高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中學(xué)生辯證思維能力的培養(yǎng)

王　霞　丁玉梅

（天津科技大學(xué)，天津300222）

高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中學(xué)生辯證思維能力的培養(yǎng)

王霞丁玉梅

（天津科技大學(xué)，天津300222）

闡述了辯證思維能力的培養(yǎng)對學(xué)生創(chuàng)新能力的提高具有非常重要作用，客觀地分析了目前高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中關(guān)于學(xué)生辯證思維能力的培養(yǎng)所存在的問題。在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中以知識為載體，創(chuàng)設(shè)問題情境，深入挖掘了隱藏于知識背后的辯證思想方法，采用案例教學(xué)方式，在知識傳授的過程中注重對學(xué)生進(jìn)行辯證思想方法的滲透與辯證思維能力的培養(yǎng)，不僅提高了學(xué)生辯證思維能力，而且調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

高等數(shù)學(xué)；辯證思想方法；辯證思維能力

一、辯證思維能力的培養(yǎng)對學(xué)生創(chuàng)新能力的提高具有非常重要的作用

從高等數(shù)學(xué)課程本身來看，其研究對象是函數(shù)，而函數(shù)是對應(yīng)關(guān)系，是變化過程，即函數(shù)是用來描述運(yùn)動、變化和發(fā)展的數(shù)學(xué)模型，是運(yùn)動、變化和發(fā)展的具體體現(xiàn)；其研究的內(nèi)容為微積分，而各部分內(nèi)容之間存在著密切的聯(lián)系，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分和級數(shù)都是由極限來定義的，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，是可積分的充分條件，不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，這都體現(xiàn)出了普遍聯(lián)系的辯證思想方法；其問題解決過程蘊(yùn)含著矛盾的相互轉(zhuǎn)化，如不定積分運(yùn)算過程中除基本方法外，還要引進(jìn)換元積分法和分部積分法，從而化難為易，化未知為已知，二元及以上函數(shù)的微分法和積分法均要類比一元函數(shù)才能得到，求高階導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是求前面一階導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即在解決從一元到多元，從一維到多維，從有限到無限，從離散到連續(xù)的問題時，都充分體現(xiàn)了矛盾轉(zhuǎn)化的辯證思想方法，可見，辯證的思想方法在高等數(shù)學(xué)中無處不在，因此，以高等數(shù)學(xué)知識為載體，教師有意識地挖掘知識背后的辯證思想方法，并對學(xué)生進(jìn)行辯證思維訓(xùn)練，使學(xué)生形成辯證思維能力是非常必要的。

辯證思維是思維發(fā)展的高級階段，是思維發(fā)展達(dá)到成熟和完善的重要標(biāo)志，是創(chuàng)造性思維的重要組成部分，是形成創(chuàng)新思維能力的核心。

只有形成了辯證思維能力，學(xué)生才能形成運(yùn)動、發(fā)展和變化的觀點(diǎn)，才能從發(fā)展和變化的角度看問題，才能樹立正確的人生觀、世界觀，才能對自然界和社會各種現(xiàn)象具有好奇心，才能夠進(jìn)行獨(dú)立思考，不斷探索與研究，形成質(zhì)疑思維與靈感思維，進(jìn)而尋求新知，最終產(chǎn)生創(chuàng)新的意識。

只有形成了辯證思維能力，學(xué)生才能形成普遍聯(lián)系、對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，才能全面的、動態(tài)的多角度考慮問題，突破常規(guī)定勢，甚至能夠從事物的對立面辯證看問題，由此可以產(chǎn)生發(fā)散思維和逆向思維，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生崇尚理性和勇于創(chuàng)新的精神。

只有形成了辯證思維能力，學(xué)生才能形成矛盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，才能用已知認(rèn)識未知、用已知研究未知和用已知解決未知，才能形成聯(lián)想類比及合理猜想的轉(zhuǎn)化思維，即通過某種變換過程將復(fù)雜的或困難的問題化歸為與原問題等價的問題，而后者相對與前者較為簡單或比較容易求解，轉(zhuǎn)化的過程就是創(chuàng)新的過程。由此可知，學(xué)生辯證思維能力的形成對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的提高具有非常重要的作用。

二、高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中關(guān)于學(xué)生辯證思維能力的培養(yǎng)所存在的問題

