類比分析方法在隨機(jī)信號(hào)分析課程教學(xué)中的實(shí)踐

夏平+龔國(guó)強(qiáng)+覃琴+孫水發(fā)

[收稿日期]20150926[基金項(xiàng)目]湖北省高校省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目（2012232）；三峽大學(xué)教學(xué)研究委托項(xiàng)目（W201505）

[作者簡(jiǎn)介]夏平（1967），男，湖北麻城人。教授，碩士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺、智能信息處理、多尺度幾何分析及應(yīng)用。[摘要]《隨機(jī)信號(hào)分析》課程主要討論隨機(jī)信號(hào)的信號(hào)分析以及隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)信號(hào)的影響，即隨機(jī)信號(hào)的系統(tǒng)分析問(wèn)題；《信號(hào)與系統(tǒng)》課程討論的是確知信號(hào)的系統(tǒng)分析問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程中采用類比分析的方法將這兩門課程內(nèi)容進(jìn)行比較，探討兩門課程研究對(duì)象與分析方法的異同，有助于學(xué)生正確理解和掌握《隨機(jī)信號(hào)分析》課程的基本概念、基本理論、及課程的體系結(jié)構(gòu)，為后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課《通信原理》的學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

[關(guān)鍵詞]隨機(jī)信號(hào)分析；信號(hào)與系統(tǒng)；類比分析；教學(xué)實(shí)踐

[中圖分類號(hào)]G642；TN911[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]10054634（2016）050083050引言

《隨機(jī)信號(hào)分析》課程是電子信息工程和通信工程等專業(yè)的一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。對(duì)隨機(jī)信號(hào)的信號(hào)分析、以及隨機(jī)信號(hào)（重點(diǎn)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)）通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)信號(hào)的影響分析是該課程的中心任務(wù)[13]。學(xué)生對(duì)該課程的掌握程度將對(duì)后續(xù)的《通信原理》《移動(dòng)通信》等重要專業(yè)基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接影響。

《隨機(jī)信號(hào)分析》課程的教學(xué)中，較多學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)存在兩方面的問(wèn)題[4]：（1）相當(dāng)多的學(xué)生將該課程作為一門數(shù)學(xué)課程來(lái)學(xué)習(xí)，沒有理解概念所包含的物理含義；（2）學(xué)生認(rèn)為這門課程內(nèi)容太難。究其原因，沒有從整體上把握這門課程討論的主要問(wèn)題是什么，與先修的《信號(hào)與系統(tǒng)》與《數(shù)字信號(hào)處理》等信號(hào)類課程的關(guān)系是什么。從本質(zhì)上講，《信號(hào)與系統(tǒng)》課程討論確知信號(hào)的系統(tǒng)分析問(wèn)題；《數(shù)字信號(hào)處理》探討確知信號(hào)的系統(tǒng)綜合問(wèn)題[4]；而《隨機(jī)信號(hào)分析》則闡述隨機(jī)信號(hào)的系統(tǒng)分析問(wèn)題?；诖?，本文以類比分析思想探討《信號(hào)與系統(tǒng)》與《隨機(jī)信號(hào)分析》課程的研究對(duì)象、體系結(jié)構(gòu)、分析方法的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生正確理解隨機(jī)信號(hào)的基本概念和基本分析方法。

1《隨機(jī)信號(hào)分析》課程體系結(jié)構(gòu)

《隨機(jī)信號(hào)分析》課程從隨機(jī)信號(hào)分析與處理的角度，討論了隨機(jī)信號(hào)的基本信號(hào)分析方法以及隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)信號(hào)產(chǎn)生的影響[5]。本課程重點(diǎn)考慮的是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的信號(hào)分析，以及平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的影響。

隨機(jī)信號(hào)是自然界和人類社會(huì)常見的一種信號(hào)形式，針對(duì)單次實(shí)驗(yàn)而言，隨機(jī)信號(hào)似乎沒有規(guī)律，但隨機(jī)信號(hào)的規(guī)律性體現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的集體現(xiàn)象中，即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。因此，統(tǒng)計(jì)與概率的概念伴隨《隨機(jī)信號(hào)分析》課程的始終，也是隨機(jī)信號(hào)分析的出發(fā)點(diǎn)，隨機(jī)信號(hào)的表述方式以及推演方式都應(yīng)以統(tǒng)計(jì)特性和規(guī)律為出發(fā)點(diǎn)，這是本課程一個(gè)最根本的特征，這與確知信號(hào)的信號(hào)分析有本質(zhì)的區(qū)別。隨機(jī)信號(hào)的信號(hào)分析方法，類似于確知信號(hào)的信號(hào)分析方法，仍然從兩個(gè)方面描述：時(shí)域分析和頻域分析，在隨機(jī)信號(hào)的這兩種描述中，其研究對(duì)象都是針對(duì)隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)變量進(jìn)行討論。

