弦橫振動(dòng)方程推導(dǎo)中常用近似的教學(xué)改進(jìn)

鄭 勇

（黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州都勻 558000）

弦橫振動(dòng)方程推導(dǎo)中常用近似的教學(xué)改進(jìn)

鄭 勇

（黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州都勻 558000）

數(shù)學(xué)物理方法課程中弦橫振動(dòng)方程的常見推導(dǎo)方法都是在“橫振動(dòng)假定”基礎(chǔ)上進(jìn)行，為得到振動(dòng)方程的形式，往往需要引入較為復(fù)雜的三角函數(shù)近似和弦中張力不變等近似處理.本文通過分析發(fā)現(xiàn)，若充分利用由“橫振動(dòng)假定”得到的弦中張力縱向分量處處平衡的結(jié)論，不對(duì)這一結(jié)論做近似處理，反而能夠更簡(jiǎn)單地完成推導(dǎo).進(jìn)一步分析比較了兩種推導(dǎo)方法的合理性，發(fā)現(xiàn)兩種推導(dǎo)方法，甚至“橫振動(dòng)假定”，都只在小幅橫振動(dòng)條件下成立.

弦；振動(dòng)方程；近似

推導(dǎo)輕弦橫振動(dòng)方程往往是數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)中必不可少的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，但是教學(xué)難度并不低.究其原因，主要在于推導(dǎo)過程中用到一些很難讓初學(xué)者信服的近似，比如，在各種版本的數(shù)學(xué)物理方法教材［1-5］中，在建立方程時(shí)都要假定弦內(nèi)張力在振動(dòng)過程中保持不變，還要用到諸如“sinα≈tanα”的近似，以便引入導(dǎo)數(shù)建立方程.雖然在小幅振動(dòng)時(shí)這些近似都是合理的，但是初學(xué)者接受起來往往并不容易.尋求更適合課堂教學(xué)的推導(dǎo)方法是必要的.

為此，我們對(duì)該部分教學(xué)內(nèi)容作了仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)其實(shí)只需要對(duì)教科書中常見的推導(dǎo)過程稍加改進(jìn)，就可以極大地改善推導(dǎo)過程的嚴(yán)密程度，而且還更為簡(jiǎn)潔明了.值得注意的是，我們這里所說的“改進(jìn)”主要是教學(xué)層面的；事實(shí)上，在后面部分我們將看到，本文給出的推導(dǎo)方法與教材中常用的推導(dǎo)方法都只有在微小振幅時(shí)才成立，二者并無(wú)本質(zhì)區(qū)別.為方便說明，先將各種教科書中常用的推導(dǎo)方法列出，再在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步闡述.

1 弦橫振動(dòng)方程教材常見推導(dǎo)

一般來講，弦橫振動(dòng)方程的推導(dǎo)過程都是采用微分的思想基于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行的，最基本近似是認(rèn)為“弦上各點(diǎn)只做橫向運(yùn)動(dòng)，無(wú)縱向運(yùn)動(dòng)”，這是導(dǎo)出橫振動(dòng)方程的基礎(chǔ).對(duì)于一根振動(dòng)前沿x方向繃緊放置的輕弦，靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)其中張力記為T0；作微小橫振動(dòng)時(shí)各處的橫位移為u（x，t）.

如圖1所示，取出位于區(qū)間（x，x+ d x）內(nèi)的一小段弦元進(jìn)行分析，其兩端張力分別為T1、T2，與x軸方向夾角分別為成α1、α2.根據(jù)其在x軸方向（縱向方向）和橫向方向受力情況，利用牛頓第二定律有:

圖1 振動(dòng)弦元受力分析

縱向方向:

橫向方向:

其中ρ為弦靜止時(shí)的線密度.

接下來的步驟就是近似處理.

一般都會(huì)用到兩個(gè)近似［1-5］:一是將式（1）中cosα近似用1代替，相當(dāng)于認(rèn)為振動(dòng)過程中弦中的張力處處相等，記為T；二是將式（2）中的sinα近似地用sinα≈tanα=ux（x，t）代替，最終得到

稍加整理就得到振動(dòng)方程的形式

與和振動(dòng)方程的一般形式utt-a2uxx=0（a為常數(shù)）比較，我們需要將振動(dòng)過程中弦中張力T視為常數(shù)或保持不變.

縱觀上述整個(gè)推導(dǎo)，將sinα≈ux（x，t）最不易讓初學(xué)者接受；另外認(rèn)為振動(dòng)過程中弦中張力處處相等或保持不變也往往讓初學(xué)者費(fèi)解，畢竟振動(dòng)時(shí)弦上各處的拉伸程度是有差別的，根據(jù)“弦上各點(diǎn)只做橫向運(yùn)動(dòng)，無(wú)縱向運(yùn)動(dòng)”的“橫振動(dòng)假定”或式（1），也只能得到張力縱向分量處處相等的結(jié)論.那么有沒有更好的辦法呢？稍加分析就可用如下思路進(jìn)行改進(jìn).

2 嚴(yán)格基于橫振動(dòng)假定的推導(dǎo)

事實(shí)上，如果不對(duì)式（1）作近似處理，直接從張力在縱向方向分量處處平衡，即T2cosα2= T1cosα1=T縱出發(fā)，易知:T2=T縱/cosα2，T1= T縱/cosα1，式（2）變?yōu)?/p>

即:

最終也得到弦振動(dòng)方程形式為

唯一區(qū)別在于式（3）中的張力在這里是其縱向分量T縱.與振動(dòng)方程的一般形式utt-a2uxx=0（a為常數(shù)）比較，需要將張力的縱向分量視為常數(shù)，這也與由“橫振動(dòng)”假定或式（1）推知的T縱與x無(wú)關(guān)的結(jié)論相符.因此，與一般推導(dǎo)中將弦中張力T視為常數(shù)比較，顯然將張力的縱向分量視為常數(shù)更為“合理”；不過在后面討論部分將看到，將T或T視為常數(shù)都只有在微小橫振動(dòng)時(shí)成立，兩種做法并無(wú)本質(zhì)區(qū)別.

