具有均勻Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的一維反鐵磁鏈的孤子激發(fā)

汪　森， 陳　浩, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州 510006)

?

具有均勻Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的一維反鐵磁鏈的孤子激發(fā)

汪森， 陳浩*, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州 510006)

孤子； 反鐵磁鏈； 多重尺度法

準(zhǔn)一維磁體的孤子激發(fā)在理論研究上取得了重大成果，體現(xiàn)在2個(gè)方向：(1)一維海森伯鐵磁鏈中的孤子解[1-5]；(2)一維海森伯反鐵磁鏈中的孤子解[6-8].其基本思想均考慮一維海森伯磁性鏈，在存在非線性作用(交換作用各向異性、Aharonov-Bohm效應(yīng)等)時(shí)，再考慮外磁場(chǎng)的影響，求出此時(shí)磁性鏈所具有的孤子解.

對(duì)于一維反鐵磁物質(zhì)來(lái)說(shuō)，超交換作用非常重要．克拉默斯[9]認(rèn)為：反鐵磁性物體內(nèi)部磁性離子之間的交換作用是以隔在中間的非磁性離子為媒介來(lái)實(shí)現(xiàn)的，并命名為超交換作用，同時(shí)提出超交換作用模型，用于解釋反鐵磁自發(fā)磁化的起因．Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用是一種各向異性超交換相互作用[10-11],存在于許多反鐵磁體與弱鐵磁體中，如CuGeO3、La2CuO4、Cs2CuCl4、BaCu2Si2O7等，根源于粒子自旋和軌道耦合的反對(duì)稱性， MORIYA[11]5在1960年提出了DM相互作用的表達(dá)式：

(1)其中,Di,j為DM相互作用矢量,反對(duì)稱，即Di,j=-Dj,i，Si和Sj分別為格點(diǎn)i和格點(diǎn)j上的自旋矢量．

氧化銅超導(dǎo)體中低溫相的弱磁性、相變問(wèn)題與DM相互作用有關(guān)，而且它在量子點(diǎn)量子計(jì)算中也起著重要的作用．在反鐵磁鏈模型[9-11]中，DM相互作用都是交錯(cuò)的，對(duì)應(yīng)哈密頓量為：

(2)

其中,取DM相互作用的方向?yàn)閆方向，即Dz=(0，0，D).然而近年隨著對(duì)磁性材料探討的深入，人們發(fā)現(xiàn)，部分反鐵磁體(TiOCl等)在垂直于DM相互作用矢量方向的外磁場(chǎng)作用下，也有可能存在均勻DM相互作用[12-13]. 此后,對(duì)該情況下的反鐵磁體的零溫相圖，所用的反鐵磁體的哈密頓量[14]2為：

(3)

由于式(3)描述了反鐵磁體一種不同以往的新現(xiàn)象，求式(3)的孤子解很有必要，但其求解極其困難，如果磁場(chǎng)是弱磁場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的Zeeman能小于DM相互作用能，粗略計(jì)算時(shí)忽略Zeeman能，式(3)就變成了具有均勻DM相互作用的一維反鐵磁鏈，此時(shí)可求出其孤子解.

本文求出了具有均勻DM相互作用的一維反鐵磁鏈的橢圓函數(shù)波解和對(duì)應(yīng)孤子解，并且討論了DM相互作用對(duì)一維反鐵磁鏈孤子解的影響．為求解計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的非線性方程組，利用了多重尺度方法[15].已知利用多重尺度方法可求出非線性薛定諤方程的包絡(luò)孤子解[16]以及Aharonov-Bohm磁通對(duì)反鐵磁鏈中的孤立子的影響[17]．

1　模型的哈密頓量和運(yùn)動(dòng)方程

(4)

(5)

假設(shè)a、b子格中自旋分別沿+Z、-Z方向，利用Holstain-Primakoff變換[20]

(6)

(7)

(8)

(9)

利用海森伯運(yùn)動(dòng)方程[21]，得到算符al、bl的運(yùn)動(dòng)方程為

(10)

(11)

(12)

算符al、bl的本征方程為

(13)

利用式(13)，可將式(10)、(11)化為

(14)

(15)

2　多重尺度方法求解

利用準(zhǔn)分立近似和多重尺度相結(jié)合的方法[16]83，將αl(t)和βl(t)按以下方式展開(kāi)：

yl(t)=εy(1)(t,ξl,θl)+ε2y(2)(λ,ξl,θl)+…=

(16)

(17)

把式(16)、(17)代入式(14)、(15)，并比較ε的不同冪次項(xiàng).

