射彈動力學(xué)方程的修正與超空泡形態(tài)

何生生侯坤元劉詩琪吳明和滕保華

（1電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)院，四川成都 610054；2電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，四川成都 610054；3電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川成都 610054）

射彈動力學(xué)方程的修正與超空泡形態(tài)

何生生1侯坤元2劉詩琪2吳明和3滕保華3

（1電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)院，四川成都 610054；2電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，四川成都 610054；3電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川成都 610054）

超空泡的形成對水下高速射彈運(yùn)動有著非常重要的影響，為了更加全面地反映超空泡對水下射彈運(yùn)動的作用以及超空泡的形態(tài)變化規(guī)律，通過對通常的射彈動力學(xué)方程進(jìn)行修正，并結(jié)合Logvinovich原理，得到了在超空泡的影響下水下射彈的速度和位移的解析表達(dá)式，同時結(jié)合數(shù)值仿真研究了水下射彈運(yùn)動過程中產(chǎn)生的超空泡形態(tài)的變化規(guī)律.解析分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，如果修正項系數(shù)越大，將導(dǎo)致射彈速度衰減得越快，完整空泡擴(kuò)展時間越短，空泡長度越小，以及最大空泡截面半徑越小，從而越不利于超空泡的形成.

射彈動力學(xué)方程；超空泡；Logvinovich方程

通常水下射彈在高速運(yùn)動時，伯努利效應(yīng)將導(dǎo)致其周圍流體的壓力急速下降.當(dāng)壓力低于當(dāng)前溫度下飽和蒸氣壓時，就會有蒸氣形態(tài)的空泡形成.當(dāng)射彈速度足夠高時，空泡形成包絡(luò)，即形成超空泡.超空泡將射彈包裹在其中，使射彈只有少數(shù)幾點與周圍流體直接接觸，使得射彈在超空泡中的運(yùn)動阻力遠(yuǎn)小于在水中的阻力，從而為提高射彈水下運(yùn)動速度提供了一個非常有效的途徑［1-4］.

目前關(guān)于超空泡形態(tài)的研究，一方面基于相關(guān)的經(jīng)驗公式進(jìn)行數(shù)值仿真研究［5-7］，另一方面也可根據(jù)相關(guān)原理并結(jié)合實驗，解析和定量描述超空泡形態(tài)［8-10］.比如李魁彬等人利用Logvinovich原理和Riabouchinsky空泡閉合模型，研究了空泡形態(tài)的一些動力學(xué)問題，并分析了首尾壓差對射彈速度的影響以及射彈運(yùn)動時間對完整空泡擴(kuò)展時間的影響等［8］.本文通過計入一階阻尼項，修正了通常的射彈動力學(xué)方程，并解析分析了修正項對超空泡形態(tài)的影響.

1 理論分析

以射彈初始點為坐標(biāo)原點建立絕對坐標(biāo)系x Oy，以射彈空化器為坐標(biāo)原點建立射彈相對坐標(biāo)系x Oy，x軸正方向為射彈的運(yùn)動方向，絕對時間軸t的相反方向為射彈相對坐標(biāo)系的相對時間軸tx，如圖1所示.

圖1 射彈體運(yùn)動圖示

通常的射彈動力學(xué)方程［8］為其中，v為絕對坐標(biāo)系中射彈的速度；t為絕對坐標(biāo)系的時間；m為射彈的質(zhì)量；ρ為水的密度；Rn為空化器的半徑；Cx0為σ=0時的阻力系數(shù)；patm為大氣壓；H為射彈在水中的深度；g為重力加速度；pc為飽和蒸氣壓.式（1）可以簡化為

可以看出，通常的射彈動力學(xué)方程只包含速度的零階和二階阻尼項，考慮到更一般的運(yùn)動物體所受到的阻尼與速度的零階、一階、二階項均有關(guān)，為更加全面地分析射彈的運(yùn)動規(guī)律，本文添加關(guān)于速度的一階阻尼項αμv，從而得到修正的射彈動力學(xué)方程

根據(jù)上述計入速度一階阻尼項后的射彈動力學(xué)方程（3）可以發(fā)現(xiàn)，在不同速度條件下，速度的一階和二階阻尼項對射彈運(yùn)動的影響是不同的.理論上可以知道，當(dāng)v＜μ時，速度的一階阻尼項對射彈運(yùn)動的影響是主要；反之，速度的二階阻尼項才更為重要.同時計入速度一階阻尼項后，射彈動力學(xué)方程依然可以解析求解，于是得到絕對坐標(biāo)系下射彈速度的解析表達(dá)式

