現(xiàn)代控制理論的教學(xué)探討

韋民紅，李素文，朱旋，竇德召，邵芬

（淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽淮北235000）

現(xiàn)代控制理論的教學(xué)探討

韋民紅，李素文，朱旋，竇德召，邵芬

（淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽淮北235000）

從現(xiàn)代控制理論研究的特點(diǎn)和面臨的問題出發(fā)，研究如何運(yùn)用對照和比較、計(jì)算機(jī)技術(shù)、多種考核方式以及互動教學(xué)等多種教學(xué)方法，將抽象的東西變得容易接受，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，從而提高現(xiàn)代控制理論這門課的教學(xué)效果.

能控；能觀；現(xiàn)代控制；教學(xué)方法

0 引言

現(xiàn)代控制理論是以狀態(tài)空間法為主，研究系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律，并按所要求的各種指標(biāo)最優(yōu)為目標(biāo)來改變這種運(yùn)動規(guī)律的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，也是“自動控制原理”的后續(xù)課程，它使用的數(shù)學(xué)工具主要是線性代數(shù)、矩陣?yán)碚摰?現(xiàn)代控制理論的分析設(shè)計(jì)有別于傳統(tǒng)的單輸入單輸出系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)，它的目的在于掌握現(xiàn)代控制理論和基本方法，以便進(jìn)行復(fù)雜的多輸出多輸入系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，同時(shí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他相關(guān)課程打下基礎(chǔ).我校在大三下學(xué)期開設(shè)這門課程，教材采用由天津大學(xué)劉豹等主編的現(xiàn)代控制理論第3版，本課程具有跨學(xué)科、數(shù)學(xué)公式多、數(shù)學(xué)推導(dǎo)煩瑣、難以理解等特點(diǎn)［1］.如何激發(fā)學(xué)生對課程的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，是探討的重點(diǎn)問題.

1 教學(xué)探討

1.1 對照和比較的引入

由于學(xué)生在前期已經(jīng)學(xué)習(xí)過自動控制理論、信號與系統(tǒng)等課程的學(xué)習(xí)，這里將經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論加以對照和比較，信號與系統(tǒng)中拉氏變換與Z變換的對照和比較，分析它們的不同與聯(lián)系，這樣有助于學(xué)生對現(xiàn)代控制理論課程的學(xué)習(xí)和理解.

例如：對于控制系統(tǒng)的處理，論是經(jīng)典控制理論還是現(xiàn)代控制理論，都需要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，都可以建立高階微分方程作為控制系統(tǒng)的模型，如式（1）所示，然而它們又有所區(qū)別，經(jīng)典控制理論由微分方程得到傳遞函數(shù)模型，如式（2）所示，它只適用于單輸入單輸出模型，而現(xiàn)代控制理論不僅可以用于單輸入單輸出模型，而且多應(yīng)用于多輸入多輸出模型，它建立的是狀態(tài)空間表達(dá)式，如式（3）所示.接著它們都需要對所建立的模型進(jìn)行求解，這些分析過程基本一致.經(jīng)典控制理論使用的數(shù)學(xué)工具主要是拉氏變換、Z變換，而現(xiàn)代控制理論使用的數(shù)學(xué)工具主要是線性代數(shù)和矩陣?yán)碚?，需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底.

再例如：對于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求取，可以采用信號與系統(tǒng)的拉氏變換，，如式（4）所示；而對于離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求取，則采用Z變換，如式（5）所示.二者在形式上有著很大的相似性，通過這樣的對照和比較可以加深學(xué)生對新知識的印象，從而提高學(xué)生的理解，提高課堂教學(xué)的效率.同樣，對于講解時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)時(shí)，可以結(jié)合定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)加以對照比較描述，把逗號“，”換成減號“—”加以記憶，這樣以來，學(xué)生就更容易學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于學(xué)習(xí)效率的提高.