經(jīng)過對部分普通高校的調(diào)研得知，在目前的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，大部分教師將知識看成是一個純粹的邏輯演繹系統(tǒng)，沒有對數(shù)學(xué)知識背后的辯證思想方法進(jìn)行深入的挖掘與滲透，沒有將對學(xué)生辯證思維能力的培養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo)，在實(shí)踐教學(xué)中沒有對學(xué)生進(jìn)行辯證思維能力的訓(xùn)練。課堂上仍采用灌輸式教學(xué)模式，沒有創(chuàng)設(shè)問題情境，只注重知識的傳授，很少給學(xué)生獨(dú)立思考的時間及空間，個別教師甚至是考什么講什么。

從學(xué)生的角度看，由于高考前應(yīng)試教育比較普遍，導(dǎo)致許多學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力非常差，學(xué)習(xí)基本停留在一種被動接受的狀態(tài)，對數(shù)學(xué)這門課程不感興趣，學(xué)習(xí)的積極性不高，甚至把對該課程的學(xué)習(xí)當(dāng)成一種負(fù)擔(dān)，缺乏自主探索、批判和創(chuàng)新，沒有意識到要從初等數(shù)學(xué)的靜態(tài)數(shù)學(xué)觀向高等數(shù)學(xué)的動態(tài)數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)變，對辯證思想方法的認(rèn)識非常缺乏，辯證思維能力不高，在解決具體問題時，常常是沒有思路或思路非常狹窄、考慮問題不全面、只注重細(xì)節(jié)而缺乏整體宏觀思考，不能用聯(lián)系的、運(yùn)動變化的及矛盾轉(zhuǎn)化的辯證的觀點(diǎn)分析問題、解決問題。

三、辯證思想方法的挖掘、滲透與辯證思維能力的培養(yǎng)

在實(shí)踐教學(xué)中，以高等數(shù)學(xué)知識為載體，經(jīng)過創(chuàng)設(shè)問題情境，并對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行精心設(shè)計，把辯證思想方法的挖掘與滲透及辯證思維能力的培養(yǎng)貫穿教學(xué)始終。

1.在基本概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境

為什么要引入這個概念？具體含義是什么？數(shù)學(xué)符號（語言）如何表達(dá)？對于以后的學(xué)習(xí)有什么作用？在概念教學(xué)中，教師除了要講清楚這些問題之外，還要從培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的角度創(chuàng)設(shè)問題情境，深入挖掘概念本身的辯證思想方法，啟發(fā)學(xué)生思考并激發(fā)學(xué)生辯證思維，幫助學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)認(rèn)識事物間的矛盾。

高等數(shù)學(xué)中第一個接觸的是鄰域的概念，它刻畫的是局部范圍，是具體與抽象的辯證統(tǒng)一。由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的局部概念，定義函數(shù)在某區(qū)間I上連續(xù)、可導(dǎo)、可微的整體概念，是局部與整體的辯證統(tǒng)一，變量變化過程中的局部與整體之間的相互對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，使得整個高等數(shù)學(xué)在此基礎(chǔ)上得以展。

函數(shù)的概念是常量與變量、有限與無限、特殊與一般的辯證統(tǒng)一。創(chuàng)設(shè)問題情境：對于一個具體的函數(shù)，通過給出不同的自變量，讓學(xué)生計算函數(shù)值，如對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量取某一個固定值x0時，對應(yīng)的函數(shù)值是常量f（x0），當(dāng)x變化時，函數(shù)值這個因變量亦隨之變化，呈現(xiàn)出變量狀態(tài)f（x），啟發(fā)學(xué)生得出的結(jié)論是函數(shù)值是常量與變量的辯證統(tǒng)一。

函數(shù)f（x）中的自變量x，表面形式是一個字母，是有限的、靜態(tài)的，由于字母可以表示任意數(shù)，符號x+1，a-x，等的含義與x相同，均可以表示為自變量，即x的某一函數(shù)φ（x）仍為自變量，說明自變量的表示形式是無限的、動態(tài)的，體現(xiàn)了有限與無限的對立統(tǒng)一。

數(shù)列｛an｝是特殊的函數(shù)，其一般項(xiàng)an是變量，在n無限增大的過程中an的項(xiàng)是寫不盡的，但對具體的n，項(xiàng)an是常量，體現(xiàn)了運(yùn)動與靜止，變量與常量、有限與無限之間的辯證統(tǒng)一。對于函數(shù)y=f（x）與數(shù)列｛an｝是一般與特殊的辯證關(guān)系。

