并聯(lián)耦合線圈的等效自感的行列式求法

周?chē)?guó)全 沈黃晉

（武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北武漢 430072）

并聯(lián)耦合線圈的等效自感的行列式求法

周?chē)?guó)全 沈黃晉

（武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北武漢 430072）

文章以3個(gè)相互耦合的并聯(lián)自感線圈為例，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律和齊次線性微分方程的非平庸解的存在性條件，并借助行列式技術(shù)，推導(dǎo)出其等效的自感系數(shù)，并推廣到n個(gè)并聯(lián)耦合線圈的情形.其等效自感系數(shù)是由各自的自感系數(shù)與互感系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)分別為n階與n-1階矩陣的行列式之比，并討論了存在反向并聯(lián)情形的符號(hào)規(guī)則及若干特例情形的具體結(jié)論.

自感；互感；等效自感；電磁感應(yīng)；耦合線圈；并聯(lián)；并聯(lián)耦合線圈

相互耦合的并聯(lián)與串聯(lián)線圈的等效自感問(wèn)題，是電磁學(xué)與電工學(xué)研究中有關(guān)電磁感應(yīng)與耦合線圈的重要內(nèi)容之一［1-5］.多個(gè)串聯(lián)耦合線圈的等效自感系數(shù)可用磁場(chǎng)等效儲(chǔ)能法簡(jiǎn)單求出，兩線圈耦合情形的結(jié)論已見(jiàn)諸文獻(xiàn)［1］，并可簡(jiǎn)單地推廣到多個(gè)耦合線圈的情形［1-4］；在并聯(lián)耦合情形，文獻(xiàn)［3-5］給出了無(wú)直流內(nèi)阻的兩個(gè)自感線圈并聯(lián)耦合時(shí)的等效自感公式

其中，L1，L2為兩線圈的自感系數(shù)；M為兩線圈的互感系數(shù)，分母最后一項(xiàng)前面的減號(hào)適合于順向正耦合，加號(hào)適合于逆向負(fù)耦合.在多個(gè)線圈之間自感與互感交叉并存的情形，我們無(wú)法通過(guò)公式（1）歸納推得.本文基于電磁感應(yīng)的基本定理，運(yùn)用行列式技術(shù)，和齊次線性方程組的非平庸解的存在性條件，成功地推導(dǎo)出3個(gè)相互耦合的并聯(lián)線圈的等效自感，即由各自感與互感系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)分別為3階與2階矩陣的行列式之比，并討論了若干特例情形的具體結(jié)論，并指出可推廣到n個(gè)并聯(lián)線圈的情形.

1 3個(gè)并聯(lián)耦合線圈的等效自感的行列式求法

首先注意到第i，j兩個(gè)線圈之間的互感系數(shù)滿足Neumann關(guān)系:Mij=Mji，i，j=1，2，3，出于理論推導(dǎo)與數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔、緊湊與對(duì)稱(chēng)性的考慮，可將3個(gè)線圈的自感系數(shù)重新標(biāo)記為L(zhǎng)1= M11，L2=M22，L3=M33；即自感系數(shù)亦可理解為一個(gè)線圈對(duì)自己的互感.在3線圈情形，如圖1所示，運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律，根據(jù)并聯(lián)耦合電路的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε（t）與各支路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)εi（t），（i=1，2，3）、瞬時(shí)總電流與瞬時(shí)支路電流Ii（t），i=1，2，3的關(guān)系，忽略各線圈的直流內(nèi)阻，考慮自感與互感同時(shí)存在的一般情形，并設(shè)Le代表3個(gè)并聯(lián)耦合線圈的等效自感系數(shù)，我們有如下等式

圖1 并聯(lián)耦合感應(yīng)線圈示意圖

根據(jù)式（2～3），方程組（4～6）可改寫(xiě)為如下齊次三元一階微分方程組

方程組（7）又可改寫(xiě)為如下矩陣形式的齊次三元一階微分方程

注意方程組（8）中的系數(shù)矩陣是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，這是因?yàn)槠渲蠱ij=Mji，Mii=Li，i，j=1，2，3.方程組（8）的平庸解對(duì)應(yīng)于穩(wěn)恒直流，即各電流導(dǎo)數(shù)為零的情形.如果對(duì)任意的時(shí)變電流（如任意頻率的交流電），方程組（8）均有非平庸解（導(dǎo)數(shù)不全為零），根據(jù)三元齊次線性微分方程組的非平庸解的存在性條件，其系數(shù)矩陣的行列式必定為零，即

這一方程表觀上是Le的一元三次方程，難以求解.研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上它只是Le的一元一次方程.運(yùn)用行列式的性質(zhì)，將式（9）左邊第2，3行減去第1行，其值不變，即得

再運(yùn)用行列式的行加法性質(zhì)，將上式左邊按第一行拆分為兩項(xiàng)之差，并移項(xiàng)，提取右邊行列式第一行的公因子Le，可得

將上式左邊第二、三行加上第一行，其行列式之值不變；將上式右邊第二、三列減去第一列，其行列式之值不變，并按第一行余子式展開(kāi)，即得

將式（11）左右兩側(cè)行列式分別記為

當(dāng)det N3≠0時(shí)，即得如下公式

這就是3個(gè)線圈并聯(lián)耦合時(shí)的等效自感系數(shù).