1.2 計(jì)算機(jī)軟件的引入

現(xiàn)代數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展為現(xiàn)代控制理論的應(yīng)用提供一個(gè)強(qiáng)大的平臺，為培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力，提高學(xué)生對內(nèi)容抽象、理論性強(qiáng)、不容易理解的現(xiàn)代控制理論課程的學(xué)習(xí)，利用MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算功能，可以容易地建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式、進(jìn)行能控能觀性的判別、結(jié)構(gòu)分解、狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)以及零極點(diǎn)配置，還能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并巧妙地繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線，動態(tài)地演示這些曲線，使得整個(gè)教學(xué)過程緊湊、連貫和直觀.將MATLAB實(shí)時(shí)仿真分析的這些環(huán)節(jié)引入到課堂教學(xué)中，這樣可以從知識點(diǎn)演示、實(shí)時(shí)仿真示范等方面，進(jìn)行全方位的多媒體教學(xué)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率和教學(xué)效果［2］.

1.2.1 系統(tǒng)的能控能觀性

設(shè)線性系統(tǒng)的動態(tài)方程為｛x′=Ax+Buy=Cx+Du，式中A、B、C、D分別為（n×n）維、（n×p）維、（q×n）維、（q×p）維常數(shù)矩陣.

線性系統(tǒng)的能控性與可能觀性是現(xiàn)代控制理論課程的重要內(nèi)容之一，判斷控制系統(tǒng)的能控性主要有兩種方法，一種是將一般的狀態(tài)空間表達(dá)式通過線性變換，變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型，繼而對B矩陣中是否存在全零行和全零行的位置加以判斷，另一種則是通過秩判別方法進(jìn)行判別，定理有：系統(tǒng)完全可控的條件是下列（n×np）維可控性矩陣的秩為n，如式（6），系統(tǒng)完全可觀的條件是下列（nq×n）維可觀性矩陣的秩為n，如式（7）.

對于單輸入-單輸出系統(tǒng)還可以通過傳遞函數(shù)是否存在零極點(diǎn)對消，來判斷系統(tǒng)的能控性.這些判斷方法中，第二種方法是經(jīng)典的判斷方法，但是由式（6）可以看出，當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)增加，或是對于多輸入-多輸出系統(tǒng)，矩陣的計(jì)算將是非常麻煩的，這時(shí)借助于計(jì)算機(jī)手段進(jìn)行判斷是非常容易的.

例如：有一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程

可以看出，這里的A矩陣是4維的，B矩陣是（4×2），由式（6）判斷其能控性，計(jì)算起來是非常麻煩的，而用MATLAB函數(shù)命令ctrb（）驗(yàn)算式（6）則是非常簡單的，函數(shù)obsv（）驗(yàn)算式（7）則是非常簡單的，而通常MATLAB的這類程序是固定的，只需將矩陣數(shù)值改變，直接套用即可，所以用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)能控、能觀性的判斷是相當(dāng)容易、方便的.

輸入程序，運(yùn)行結(jié)果顯示：

由運(yùn)行結(jié)果很容易看出系統(tǒng)是能控且能觀的.

1.2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在經(jīng)典控制理論中，主要有勞斯（Routh）判據(jù)和胡維茨（Hurwitz）判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，奈奎斯特（H.Nyquist）判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但是它們不能適用于非線性和時(shí)變系統(tǒng)［3］.

1892年，俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（Lyapunov）提出Lyapunov分析方法對系統(tǒng)判穩(wěn).主要有Lyapunov第一法和第二法.第一法主要是通過解微分方程或求解系統(tǒng)的特征值來進(jìn)行判穩(wěn).第二法主要是通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并判定其正定性來進(jìn)行系統(tǒng)的判穩(wěn).尤其是第二法，特別適用于非線性和時(shí)變系統(tǒng)的判穩(wěn)［3］.

例如：有一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程

利用Lyapunov第一法，執(zhí)行下述程序可以求出系統(tǒng)矩陣A的特征值d.

運(yùn)行結(jié)果顯示：

由運(yùn)行結(jié)果可以看出，d的實(shí)部有大于零的，由Lyapunov第一法可以判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定.執(zhí)行MATLAB函數(shù)命step（），可以得到系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，如圖1所示：

＞＞step（A，B，C，D）

圖1 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由圖1的階躍響應(yīng)曲線的發(fā)散，可以直觀地看出這個(gè)雙輸入-雙輸出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.利用Lyapunov第二法，執(zhí)行程序如下所示：

運(yùn)行結(jié)果顯示：

由運(yùn)行結(jié)果可以看出，系統(tǒng)不是李雅普諾夫穩(wěn)定.