極限概念是將常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為變量數(shù)學(xué)，反映了人類思想從形式邏輯向辯證邏輯的飛躍。如何計算圓周所圍成的圖形的面積？創(chuàng)設(shè)問題情境，引進(jìn)公元三世紀(jì)的劉徽割圓術(shù)法，闡明其思想是用直邊圖形面積計算方法的這一已知，來研究解決曲邊所圍成面積的這一未知，讓學(xué)生感受到割圓術(shù)方法確實(shí)是數(shù)學(xué)史上一件具有里程碑意義的大事件，更是中華民族的驕傲，同時引導(dǎo)學(xué)生將極限的描述由定性轉(zhuǎn)到定量。由極限的定義，不論怎樣?ε＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，不等式＜ε恒成立。借助不等式，通過ε與N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，用靜態(tài)的定義刻畫變量的變化趨勢，這種“靜態(tài)—動態(tài)—靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律，在求極限的過程中實(shí)現(xiàn)了變量an與常量a的辯證統(tǒng)一。在自變量n無限增大的過程中數(shù)列｛an｝的一般項(xiàng)an是a的近似值，即an在未達(dá)到某個極限時僅是一個量的積累過程，n越大，近似的程度越大，n無限大時，轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確值a，即a是an取極限的結(jié)果，極限概念也是近似與準(zhǔn)確的辯證統(tǒng)一。極限概念本身體現(xiàn)著曲與直、虛與實(shí)、難與易、常量與變量、有限與無限、局部與整體、離散與連續(xù)、動態(tài)與靜態(tài)、近似與準(zhǔn)確等矛盾雙方的對立統(tǒng)一。

在特殊與一般的辯證思想方法指導(dǎo)下，不論是引進(jìn)導(dǎo)數(shù)還是定積分的概念，都是創(chuàng)設(shè)問題情境，從具體問題的解決這一特殊問題抽象得到一般模式的數(shù)學(xué)模型。由導(dǎo)數(shù)概念可知，函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義的表達(dá)式為，顯然，f′（x0）是極限值，即f′（x0）是常量，但將x0看成區(qū)間I上的動點(diǎn)x時，就轉(zhuǎn)化為變量，稱為導(dǎo)函數(shù)，記符號為f′（x）；二階導(dǎo)函數(shù)f″（x）為一階導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)z=f（x，y）對x求偏導(dǎo)數(shù)時，雖然y是變量，但暫時將其視為常量，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求導(dǎo)，體現(xiàn)了常量與變量及矛盾相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。

由微分定義的幾何意義，一元函數(shù)的微分dy=f（x）dx表示曲線切線的改變量，又已知，即Δy≈dy，函數(shù)的改變量與函數(shù)的微分等價，可知曲線的改變量可以用直線的改變量來近似代替，對于二元函數(shù)的全微分，即推廣到空間，得到曲面的改變量可以用切平面代替，高等數(shù)學(xué)中用直線段代替曲線段得到弧微分公式，小區(qū)域內(nèi)曲線圍成的區(qū)域面積可以用矩形面積來代，即dσ＝dxdy，曲面圍成的幾何體體積可以用長方體體積來代，即dv＝dxdydz等，這充分說明了直與曲是辯證的對立統(tǒng)一。

求定積分的過程是對立統(tǒng)一的完美結(jié)合，前三步為“分割”、“代替”、“求和”是初等數(shù)學(xué)方法中形式邏輯思維的體現(xiàn)，而“取極限”這種蘊(yùn)涵于變量數(shù)學(xué)中的豐富的辯證邏輯思維使有關(guān)常量與變量、近似與精確、變與不變等矛盾的對立雙方相互轉(zhuǎn)化，從而化未知為已知，同時體現(xiàn)出了局部與整體、常量與變量，近似與精確，量變與質(zhì)變等矛盾的對立統(tǒng)一。

高等數(shù)學(xué)中的無界、發(fā)散、不連續(xù)、不可導(dǎo)、不可積分，沒有和等概念的定義都是通過它的對立面有界、收斂、連續(xù)、可導(dǎo)、可積、有和的否定而得到的，反證法體現(xiàn)了否定與肯定的辯證思想.通過對概念教學(xué)過程中辯證思想方法的挖掘與滲透，達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的辯證思維的目的，有效促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新思維能力的提高。

