特定條件下相對動點(diǎn)的動量矩定理的簡潔形式及其應(yīng)用

任述光吳明亮謝方平

（1湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，湖南長沙 410128；2湖南省現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備工程技術(shù)研究中心，湖南長沙 410128；3南方糧油作物協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南長沙 410128）

特定條件下相對動點(diǎn)的動量矩定理的簡潔形式及其應(yīng)用

任述光1吳明亮2謝方平3

（1湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，湖南長沙 410128；2湖南省現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備工程技術(shù)研究中心，湖南長沙 410128；3南方糧油作物協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南長沙 410128）

理論力學(xué)教材中，剛體平面運(yùn)動微分方程是利用質(zhì)心運(yùn)動定理結(jié)合相對質(zhì)心的動量矩定理導(dǎo)出的，其對于解決剛體平面運(yùn)動動力學(xué)問題提供了普遍的方法，但在有些情況下，采用其他形式的平面運(yùn)動方程可以更為簡潔.為提高特定條件下應(yīng)用平面運(yùn)動微分方程解題的效率，給出了質(zhì)點(diǎn)系相對動點(diǎn)的動量矩定理的一般形式，結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動定理，得到平面運(yùn)動微分方程的其他形式.討論了特殊情況下定理的簡化條件及簡化形式，舉例說明了簡化形式的動量矩定理結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動定理在解題中的應(yīng)用，與一般形式的平面運(yùn)動微分方程相比，可以使解題過程大為簡化.

理論力學(xué)；動量矩定理；剛體平面運(yùn)動；教學(xué)研究

1 相對動點(diǎn)的動量矩定理的一般形式

目前國內(nèi)的經(jīng)典理論力學(xué)教材［1-5］及筆者主編的理論力學(xué)教材中［6］，一般只給出了對固定點(diǎn)或固定軸的動量矩定理，定理及）應(yīng)用的前提是矩心O或矩軸z必須是慣性參考系中的固定點(diǎn)或固定軸.該定理有著廣泛應(yīng)用，但在有些情形下，往往感到不便，特別在研究復(fù)雜的動力學(xué)問題時(shí)，如果能用對動點(diǎn)的動量矩定理，則解題過程可以大為簡化.關(guān)于對動點(diǎn)的動量矩定理的應(yīng)用，一些學(xué)者作過專題研討［7-9］，這些研討對于提升教學(xué)效果是十分有益的.筆者通過對該定理的研討，系統(tǒng)分析了該定理可以簡化的條件和簡潔形式.限于篇幅，下面簡單地給出質(zhì)點(diǎn)系相對動點(diǎn)的動量矩定理，然后討論它能夠簡化的條件.

設(shè)有作任意運(yùn)動的由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，任選其中一動點(diǎn)O′為基點(diǎn)，取隨同O′平動的動參考系O′x′y′z′.將質(zhì)點(diǎn)系的絕對運(yùn)動分解為隨同基點(diǎn)O′的平動和相對于基點(diǎn)O′（即相對于平動的動參考系O′x′y′z′）的相對運(yùn)動.設(shè)任一瞬時(shí)，O′的加速度（亦即平動動參考系O′x′y′z′）的加速度為ao′，在各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上虛加牽連慣性力FIi= -miao′后，將慣性力系向質(zhì)心簡化，得作用于質(zhì)心的主矢F′IR，慣性力偶矩為零.虛加慣性力后，可將平動動參考系O′x′y′z′視作慣性參考系，并對O′點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理

上式還可寫成

2 定理簡化的條件及形式

由上式可以明顯看出，在下述3種情況下，等式右端第二項(xiàng)等于零.

1）取質(zhì)心C為基點(diǎn).這時(shí)r′C為零矢量，因此不論質(zhì)心的加速度如何，右端第二項(xiàng)恒為零，因此有

這就是相對質(zhì)心的動量矩定理，即質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于外力系對質(zhì)心的主矩.一般的理論力學(xué)教材中，剛體平面運(yùn)動微分方程給出的就是相對質(zhì)心的動量矩定理與質(zhì)心運(yùn)動定理的兩個(gè)投影方程的組合.

2）取加速度為零的點(diǎn)A為基點(diǎn)，這時(shí)F′IR= -m aA=0，因此

3）取加速度矢量通過質(zhì)心的Q點(diǎn)為基點(diǎn)，這時(shí)r′C與ao′共線，即有r′C×m ao′=0，因此

以上3種情況，質(zhì)點(diǎn)系相對于動點(diǎn)的動量矩定理表達(dá)式中，都消去了包含牽連慣性力的附加項(xiàng)，從而形式上與對定點(diǎn)的動量矩定理相同.顯而易見，在這些情況下應(yīng)用相對動點(diǎn)的動量矩定理，可以方便計(jì)算.