線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的影響亦從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度進(jìn)行分析。時(shí)域中主要探討零狀態(tài)響應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)的特性，包括響應(yīng)隨機(jī)信號(hào)是否平穩(wěn)，響應(yīng)隨機(jī)信號(hào)與激勵(lì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、以及系統(tǒng)沖激響應(yīng)之間的關(guān)系等。頻域分析中主要探討零狀態(tài)響應(yīng)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度與激勵(lì)隨機(jī)信號(hào)功率譜密度之間的關(guān)系，同時(shí)，建立了平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)域分析與頻域分析之間的聯(lián)系，即維納—辛欽定理，如圖1所示。

2類比分析方法在課程教學(xué)中的實(shí)踐

《隨機(jī)信號(hào)分析》課程作為電子信息類專業(yè)信號(hào)分析類課程之一，其課程的體系結(jié)構(gòu)、分析思想和分析方法與信號(hào)類其它課程有許多相似的地方，特別是《信號(hào)與系統(tǒng)》課程。兩課程分別探討隨機(jī)信號(hào)的系統(tǒng)分析和確知信號(hào)的系統(tǒng)分析。因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，采用類比分析方法有助于本課程的學(xué)習(xí)，講授過(guò)程中通過(guò)與《信號(hào)與系統(tǒng)》課程相關(guān)內(nèi)容的比較，分析兩門課程內(nèi)容的異同，便于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這兩門課程基本概念、基本思想的理解與掌握。

2.1課程體系類比

綜觀《信號(hào)與系統(tǒng)》課程，主要討論確知信號(hào)的兩大系統(tǒng)的系統(tǒng)分析問(wèn)題，即：線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)分析問(wèn)題。系統(tǒng)分析就是要解決已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)，依據(jù)激勵(lì)探討系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的影響問(wèn)題，如圖2所示。

與圖1類比不難發(fā)現(xiàn)，《隨機(jī)信號(hào)分析》與《信號(hào)與系統(tǒng)》兩門課程在體系結(jié)構(gòu)上相似。相同之處：都是探討信號(hào)經(jīng)過(guò)已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)分析問(wèn)題；其分析思路都是從信號(hào)分析和系統(tǒng)分析兩個(gè)方面進(jìn)行；并且，無(wú)論哪一方面都是從時(shí)域分析和頻域分析兩個(gè)角度展開；研究對(duì)象都是主要針對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)。不同之處在于：研究的對(duì)象（信號(hào)）不同，《信號(hào)與系統(tǒng)》課程針對(duì)（連續(xù)、離散）確知信號(hào)，而《隨機(jī)信號(hào)分析》課程針對(duì)隨機(jī)信號(hào)?；诖耍S機(jī)信號(hào)的信號(hào)分析思想與確知信號(hào)的分析思想存在本質(zhì)的不同，隨機(jī)信號(hào)的樣本顯示的隨機(jī)性以及每一紀(jì)錄在隨機(jī)信號(hào)中以一定的概率出現(xiàn)決定了其分析必須采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行。

通過(guò)兩門課程體系結(jié)構(gòu)的類比，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)能較快地把握《隨機(jī)信號(hào)分析》課程的主要研究問(wèn)題，找出與先修《信號(hào)與系統(tǒng)》課程之間的聯(lián)系與差別，提高學(xué)習(xí)的針對(duì)性。

2.2研究對(duì)象與分析方法類比

兩門課程一個(gè)研究對(duì)象是確知信號(hào)，另一個(gè)是隨機(jī)信號(hào)，根據(jù)這兩類信號(hào)的特點(diǎn)，確知信號(hào)能建立具體的數(shù)學(xué)模型，能用精確的數(shù)學(xué)函數(shù)描述，因此其時(shí)域分析（包括信號(hào)的平移、反褶、尺度變換、多信號(hào)的和與積等）相對(duì)較簡(jiǎn)單。當(dāng)信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)，其頻域分析用傅里葉變換進(jìn)行。而隨機(jī)信號(hào)因每一樣本以一定的概率隨機(jī)變化，無(wú)法用確定的數(shù)學(xué)模型描述信號(hào)的變化規(guī)律，盡管某個(gè)記錄的出現(xiàn)是隨機(jī)的，但信號(hào)的每一記錄均是以一定的概率出現(xiàn)，服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。因此，隨機(jī)信號(hào)的時(shí)域分析應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的思想研究其變化規(guī)律。