以及絕對坐標(biāo)系下射彈位移的解析解

然后求解Logvinovich獨立擴(kuò)展方程［11］:

得到在絕對坐標(biāo)系下t時刻和ξ位移處空泡的截面積S（ξ，t）.這里k1=4π/A2，而A為微弱依賴于空泡數(shù)σ的系數(shù)，通常取經(jīng)驗值2.

再通過坐標(biāo)變換式v（tx）=v（t-tx）x和x（tx）=x（t-tx）-x（t），將絕對坐標(biāo)系下的速度和位移解析式變換到射彈相對坐標(biāo)系，結(jié)合空泡的截面積S（ξ，t），最終得到射彈相對坐標(biāo)系中空泡截面半徑表達(dá)式:

2 數(shù)值仿真

根據(jù)上述一系列解析公式，將一階阻尼系數(shù)對射彈速度、射彈位移、空泡截面半徑的影響進(jìn)行數(shù)值仿真，在數(shù)值計算中相關(guān)參數(shù)的取值如下:

Rn=1.00×10-3m，m=0.15kg，l=0.06m，v0=1.00×103m·s-1，patm=1.01×105Pa，pc= 2.35×103Pa，H=10m，而下面各圖中不同線形的曲線對應(yīng)一階阻尼項系數(shù)μ分別取值0，45，110，200.

圖2為絕對坐標(biāo)系下射彈速度與時間的變化規(guī)律.可以看出，一階阻尼項對射彈速度有著明顯的影響，一階阻尼項系數(shù)μ值越大，射彈速度減小地越快.比如當(dāng)一階阻尼項系數(shù)為200時，經(jīng)過0.72s射彈速度由1.00×103m·s-1衰減為62.10m·s-1.

圖2 射彈速度隨時間的變化

圖3顯示了射彈位移與時間的變化規(guī)律.同樣可以明顯看出，一階阻尼項系數(shù)μ值越大，則射彈位移增加地越慢，達(dá)到平緩段所用的時間越短.比如，當(dāng)一階阻尼項系數(shù)為200時，經(jīng)過2.00s其位移為2.02×102m，此時速度更是衰減為3.70m·s-1.

圖3 射彈位移隨時間的變化

圖4 空泡截面半徑與時間的關(guān)系

圖4顯示出空泡截面半徑隨時間的變化規(guī)律.一階阻尼項系數(shù)μ越大，則完整空泡的擴(kuò)展時間越小.同時可以看出，一階阻尼項系數(shù)μ對空泡截面半徑的作用在空泡開始處的影響作用不明顯，但在靠近空泡閉合處其影響作用非常明顯.特別地，取絕對時刻為0.70s和一階阻尼項系數(shù)為200，則相對時刻為6.00×10-4s時，空泡截面半徑為1.00×10-3m.根據(jù)Riabouchinsky空泡閉合模型［8］，此時空泡達(dá)到閉合狀態(tài)，因此在該條件下完整空泡的擴(kuò)展時間為6.00×10-4s.

為了更直觀地觀察超空泡的變化情況，圖5顯示出空泡截面與位移的變化關(guān)系.同時圖中給出了與已有經(jīng)驗公式的比較，而經(jīng)驗公式采用Savchenko［12］提出的空泡無量綱半徑公式

圖5 絕對時刻0.7s時空泡截面半徑與位移的關(guān)系

可以看出，當(dāng)一階阻尼項為零時，空泡截面半徑與經(jīng)驗公式較為吻合.但是考慮一階阻尼項系數(shù)μ后（比如圖5中μ取45時），空泡截面半徑與經(jīng)驗公式更為符合.并且還可看出，隨著一階阻尼項系數(shù)增大，則空泡的長度越小，最大空泡截面積越小，這樣就越不利于超空泡的形成.比如，當(dāng)一階阻尼項系數(shù)為200時，經(jīng)過0.70s的時間，空泡長度為3.86×10-2m，空泡截面最大半徑為3.20× 10-3m，射彈速度由1.00×103m·s-1已經(jīng)衰減為65.00m·s-1.

