:34B 15

M u ltip licity of solu tions for K irchhoff type equation involv ing the p-Lap lacian-like op erator

ZHANG Shen-gui，LIU Hua
（College of M athematics and Com puter Science，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030，China）

This paper dealsw ith a class of K irchhoff type equation involving the p-Lap lacian-like operator.Base on sysmm etric m ountain pass theorem，som e su fficient cond itions for the ex istence of mu ltiplicity of solutions are obtained，which generalize and im p rove the existing ones.

K irchhoff type equation；p-Lap lacian-like operator；D irichlet boundary value p roblem；critical point

O 175.14

A

1000-4424（2016）02-0153-08

2015-11-27

2016-03-25

國(guó)家自然科學(xué)基金（31260098）；天元數(shù)學(xué)基金（11326100）