其中第1種情況應(yīng)用較多，比如剛體平面運(yùn)動微分方程就是質(zhì)心運(yùn)動定理與相對質(zhì)心的動量矩定理的結(jié)合，在此不再贅述.現(xiàn)在分析第2種和第3種情形的應(yīng)用.

第二種情形下，取加速度為零的點(diǎn)也即加速度瞬心為矩心.一般情況下，平面運(yùn)動剛體加速度瞬心的位置不易分析出，但在一些特殊情形下可以簡單確定加速度瞬心的位置［10］.

第三種情形下，取加速度恒通過質(zhì)心的點(diǎn)為矩心.可以證明，如果平面運(yùn)動剛體速度瞬心到質(zhì)心的距離恒保持不變，則速度瞬心的加速度是通過質(zhì)心的［11］.

3 應(yīng)用示例

例1 長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB，A端放在光滑的水平面上，B端系在BD繩索上，如圖1（a）所示，當(dāng)繩索鉛垂而桿靜止時(shí)，桿與地面的夾角φ=45°，當(dāng)繩索突然斷掉，求繩斷后的瞬時(shí)桿A端的約束力.

圖1 均質(zhì)桿受力圖

解 研究AB桿，BD繩剪斷后作平面運(yùn)動，初瞬時(shí)AB桿的角速度ωAB=0.其受力分析如圖1（a）所示，由于水平方向沒有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理可知AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂，而A點(diǎn)加速度方向水平，分別作兩點(diǎn)加速度垂線相交于P點(diǎn)，如圖1（b），可以證明P點(diǎn)即為加速度瞬心，由相對加速度瞬心的動量矩定理

利用轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理

再由相對質(zhì)心的動量矩定理

解得

這里只用了兩個(gè)方程就得到了結(jié)果.如果應(yīng)用平面運(yùn)動微分方程按常規(guī)解法求解可列出兩個(gè)動力學(xué)的方程（因?yàn)樗椒较驘o外力），還必須按運(yùn)動學(xué)列補(bǔ)充方程，求解過程就要復(fù)雜些.

例2 圖2（a）示圓柱體A的質(zhì)量為m，在其中部繞以細(xì)繩，繩的一端B固定.圓柱體沿繩子解開而降落，其初速為零.求當(dāng)圓柱體下落時(shí)其中心A的加速度aA和繩子的拉力FT.

圖2 圓柱體受力分析

解 圓輪作平面運(yùn)動，受力如圖2（b）所示.由于運(yùn)動過程中速度瞬心C與輪的質(zhì)心A距離保持不變，其加速度通過質(zhì)心A，故可對瞬心C用動量矩定理，有

又

再由質(zhì)心運(yùn)動定理

例3 圖3（a）示勻質(zhì)細(xì)桿AB質(zhì)量為m，長為l，在圖示位置由靜止開始運(yùn)動.若水平和鉛垂面的摩擦均略去不計(jì)，試求桿的初始角加速度及A、B兩處的約束力.

圖3 均質(zhì)桿受力分析

解 初瞬時(shí)桿的角速度為零，A、B兩點(diǎn)的加速度分別為水平和鉛直，因此P為AB桿加速度瞬心，.由相對加速度瞬心的動量矩定理，有

C點(diǎn)加速度垂直PC連線，由質(zhì)心運(yùn)動定理

取加速度瞬心P為基點(diǎn)，由加速度合成定理

上式分別向水平和鉛錘方向投影可得

此題如果用一般形式的平面運(yùn)動微分方程求解，需列3個(gè)方程，另外還需補(bǔ)充兩個(gè)運(yùn)動學(xué)方程，這兩個(gè)運(yùn)動學(xué)方程的補(bǔ)充較之這里的解法復(fù)雜.此題若是求運(yùn)動過程中任意位置桿的角加速度，式（3-1）仍然成立，因?yàn)榇藭r(shí)P雖然不是加速度瞬心，但它是速度瞬心，且它到質(zhì)心的距離保持不變，符合第三種情形，只需方程（3-1）就可求解.如果用微分方程一般形式，就復(fù)雜多了.但若求兩處約束力時(shí)，方程（3-2）、（3-3）仍然成立，而（*）式不成立，因?yàn)檫@時(shí)P不是加速度瞬心，因此方程（3-4）（3-5）不再成立，需另外分析得到.

