“1”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

馬仁珠

（龍巖第二中學(xué)，福建龍巖364000）

“1”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

馬仁珠

（龍巖第二中學(xué)，福建龍巖364000）

數(shù)學(xué)中“1”，在不同的章節(jié)知識(shí)里都有很多種不同的特征表示，深入挖掘，靈活應(yīng)用，可以使很多問題得到巧妙、快速的解答。

“1”；構(gòu)造；題目特征；數(shù)學(xué)解題

在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，巧用“1”進(jìn)行代換是屢見不鮮的。在求解三角形、不等式等問題時(shí)有著不可替代的作用。下面舉例說明常數(shù)“1”在解題中的許多巧妙應(yīng)用。

一、“1”的不同身份：

①a0=1（a≠0）；②lo gaa=1（a＞0且a≠1）；③tan45° =1，sin90°=1，cos0°=1；④-i2=1（i為虛數(shù)單位）；⑤x=1；⑥sin2=α+cos2α=1；⑦tanα·c o tα=1等等。

二、“1”在指、對(duì)數(shù)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中，若能根據(jù)題目特征，巧妙地利用“1”作代換，常能出奇制勝，取得較好的解題效果。

例1.解方程2x-1=1.

解：∵2x-1=1∴2x-1=20∴x-1=0即x=1.

例2.解不等式lgx＞1.

解∵1=lg10則lgx＞lg10，∴x＞10.

例3.求y=lo ga（x-2）的圖像恒過定點(diǎn)______.

解：∵lo ga1=0（a＞0且a≠1）∴x-2=1即x=3.∴定點(diǎn)為（3，0）.

三、“1”在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在解答一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)需要將一個(gè)解析式的“1”用一個(gè)值等于1的解析式來代替，這是常數(shù)“1”的整體代換功能。

解：∵sin2α+cos2α=1，

在三角恒等變換中，常見的拓展變式有：1+sin2α =（sinα+cosα）2，1-sin2α=（sinα-cosα）2，1+cos2α =2 cos2α.1-cos2α=2sin2α.

例5.利用和（差）角公式計(jì)算1+tan150

的值.1-tan150解：∵1=tan450，

解題思路：利用tan450=1構(gòu)造形如公式tan（α+例6.已知tanα=3，求：sin2α+cos2α的值.解：∵tanα=3，

四、“1”在基本不等式中求最值的應(yīng)用

∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y的最小值等于16.

解題思路：由于已知條件右邊是一定值1，且左邊各項(xiàng)均為正數(shù)，所以可以用整體換元，代入消元，“1”的代換等方法求解，達(dá)到運(yùn)用基本不等式的目的。

五、“1”在導(dǎo)數(shù)解題中的應(yīng)用

例8.已知f（x）=lnx+a（1-x），

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍。

解：（Ⅰ）略

∴x＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）是增函數(shù)。又g（1）=0，上述不等式即g（a）＜g（1），∴0＜a＜1，即a∈（0，1）.

解題思路：在第（Ⅱ）題的解析中，關(guān)鍵是能估算出g（1）=0，再利用單調(diào)性對(duì)不等式lnx+x-1＜0進(jìn)行解答。

六、“1”在二項(xiàng)展開式中求系數(shù)和的應(yīng)用

例9.求（x+1）n展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.

簡(jiǎn)析：依題意作出示意圖，可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。因鉛球走的路線是拋物線，故問題被轉(zhuǎn)化為求拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。由已知條件可求得拋物線的解析式，再進(jìn)一步求拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（五）建立目標(biāo)函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值求解問題

例5.某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長(zhǎng)方體，抽屜底面周長(zhǎng)為180 cm，高為20 cm。請(qǐng)通過計(jì)算說明，假設(shè)材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)，當(dāng)?shù)酌娴膶挒槎嗌贂r(shí)，抽屜的體積最大？最大

例10.求（2x+1）n展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.

其展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為

七、“1”在概率事件中的應(yīng)用

例11.某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2，0.3，0.1.則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為________.

解：設(shè)此射手在一次射擊中不超過8環(huán)為事件A，則P（A）=1-（0.2+0.3）=0.5

“1”是一個(gè)特殊的數(shù)，在不同的章節(jié)知識(shí)里它都有很多種不同的表示結(jié)果，深入挖掘，靈活應(yīng)用，可以使很多問題迎刃而解，取得事半功倍之效.

［1］桑婭潔.數(shù)學(xué)解題，“1”馬當(dāng)先［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（21）.

［2］游曉荔.淺談公式sin2α+cos2α=1的巧用［J］.才智，2014（21）.

［3］余明芳.王欽敏.怎樣聯(lián)想［J］.中學(xué)生時(shí)代，2005（24）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）

數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以解決生活中的實(shí)際問題。作為數(shù)學(xué)教師，要善于激勵(lì)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，注重引導(dǎo)學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，親身體驗(yàn)將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的全過程，從而培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力。為多少？（建立目標(biāo)函數(shù)模型問題）

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：王欽敏）