實踐剖析　突破定值問題
——2016北京理科第19題的多解及探究

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(252000)

夏迎雪*作者現(xiàn)為2015級碩士研究生.　于興江

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實踐剖析突破定值問題
——2016北京理科第19題的多解及探究

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(252000)

夏迎雪*作者現(xiàn)為2015級碩士研究生.于興江

1.原題呈現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證|AN|·|BM|為定值.

2.解法探究

下面討論第(2)小題的解法(點P異于A、B的情況).

國內(nèi)某鋼廠厚板可逆式3800軋機(jī)支承輥，輥面直徑2200mm，輥面有效工作長度3700mm，輥體材質(zhì)70Cr3Mo，重量154t，其中一端輥面嚴(yán)重掉塊剝離，最大剝離深度約300mm，掉塊軸向長度最大約1650mm，周向長度最大約3000mm。經(jīng)研究，中信重工決定對支承輥進(jìn)行堆焊修復(fù)，此規(guī)格是當(dāng)時國內(nèi)堆焊修復(fù)的最大規(guī)格的支承輥，修復(fù)風(fēng)險非常大。本文采用多種試驗分析手段從剝落形態(tài)、硬度、化學(xué)成分、內(nèi)部組織等方面對該支承輥輥身剝落掉塊問題進(jìn)行分析，為其堆焊修復(fù)工藝的研究做理論支撐。

于是|AN|·|BM|

因此，|AN|·|BM|為定值4.

于是|AN|·|BM|

所以|AN|·|BM|為定值4.

3.探究推廣

筆者通過幾何畫板深入探究，發(fā)現(xiàn)了橢圓的一個有趣結(jié)論，經(jīng)過進(jìn)一步觀察研究，推廣出以下兩個定理并給出證明過程.

圖2

(1)當(dāng)P與A或B重合時，|AN|·|BM|為定值0；

(2)當(dāng)P異于A、B時，|AN|·|BM|為定值2ab.

證明：(1)當(dāng)P與A重合時，直線PA平行于y軸，A、N、P三點重合，|AN|=0，故|AN|·|BM|=0；同理，當(dāng)P與B重合時，|BM|=0，即|AN|·|BM|=0.

|AN|·|BM|

圖3

(1)當(dāng)P與A或B重合時，|AN|·|BM|為定值0；

(2)當(dāng)P異于A、B時，|AN|·|BM|為定值2ab.

定理2的證明同理于定理1，本文不給出具體證明過程.

[1]姜曉潔，于興江.對2015年北京高考數(shù)學(xué)理科19題的推廣探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016,4.

[2]孔德泉.年年歲歲題相似，歲歲年年題不同——形散神同的幾道高考解析幾何題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016,5.