例4 均質(zhì)細(xì)桿AB的質(zhì)量為m，桿長為l，下端A擱在光滑水平面上，上端B用繩索BD系在固定點(diǎn)D上，繩長h，如圖4（a）所示.當(dāng)繩子鉛直時(shí)，桿的傾角θ=30°，桿端以速度vA向左作勻速運(yùn)動.求此時(shí)桿的角加速度α，繩子的拉力FB和A端需加的水平力F的大小.

圖4 均質(zhì)細(xì)桿受力分析

解 可判斷圖示位置AB桿作瞬時(shí)平移，所以vB=vA.因?yàn)锳B桿的角速度為零，且A點(diǎn)的加速度為零.

取A為基點(diǎn)，如圖4（a），有

又因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動，所以

AB桿質(zhì)心C的加速度

垂直于AB桿，其大小為

應(yīng)用相對加速度瞬心A的動量矩定理

由質(zhì)心運(yùn)動定理

4 結(jié)語

本文給出了特殊情形下，對動點(diǎn)的動量矩定理的簡化形式.對于運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心，對加速度瞬心及加速度恒通過質(zhì)心的點(diǎn)，動量矩定理有與相對固定點(diǎn)的動量矩定理相似的簡潔形式.對于一些復(fù)雜的動力學(xué)問題求解，可用相對加速度瞬心或相對加速度恒通過質(zhì)心的動點(diǎn)的動量矩定理代替相對質(zhì)心的動量矩定理，以起到簡化求解過程的目的.

一般現(xiàn)有的理論力學(xué)教材中沒有這個(gè)內(nèi)容，本文提到的這個(gè)方法對于學(xué)生快速解題有一定效果，以期作為教輔或教師教學(xué)參考之用.

［1］李俊峰，張雄.理論力學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［2］劉又文，彭獻(xiàn).理論力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［3］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研組.理論力學(xué)Ⅰ［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［4］梅鳳翔，尚玫.理論力學(xué)Ⅰ［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［5］洪嘉振，楊長俊.理論力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［6］任述光，王業(yè)成.理論力學(xué)［M］.北京:中國農(nóng)業(yè)出版社，2014.

［7］梅鳳翔，關(guān)于對動點(diǎn)的動量矩定理［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2011，33（3），67-69.

［8］朱仁貴.對動點(diǎn)的動量矩定理在剛體平動中的應(yīng)用［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2013，35（3），81-82.

［9］邱支振.對速度瞬心的動量矩定理的教學(xué)與應(yīng)用［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18（3）:105-106，119.

［10］許政，王慶.平面運(yùn)動剛體加速度瞬心的確定及應(yīng)用［J］.大學(xué)物理，2004，23（4）:5-7，38.

［11］鄭權(quán)旌.工程動力學(xué)［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，1987.

MOMENTUM THEOREM OF MOVING POINT IN CERTAIN CONDITIONS

Ren Shuguang1Wu Mingliang2Xie Fangping3
（1Institute of technology，Hunan Agricultural University，Changsha，Hunan 410128；2Hunan Provincial Engineering Technology Research Center for Modern Agricultural Equipment，Changsha，Hunan 410128；3Collaborative Innovation Center of Grain and Oil Crops in South China，Changsha，Hunan 410128）

In theoretical mechanics textbook，the differential equation of the plane motion of rigid body is derived from the theorem of the motion of mass center combined with the moment of momentum theorem for the relative mass center.It provides a common method for solving the dynamic problem of plane motion of rigid body.But in some cases，the use of other forms of planar motion equation can be more efficient.In order to improve the efficiency of solving problem with the application of planar motion differential equation，the general form of the moment of momentum theorem of moving point are conducted.Combing center of mass movement theorem，other forms of planar motion differential equation can be obtained.Under special circumstances，the simplified form of the theorem and relevant conditions are discussed. The simplified form of moment of momentum theorem combining center of mass movement theorem are illustrated in the application of solving problems.Comparing with the conventional planar motion differential equation，it can greatly simplify the problem solving process.

theoretical mechanics；the moment of momentum theorem；plane motion of rigid body；teachingand research

2016-02-16；

2016-03-23

湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)力學(xué)課程教改研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號:9202922）.

任述光，男，副教授，主要從事力學(xué)教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)楣こ塘W(xué)及計(jì)算固體力學(xué).shgren2005@aliyun.com

任述光，吳明亮，謝方平.特定條件下相對動點(diǎn)的動量矩定理的簡潔形式及其應(yīng)用［J］.物理與工程，2016，26（4）:92-95.