由以上分析可見，用Matlab進(jìn)行對系統(tǒng)的能控性、能觀性以及穩(wěn)定性的判別，只需要套用固定的程序，即可直觀、方便地進(jìn)行判別和分析，對問題地闡述更深入淺出，從而提高學(xué)生的興趣，提高教學(xué)效果.

1.3 其它

現(xiàn)代控制理論課程為純理論課程，內(nèi)容相對抽象枯燥，涉及的線性代數(shù)知識較多，如果前期學(xué)生的線性代數(shù)基礎(chǔ)沒有打好，或是這些知識已經(jīng)忘記，就會感覺課程內(nèi)容不易掌握和理解，從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性下降，出現(xiàn)學(xué)生聽課不認(rèn)真、作業(yè)不會做或是抄襲的現(xiàn)象，再加上課程本身為考查課，教師和學(xué)生的重視程度不夠，學(xué)生不愿意在課后花時(shí)間復(fù)習(xí)線性代數(shù)中的知識，如果教師不在課堂上把這些知識鞏固一下，就會出現(xiàn)教學(xué)效果不理想的現(xiàn)象.為了改善這種局面，教師首先必須改變學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，使他們更加重視這門課的學(xué)習(xí).

首先，采用不同的考核方式，適當(dāng)降低試卷分?jǐn)?shù)在考核中所占的比重，可以加大課堂提問環(huán)節(jié)及論文書寫方面在考核中的比重，通過提問，鼓勵(lì)學(xué)生們參與，通過寫相關(guān)論文，讓同學(xué)們寫出自己對現(xiàn)代控制理論這門課的理解及感悟，從而提高學(xué)生的積極性.

其次，在課堂講解中不斷穿插所用到的數(shù)學(xué)知識，將一些不易掌握和理解、枯燥無味的理論問題引入到相似的實(shí)際例子中加以講解說明，通過習(xí)題講解，對問題的闡述，做到深入淺出，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

最后，可以通過建立相應(yīng)的學(xué)習(xí)群，加強(qiáng)學(xué)生與老師的課外互動，制作課外作品，開展相關(guān)競賽.適時(shí)的進(jìn)行一些相關(guān)最新報(bào)道，鼓勵(lì)學(xué)生報(bào)考控制相關(guān)的研究生，及參加相關(guān)的數(shù)學(xué)建模大賽.總之，將現(xiàn)代控制理論與實(shí)際應(yīng)用能力相結(jié)合，才能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而提高這門課的教學(xué)效果［4］.

2 結(jié)束語

將現(xiàn)代控制理論的教學(xué)大綱中要求教學(xué)內(nèi)容與筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，分析現(xiàn)代控制理論這門課程教學(xué)中存在的問題，探討解決的辦法及改革措施，為培養(yǎng)優(yōu)良的應(yīng)用型復(fù)合人才做出努力.

［1］程啟明，薛陽，賈再一，等.“現(xiàn)代控制理論”課程教學(xué)改革的思考與探索［J］.中國電力教育，2013，30（10）：59-64.

［2］周蘭，周少武.Matlab數(shù)字仿真在現(xiàn)代控制理論教學(xué)中的應(yīng)用［J］.當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2014，6（5）：104-106.

［3］劉豹，唐萬生.現(xiàn)代控制理論［M］.3版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［4］肖小慶，周磊.現(xiàn)代控制理論教學(xué)改革研究［J］.高師理科學(xué)刊，2014，34（5）：101-104.

Research on the Teaching Method of Modern Control Theory

WEI Minhong，LI Suwen，ZHU Xuan，DOU Dezhao，SHAO Fen
（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Considering the characteristics and the problems of modern control theory research，the paper mainly researches how to use contrast and comparison，the computer technology，multiple evaluation meth?ods as well as the interactive teaching to make the abstract things easier to accept and to improve the stu?dents′learning interest and enthusiasm，thus the teaching effect of the modern control theory can be im?proved.

controllability；observability；modern control；teaching method

G 642

C

2095-0691（2016）03-0092-05

2016-04-08

安徽高校省級自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2015A069）；淮北師范大學(xué)重點(diǎn)教研項(xiàng)目（jy14120）

韋民紅（1978-），女，安徽淮北人，博士，副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)榭刂乒こ膛c科學(xué).