2 存在反向耦合情形的符號(hào)規(guī)則

在用基爾霍夫回路定理處理有互感的交流回路時(shí)，應(yīng)遵守同名端規(guī)則［1］.當(dāng)并聯(lián)線圈反向耦合時(shí)，我們面對(duì)同樣的復(fù)雜問(wèn)題.基于如下兩個(gè)基本事實(shí):即兩個(gè)順向（反向）耦合的并聯(lián)載流線圈的互感儲(chǔ)能為正（負(fù)）的，以及無(wú)論兩線圈是順向或反向耦合，每個(gè)載流感應(yīng)線圈的自感儲(chǔ)能均為正值，可以推斷公式（14）與行列式（12～13）中線圈之間的互感項(xiàng)的符號(hào)取法，即應(yīng)落腳于互感項(xiàng)相對(duì)于其自感項(xiàng)的符號(hào)的比較而定，可在每個(gè)自感與互感系數(shù)前添加一符號(hào)因子εij=±1，當(dāng)兩個(gè)順向（或反向）耦合的并聯(lián)耦合線圈的互感系數(shù)前應(yīng)乘上符號(hào)因子εij=1（或εij=-1）；由此可訂立如下符號(hào)規(guī)則

3 完全不耦合的并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)

當(dāng)N個(gè)線圈并聯(lián)但完全不耦合時(shí)，即Mij= Mji=0，i，j=1，2，3，且i≠j，此時(shí)并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)由

即得

這顯然與用交流電的復(fù)阻抗的并聯(lián)公式計(jì)算去耦（Decoupled）并聯(lián)感應(yīng)線圈的等效復(fù)阻抗的結(jié)果相一致，這證明了本文公式（14）的正確性與有效性.

4 全同對(duì)稱(chēng)的并聯(lián)耦合情形的等效自感系數(shù)

所謂全同對(duì)稱(chēng)的并聯(lián)耦合情形，即L1=L2= L3≡L，Mij=Mji=M，（i，j=1，2，3），但L≠M(fèi)的情形，此時(shí)，

5 完全耦合的并聯(lián)線圈的等效自感的一點(diǎn)討論

文獻(xiàn)［1-6］等均指出或證明兩個(gè)線圈之間若完全耦合，則其互感系數(shù)必為彼此自感系數(shù)的比例中項(xiàng).即此時(shí)若3個(gè)線圈的自感系數(shù)之間不全相等，易證行列式det M3的任意兩行對(duì)應(yīng)元素之比相等，因而det M3=0，而det N3≠0，進(jìn)而導(dǎo)致Le=0；而對(duì)于相同線圈之間完全耦合情形，自感系數(shù)之間彼此相等，L1=L2=L3，行列式det N3=0.此時(shí)公式（14）所給出等效自感系數(shù)表觀上具有不確定的形式，但從本文關(guān)于全同對(duì)稱(chēng)的并聯(lián)耦合情形的等效自感系數(shù)出發(fā)，可得到相同線圈在順向完全耦合情形的等效自感系數(shù)，即先取Li≡L；Mij= Mji=M，（i，j=1，2，3），且L≠M(fèi)時(shí)的結(jié)果（20～21）式，再消除公式（14）的分子分母的行列式的公因子（L-M）2，然后在式（22）消除公因子之后的表達(dá)式中，令，可得完全耦合并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)

THE DETERMINANT METHOD TO FIND THE EQUIVALENT SELF-INDUCTANCE OF N COUPLED PARALLEL COILS

Zhou Guoquan Shen Huangjin

（School of Physics and Technology，Wuhan University，Wuhan，Hubei 430072）

Based upon Faraday’s law of electromagnetic induction and the existence condition of non-trivial solution to a homogeneous and linear differential system of equations，the equivalent self-inductance of three coupled parallel coils has been derived by use of some determinant techniques.It can be expressed as the ratio of the determinants of two matrices.Meanwhile，specific conclusions are deduced and discussed in detail about 1，the completely noncoupled case；2，the identical and symmetrical case，and 3，the completely coupled case，which are coincident with the existent results in the

.

self-inductanc；mutual-inductance；equivalent self-inductance；electromagnetic induction；coupling coil；parallel coupling coil

2016-04-25

國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)基金資助項(xiàng)目（202276003）；武漢大學(xué)2016年教學(xué)改革項(xiàng)目資助.

周?chē)?guó)全，男，副教授，主要從事理論物理與普物教學(xué)，及場(chǎng)論與非線性可積方程的研究.zgq@whu.edu.cn

周?chē)?guó)全，沈黃晉.并聯(lián)耦合線圈的等效自感的行列式求法［J］.物理與工程，2016，26（4）:109-111.