同時(shí)，兩門課程討論的系統(tǒng)主要是線性時(shí)不變系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性等性質(zhì)在兩門課程的分析中都是一致的。換言之，《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的線性時(shí)不變系統(tǒng)知識(shí)與分析方法在《隨機(jī)信號(hào)分析》的學(xué)習(xí)中可以直接應(yīng)用。

3幾個(gè)基本概念討論

3.1隨機(jī)信號(hào)與隨機(jī)變量的理解

隨機(jī)信號(hào)與隨機(jī)變量概念是兩個(gè)最基本的概念，貫穿整個(gè)課程學(xué)習(xí)的始終。兩個(gè)概念實(shí)際上從先修的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》就有所接觸，盡管如此，在《隨機(jī)信號(hào)分析》的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，仍有相當(dāng)?shù)膶W(xué)生對(duì)這個(gè)概念缺乏認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)在研究隨機(jī)信號(hào)的基本特征時(shí)，不少學(xué)生總認(rèn)為是用隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行分析，求統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，不少學(xué)生對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分等。事實(shí)上，隨機(jī)信號(hào)的信號(hào)分析是針對(duì)隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)或幾個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行研究，通過(guò)不同時(shí)刻隨機(jī)變量的基本特征反映該隨機(jī)信號(hào)的規(guī)律性。

隨機(jī)信號(hào)將確知信號(hào)的概念從實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系推廣到實(shí)數(shù)與隨機(jī)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)確知信號(hào)而言，t∈T時(shí)，總有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)；而隨機(jī)信號(hào)，t∈T時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的X（t）是某固定時(shí)刻t的一個(gè)隨機(jī)變量。

隨機(jī)信號(hào)是隨機(jī)變量概念的推廣，隨機(jī)變量是在固定時(shí)間t上試驗(yàn)的結(jié)果，是一個(gè)數(shù)的集合；而隨機(jī)信號(hào)是在t∈T上試驗(yàn)結(jié)果，是一個(gè)時(shí)間函數(shù)的集合，當(dāng)t確定時(shí)，隨機(jī)信號(hào)就成為一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律反映了隨機(jī)信號(hào)每一樣本在該時(shí)刻的變化規(guī)律。因此，隨機(jī)信號(hào)的分析中，統(tǒng)計(jì)平均的積分，所涉及的t應(yīng)該理解為任意選取時(shí)刻t，一旦選定，t是一個(gè)固定值，是選取的時(shí)刻。

3.2基本特征的信號(hào)類型

隨機(jī)信號(hào)的基本特征主要涉及6個(gè)物理量：概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、方差、自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)等，主要探討隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)或幾個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所求得的這些物理量是確知信號(hào)，不再是隨機(jī)的，物理量中的t1、t2、t3、…反映的是隨機(jī)變量所在的時(shí)刻。

3.3統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交

數(shù)學(xué)期望和方差反映了單一隨機(jī)變量各自的均值與偏離均值的程度，并沒能反映隨機(jī)變量間的關(guān)系，在隨機(jī)信號(hào)的分析中，經(jīng)常需要考慮：（1）單個(gè)隨機(jī)信號(hào)兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系；（2）判斷兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)信號(hào)之間的關(guān)系。因而，常涉及統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交等基本概念。在（2）問(wèn)題中，隨機(jī)信號(hào)之間的關(guān)系根據(jù)3.1節(jié)的討論可知，最終考查的仍然是兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)變量之間的關(guān)系。

從定義上講，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立反映隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性相互獨(dú)立，具體地，指隨機(jī)信號(hào)n個(gè)隨機(jī)變量的n維分布函數(shù)或n維概率密度函數(shù)相互獨(dú)立，其聯(lián)合分布函數(shù)或概率密度函數(shù)等于這n個(gè)隨機(jī)變量各自一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)的乘積；一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)變量間的“相關(guān)性”反映的是隨機(jī)變量的波動(dòng)方式是否一致，不相關(guān)指隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)變量間的波動(dòng)不存在一致性，常用互相關(guān)函數(shù)或互協(xié)方差函數(shù)來(lái)衡量，不相關(guān)的互相關(guān)函數(shù)等于這兩個(gè)時(shí)刻隨機(jī)變量各自數(shù)學(xué)期望的乘積，或互協(xié)方差函數(shù)為0。而兩隨機(jī)信號(hào)正交指隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為零。