3 結(jié)語

首先通過添加一階阻尼項對射彈動力學(xué)方程進(jìn)行了修正，然后得到了修正的射彈動力學(xué)方程的射彈速度和位移的解析表達(dá)式，并結(jié)合Logvinovich方程對超空泡形態(tài)進(jìn)行了數(shù)值研究.結(jié)果表明，一階阻尼項系數(shù)對射彈運(yùn)動以及空泡形態(tài)都有明顯的影響.當(dāng)一階阻尼項系數(shù)越大，則射彈速度衰減地越快，完整空泡的擴(kuò)展時間越短，空泡長度越小，空泡截面最大半徑也越小，這樣就越不利于空泡的形成.

［1］Guang Feng，Wei-qi Chen.Simulation of unsteady artificial super-cavities［J］.Journal of Hydrodynamics，2010，22（5）: 905-911.

［2］顏開，褚學(xué)森，許晟，等.超空泡流體動力學(xué)研究進(jìn)展［J］.船舶力學(xué)，2006，10（4）:148-155.

［3］張學(xué)偉，張亮，王聰，等.基于Logvinovich獨立膨脹原理的超空泡形態(tài)計算方法［J］.兵工學(xué)報，2009，30（3）:361-365.

［4］嚴(yán)導(dǎo)淦.流體力學(xué)中的總流伯努利方程［J］.物理與工程，2014（4）:47-53.

［5］王海斌，張嘉鐘，魏英杰，等.空泡形態(tài)與典型空化器參數(shù)關(guān)系的研究——小空泡數(shù)下的發(fā)展空泡形態(tài)［J］.水動力學(xué)研究與進(jìn)展，2005，A輯20（2）:251-257.

［6］周家勝，易文俊，王中原，等.水下射彈的空泡形態(tài)特性研究［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2007，27（3）:173-178.

［7］賈力平，張嘉鐘，于開平，等.空化器線性與超空泡減阻效果關(guān)系研究［J］.船舶工程，2006，28（2）:20-23.

［8］李魁彬，王安穩(wěn)，施連會，等.基于Logvinovich原理超空泡形態(tài)解析解研究［J］.彈道學(xué)報，2013，25（2）:103-106.

［9］袁緒龍，張宇文，劉樂華，等.水下航行體通氣超空泡形態(tài)實驗研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2004，21（3）:33-37.

［10］劉玉秋，張嘉鐘，于開平，等.非流線型航行體超空泡減阻的實驗分析和數(shù)值模擬［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2006，27（3）:335-338.

［11］LOGVINOVICH G V.Hydrodynamics of flow with free boundaries［M］.Kiev:Naukova Dumka，1969.

［12］SAVCHENKO Y N.Experimental investigation of supercavitating motion of bodies［J］.Supercavitaing Flows，2001（4）:1-30.

THE MODIFIED EQUATION OF PROJECTILE MOTION AND SUPERCAVITY SHAPE

He Shengsheng1Hou Kunyuan2Liu Shiqi2Wu Minghe3Teng Baohua3

（1School of Microelectronics and Solid-State Electronics；2School of Communication&Information Engineering；3School of Physical Electronics；University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 610054）

The supercavity has a great influence on the underwater projectile high speed motion.In order to more comprehensively reflect the influence of cavity section on the underwater projectile motion and the changes of supercavity shape，this paper modifies the common equation of motion and obtains the analytical solution of speed and displacement of underwater projectiles based on Logvinovich’s principle.Then using numerical simulation，this paper studies the changes of supercavity shape during the underwater projectile motion.Analytical and numerical results show that the bigger correction factor，the faster the velocity decays，the shorter the expansion time of the complete cavity，the shorter the length of cavity，and the smaller the biggist radius of cavity section，which is adverse to the formation of cavity section.

equation of projectile motion；supercavity；equation of Logvinovich

2015-09-27

2016-02-01

何生生，男，電子科技大學(xué)微電子專業(yè)本科生.

指導(dǎo)老師:滕保華，男，教授，從事凝聚態(tài)物理研究和大學(xué)物理教學(xué)工作.

何生生，侯坤元，劉詩琪，等.射彈動力學(xué)方程的修正與超空泡形態(tài)［J］.物理與工程，2016，26（4）:96-99.