2.在基本定理、公式和法則教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境

高等數(shù)學(xué)中所有公式、法則都體現(xiàn)出了用有限來表示無限的辯證思想方法，當(dāng)把空間的概念由一維推廣到多維，兩點(diǎn)間距離的概念得到了相應(yīng)的推廣，其公式表示n維空間兩點(diǎn)之間距離，表達(dá)式為一般情況，若n取具體的值時，由一般又轉(zhuǎn)化為了特殊，如當(dāng)n=1，表示一維空間兩點(diǎn)之間距離；當(dāng)n=2，表示二維空間兩點(diǎn)之間距離。

創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生計算函數(shù)y=sinx的一階至四階導(dǎo)數(shù)，啟發(fā)學(xué)生歸納出n階導(dǎo)數(shù)公式為，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此公式是正確的，此公式體現(xiàn)了由特殊轉(zhuǎn)化為了一般，當(dāng)取具體數(shù)值時，又由一般又轉(zhuǎn)化為了特殊。

3.在解決具體數(shù)學(xué)問題時設(shè)計教學(xué)案例

在解決具體問題時，精心設(shè)計了教學(xué)案例，創(chuàng)設(shè)問題情境，將其融入相應(yīng)的教學(xué)過程中，有利于辯證思想方法的挖掘與滲透，從而達(dá)到對學(xué)生辯證思維能力的培養(yǎng)的目的。

（1）案例1：由符號ε的任意性證明兩個常數(shù)相等的方法

符號ε表示任意小的正數(shù)，它具有雙重性質(zhì)。首先它是個變量，具有任意性，是描述函數(shù)值與極限值接近程度的量。由于任意性，符號等都表示任意小的正數(shù)，在解決實(shí)際問題時，可以將其加以限制，或者取特殊值。符號ε具有相對固定性，它一經(jīng)給出，就是不變的常量了，用它來確定正整數(shù)或任意小的正數(shù)δ，符號ε是常量與變量的辯證統(tǒng)一。

符號ε的一個直接應(yīng)用是證明兩個常數(shù)相等的方法，即若要證明a=b，只要證明即可。

（2）案例2：符號x在一定的語言環(huán)境下是常量與變量的辯證統(tǒng)一

（3）案例3：無限的問題轉(zhuǎn)化為有限問題來解決

（4）案例4：用元素法求截面面積為已知的立體的體積

如圖1，設(shè)該立體在x軸上的投影區(qū)間為［a，b］，在［a，b］上任取一個微小區(qū)間［x，x+dx］，過點(diǎn)x，x+dx分別作垂直于x軸的平面截該立體，在［x，x+dx］上以勻（不變）代變，從點(diǎn)x起過該區(qū)間圖1立體示意圖上各點(diǎn)所作的x軸的垂直平面截立體所得截面都與過點(diǎn)x所得的截面A（x）（其面積也記為A（x），其中A（x）為x的連續(xù)函數(shù)）是相同的。這樣一來，區(qū)間［x，x+dx］所對應(yīng)的體積dV就可以看作以截面A（x）為底，高為dx的柱體（圖1）。由初等數(shù)學(xué)的知識知，該柱體的體積dV（x）=A（x）dx為此表達(dá)式為所求幾何體的體積元素，該幾何體的體積為V=

圖1　立體示意圖

（5）案例5：近似與準(zhǔn)確的辯證對立統(tǒng)一

1是個準(zhǔn)確數(shù)，0.9999…是個近似數(shù)，近似與準(zhǔn)確不僅可以相互轉(zhuǎn)化，也可以相等，即

（6）案例6：連續(xù)問題轉(zhuǎn)化為離散問題來解決

（7）案例7：離散問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)問題來解決

由于數(shù)列有極限的充要條件是所有子列有極限并且相等，求極限的問題可轉(zhuǎn)化為求極限，而極限可利用羅比塔法很容易計算。

（8）案例8：量變到一定程度會發(fā)生質(zhì)變，即量變與質(zhì)變是對立統(tǒng)一的

以下例子都說明：量變到一定程度一定會發(fā)生質(zhì)變。由重要極限公式說明了有理數(shù)列的極限值為無理數(shù)e；根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列有極限的準(zhǔn)則，可以證明無理數(shù)列的極限值為有理數(shù)2，即無理數(shù)列的極限為有理數(shù)；由無窮小的性質(zhì)知：有限個無窮小之和為無窮小，而無限個無窮小之和卻不一定為無窮小，如極限不是無窮小，無限個無窮小之和甚至可以是是無窮大，如；有限個數(shù)相加滿足交換律與結(jié)合律，而無限個數(shù)相加即無窮級數(shù)交換律與結(jié)合律不一定成立了；又已知級數(shù)，當(dāng)p=1時為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，而當(dāng)p＞1時，級數(shù)收斂，由此可知，量發(fā)生了變化，就會引起質(zhì)的改變，這是質(zhì)與量互變規(guī)律的充分體現(xiàn)，量變與質(zhì)變是對立統(tǒng)一的。