隨機(jī)信號(hào)分析中，常探討多維隨機(jī)變量的線性相關(guān)性問(wèn)題，除從定義的角度說(shuō)明相關(guān)性外，借助隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)理解隨機(jī)變量間的相關(guān)程度更加直接[6]。為此，將問(wèn)題簡(jiǎn)化，探討兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y是否滿足線性關(guān)系：Y=mX+n；m，n為常數(shù)。為此，探討如何選擇m，n可使mX+n與Y最接近？

由式（4），ρXY表征了隨機(jī)變量X、Y之間線性關(guān)系緊密程度，當(dāng)|ρXY|較大時(shí)，X、Y之間的線性相關(guān)程度較好；當(dāng)|ρXY|較小時(shí)，X、Y之間的線性相關(guān)程度較差；當(dāng)|ρXY|=0，X、Y之間不相關(guān)。

隨機(jī)變量的線性相關(guān)關(guān)系是一種概率意義下的關(guān)系，主要是由于隨機(jī)變量任意時(shí)刻取值是隨機(jī)的，每一個(gè)值是隨機(jī)變量集內(nèi)以一定概率出現(xiàn)的值，因此，在XOY平面內(nèi)，由隨機(jī)變量X、Y所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)為一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）[7]?；诖?，隨機(jī)變量X、Y之間線性關(guān)系實(shí)質(zhì)是隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）在平面XOY內(nèi)的散點(diǎn)分布在直線Y=mX+n附近。從分布的趨勢(shì)看，它們與直線Y=mX+n形狀相似，相似程度由ρXY確定。

由上述討論，不相關(guān)的充要條件：（1）|ρXY|=0；（2）Cov（X、Y）=0；（3）E（X、Y）=E（X）E（Y）。

以上3個(gè)條件等價(jià)，隨機(jī)變量間不相關(guān)并不意味它們正交，只是它們沒有線性關(guān)系，但很可能存在其它函數(shù)關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交三者之間的關(guān)系：（1）隨機(jī)信號(hào)若統(tǒng)計(jì)獨(dú)立則一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)高斯隨機(jī)信號(hào)時(shí)，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)。從統(tǒng)計(jì)角度看，保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件要比不相關(guān)還要嚴(yán)格；（2）隨機(jī)信號(hào)的不相關(guān)與正交之間無(wú)必然聯(lián)系。不相關(guān)的隨機(jī)信號(hào)，至少其中有一個(gè)隨機(jī)變量的期望為0時(shí)，隨機(jī)變量才互相正交。反之，正交的隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)至少其中之一隨機(jī)變量的期望為0時(shí)，才不相關(guān)，見圖3。

3.4功率譜密度函數(shù)的認(rèn)識(shí)

隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度主要是由于隨機(jī)信號(hào)是功率信號(hào)，其平均功率是一有限值。因此，功率譜密度是針對(duì)隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)變量而言，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)而言，隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間是一對(duì)傅里葉變換對(duì)的關(guān)系，因而，隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的頻譜。

4結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合先修課程《信號(hào)與系統(tǒng)》，類比了《隨機(jī)信號(hào)分析》與《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的體系結(jié)構(gòu)、分析方法，從兩個(gè)不同角度討論了兩門課程中信號(hào)的系統(tǒng)分析方法與思想。由于兩門課程研究對(duì)象不一樣，因此，信號(hào)分析中兩門課程采用不同的分析方法。同時(shí)，線性、時(shí)不變性的系統(tǒng)的分析思想在這兩門課程中是一致的。文章最后對(duì)課程中幾個(gè)基本概念進(jìn)行了討論。通過(guò)類比分析，便于學(xué)生盡快掌握《隨機(jī)信號(hào)分析》課程的體系結(jié)構(gòu)和主要研究?jī)?nèi)容，有助于學(xué)生對(duì)本課程的基本概念和基本理論理解和掌握，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

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based on analogy method

Xia Ping，Gong Guoqiang，Qin Qin，Sun Shuifa

（College of Computer and Information Technology，Three Gorges University，Yichang，Hubei443002，China）

AbstractRandom signal analysis course mainly focuses on the signal analysis of random signal，and the influence of the random signal after through the linear time invariant system （LTI）.The course of signal and system is discussed in the system analysis of the known signals.In the process of teaching，comparing the contents of these two courses by analogy analysis，exploring the similarities and differences between the two courses research object and the analysis method ，which is conductive to enhance the students′ abilities to correctly understand and master the basic concepts，theory，and architecture of the course.Simultaneously，it helps students to lay a solid foundation for the study of the communication principle course.

Key wordsrandom signal analysis；signals and systems；analogy method；teaching practice