3 比較分析

比較兩種推導(dǎo)不難發(fā)現(xiàn)，兩種推導(dǎo)最大不同在于對(duì)式（1）的處理:將弦中張力T視為常數(shù)，還是將張力的縱向分量視為常數(shù).教材中一般的推導(dǎo)相當(dāng)于是從描述弦上“張力縱分量處處相等”的式（1）出發(fā)，利用“cosα=1”得出“弦振動(dòng)時(shí)張力處處相等”的結(jié)論，而后面處理式（2）不得不將sinα≈tanα才能得到導(dǎo)數(shù)ux，以便進(jìn)一步得到振動(dòng)方程形式.而我們的推導(dǎo)相當(dāng)于未對(duì)式（1）作近似處理，處理式（2）自動(dòng)得到tanα或ux，反而更簡(jiǎn)單.這樣，通過細(xì)小的改進(jìn)，使得通常推導(dǎo)中需要認(rèn)為弦中張力處處相等，以及需要將sinα近似為tanα的兩處讓初學(xué)者費(fèi)解的近似都不再需要，自然更適合教學(xué).

4 討論

顯然，得到式（4）的推導(dǎo)在“弦上各點(diǎn)只做橫向運(yùn)動(dòng)，無(wú)縱向運(yùn)動(dòng)”的基本假定下是嚴(yán)格的.因此，可以更好地去分析這一假定的合理性.

仍以位于區(qū)間（x，x+d x）內(nèi)的一小段弦元為例，若其原長(zhǎng)為d x0，靜止時(shí)張力其中Y和S分別為材料的楊氏模量和弦的橫截面積.振動(dòng)過程中弦元長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

張力變?yōu)?/p>

若將該弦元與x軸夾角記為α，則易知

張力的縱向分量為

由于橫振動(dòng)時(shí)ux與x有關(guān)，弦上各處的張力以及其縱向分量顯然都與x有關(guān).我們看到，弦作橫振動(dòng)時(shí)，張力縱向分量在弦上各處并不完全相等；此時(shí)弦上各點(diǎn)除了橫振動(dòng)必定還會(huì)出現(xiàn)縱向運(yùn)動(dòng).換句話講，純粹的橫振動(dòng)是不存在的.但是在小幅橫振動(dòng)時(shí)，ux是小量，1+u2x≈1，T縱≈T0，縱向運(yùn)動(dòng)可以不作考慮.同時(shí)看到，此時(shí)，T≈T0.即，小幅橫振動(dòng)時(shí)，弦中各處張力以及張力的縱向分量的確都可視為常數(shù).

因此，弦橫振動(dòng)假定［或式（1）］本身就是一個(gè)近似，只有在小幅橫振動(dòng)時(shí)才成立.就弦橫振動(dòng)方程的推導(dǎo)而言，無(wú)論是一般教材中的推導(dǎo)還是本文給出的推導(dǎo)過程，都是在該假定基礎(chǔ)上進(jìn)行的，顯然也只適用于小幅橫振動(dòng)情形——此時(shí)，弦中各處張力、張力的縱向分量都可近似視為常數(shù)，兩種推導(dǎo)方法并無(wú)本質(zhì)區(qū)別.對(duì)振幅較大情形，弦縱向方向運(yùn)動(dòng)不可忽略，橫振動(dòng)假定不再合理，兩種推導(dǎo)方法都不再適用.關(guān)于作橫振動(dòng)的弦其縱向運(yùn)動(dòng)情況文獻(xiàn)［5］中已有討論，我們不再多述.

［1］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.4版.北京:高等教育出版社，2010:109-110.

［2］吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1999: 254-256.

［3］姚端正，梁家寶.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.武漢:武漢大學(xué)出版社，1997:124-126.

［4］胡嗣柱，倪光炯.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.北京:高等教育出版社，2002:177-179.

［5］徐小樹，王海燕.對(duì)建立弦的橫振動(dòng)方程時(shí)的一個(gè)近似條件的分析［J］.大學(xué)物理，1998（7）:23-25.

IMPROVEMENT OF THE COMMONLY USED APPROXIMATION IN DERIVING THE TRANSVERSE VIBRATION EQUATION OF A STRING

Zheng Yong
（College of Physics and Electronics，Qiannan Normal College for Nationalities，Duyun，Guizhou 558000）

In the math-physical method course，the transverse vibration equation of a string is commonly derived on the basis of the“transverse vibration assumption”.In order to get the form of the vibration equation，people generally needs an approximately treating of the involved trigonometric function and tension force.In this paper，a new deviation is given with the balance of the longitudinal component of tension force in a string and the fully used“transverse vibration assumption”.Through analysis，we find the derivation procedure can be more simpler if any other approximations are not used.Further analysis shows that these two kinds of deviations，along with the“transverse vibration assumption”are valid only when the vibration amplitude is small.

string；vibration equation；approximation

2016-01-04

基金課題:貴州省教育規(guī)劃青年課題（2014C031）.

鄭勇，男，講師，主要從事基礎(chǔ)物理教學(xué)及研究工作.zhengyongyb@163.com

鄭勇.弦橫振動(dòng)方程推導(dǎo)中常用近似的教學(xué)改進(jìn)［J］.物理與工程，2016，26（4）:89-91.