（9）案例9：求變速直線運(yùn)動物體的瞬時速度

為求t0時刻的瞬時速度，給t0一個增量Δt，否定t0，得到t0+Δt，同時否定了物體的原來位置，得到了平均速度，這是第一次否定，在Δt→0的情況下否定了平均速度，得到了瞬時速度，這是第二次否定，體現(xiàn)了否定之否定的規(guī)律。瞬時速度與平均速度，精確值與近似值，運(yùn)動與靜止，都是對立的矛盾，在Δt→0的條件下，平均速度轉(zhuǎn)化為瞬時速度，近似值轉(zhuǎn)化為精確值，絕對運(yùn)動轉(zhuǎn)化為相對靜止，也體現(xiàn)出了肯定與否定的對立統(tǒng)一。

四、辯證思維能力培養(yǎng)的初步效果及進(jìn)一步研究和完善的思路

在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，并對教學(xué)進(jìn)行精心設(shè)計，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容深入挖掘了隱藏知識背后的辯證思想，引導(dǎo)學(xué)生用辯證、矛盾的觀點(diǎn)分析問題、解決問題，不僅轉(zhuǎn)變了教師的教學(xué)觀念，而且也改變了偏重于數(shù)學(xué)知識傳授的教育現(xiàn)狀，使教師在教學(xué)中更自覺、更有效地運(yùn)用辯證思想方法，有意識地對學(xué)生進(jìn)行辯證思維訓(xùn)練，促進(jìn)了學(xué)生由知識性學(xué)習(xí)向智慧性學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變，開闊了學(xué)生解決問題的思路，既明顯增強(qiáng)了學(xué)生的辯證思維能力，又提高了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

為更好地培養(yǎng)學(xué)生辯證的思維能力，需要教師加大理論學(xué)習(xí)的力度，創(chuàng)設(shè)合理的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)氛圍，設(shè)計出切合實(shí)際的教學(xué)案例。因?yàn)檗q證思維能力的形成和發(fā)展是一項(xiàng)長期而又艱巨的工作，需要教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩，使學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟辯證數(shù)學(xué)思想方法，同時更要調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，使學(xué)生愿意接受辯證思想方法的熏陶，能夠用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題，用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究問題，用矛盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)和解決問題。

［1］鄭毓信.“數(shù)學(xué)與思維”之深思［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（1）：1-5.

［2］李祎.高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底應(yīng)該教什么［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014，23（6）：31-35.

［3］張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1997：35.

［4］賀定修，肖美玲.加強(qiáng)思想方法的滲透是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新的重要途［J］.教育探索，2006（7）：6-8.

［5］杜玉琴.數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］.高等理科教育，2009（3）：34-36.

（責(zé)任編輯：姚歆燁）

The Cultivation of Students’Dialectical Thinking Abilities in the Teaching of Advanced Mathematics

WANG Xia，DING Yumei
（Tianjin University of Science and Technology，Tianjin 300222，China）

It is very important to cultivate the dialectical thinking abilities of students in order to improve their innovation ability.This paper analyzed the problems in the current advanced mathematics teaching practice which fails to cultivate students’dialectical thinking abilities.An improved way of teaching is explored where knowledge serves as a carrier，case study is used as a teaching method，problem situation is designed，and in-depth understanding of the dialectical way of thinking is encouraged，so as to cultivate the students’dialectical thinking abilities throughout their learning process.As a result，the students’dialectical thinking abilities have been improved and their enthusiasm for and interest in mathematics have been enhanced.

advanced mathematics；dialectical thinking method；dialectical thinking abilities

G642.0

王霞（1964—），女，教授，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程教學(xué)的案例研究與設(shè)計（大學(xué)數(shù)學(xué)教研中心2014）。