(1)比較ε的一次項(xiàng)，得到

(18)

(19)

由式(18)、(19)可假設(shè)

(20)

(21)

式中

(22)

(23)

(2)比較ε的二次項(xiàng)，并結(jié)合式(20)、(21)得到

(24)

(25)

由式(24)、(25)可得

-i[2ωvg+2A1(4DSdcoskd-4JSdsinkd)×

(26)

其中，等號(hào)右端含有誘發(fā)久期項(xiàng)的exp(iθl)，為了消除久期項(xiàng)，要求右端方括號(hào)內(nèi)的值為0,得到

vg=

(27)

式(27)滿足vg=dω/dk. 由式(24)、(25)，可假定

(28)

(29)

(3)比較ε的三次項(xiàng)，并結(jié)合式(20)、(21)、(24)、(25)、(28)、(29)得到

(30)

exp(-iθl)-[4A1+3(A1)2coskd+coskd]×

(31)

由式(30)、(31)可得

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

即標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程.

3　橢圓函數(shù)波解及相應(yīng)孤子解

當(dāng)P>0、Q>0時(shí)，式(36)具有橢圓函數(shù)波解和相應(yīng)亮孤子解[15]169-173，結(jié)合式(16)有

(37)

(38)

其中DN(x,r)被稱為第三類Jacobi橢圓函數(shù)[23],Ω=qvg+q2P-γ+ω,γ>0,γ,q是待定常數(shù)，x0是積分常數(shù).若將所討論的反鐵磁鏈閉合成1個(gè)環(huán)，則αl(t)滿足周期邊界條件：

αl(t)=αl+N(t)，

(39)

其中N為元胞個(gè)數(shù).將式(39)代入式(38)，結(jié)合第三類Jacobi橢圓函數(shù)的周期性：

DN(μ+2K)=DN(μ),

其中

可得k+q=2nπ/Nd(n=0,±1,±2,…);

當(dāng)r→1時(shí)，即K(r)→∞，Nd→∞,式(37)、(38)化為亮孤子解:

exp{i[(k+q)ld-Ωt]}，

(40)

其中Ω=qvg+q2p-γ+ω，γ>0，根據(jù)式(12)得

(41)

可將式(41)歸一化可得

(42)

由式(40)、(42)可知,對(duì)于αl(t)的孤子解，其峰值A(chǔ)、寬度Ls、能量E分別為:

其中ω、A1、vg、P、Q分別由式(22)、(23)、(27)、(34)、(35)表述，解αl(t)代表相速為Ω/(k+q)的振蕩波，其包絡(luò)是1個(gè)鐘形峰，峰寬由Ls量度，包絡(luò)中心以速度(2qP+vg)在一維鏈中傳播，傳播過(guò)程中包絡(luò)的形狀不變，因此φ(xi,t)為包絡(luò)孤子，Ls代表包絡(luò)孤子的尺寸.

4　討論與結(jié)論

本文研究了具有DM相互作用的一維反鐵磁鏈，采用反鐵磁中常用的雙子格模型，在只考慮最近鄰作用時(shí)，利用Holstain-Primakoff變換、Glauber相干態(tài)表示，以及Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程，得到了1個(gè)偏微分方程組，然后應(yīng)用多重尺度方法，消除久期項(xiàng)時(shí)，得到1個(gè)非線性薛定諤方程，求出了在一級(jí)近似下該模型的橢圓函數(shù)波解和孤子解，并求出亮孤子(P>0、Q>0)情況下相應(yīng)的特征量——孤子寬度、孤子峰值及孤子能量．結(jié)果表明，孤子寬度、峰值及能量與DM相互作用的Z分量D的關(guān)系非常復(fù)雜，與k的取值有關(guān)，并不隨D的增減而單調(diào)增減．

式(22)表明，系統(tǒng)具有2支譜線. 1支為光學(xué)支，對(duì)應(yīng)于

另1支為聲學(xué)支，對(duì)應(yīng)于

明顯，-4JS≤ω-≤0≤ω+≤4JS.對(duì)于光學(xué)支頂部，此時(shí)

ω+=4JS，4JS coskd+4DSsinkd=0，

結(jié)合式(23)、(35),得到Q=0，代入式(36)知，系統(tǒng)只存在簡(jiǎn)諧波解，無(wú)孤子解；對(duì)于聲學(xué)支底部，此時(shí)

ω-=-4JS，4JScoskd+4DSsinkd=0，

同理，得到Q→∞，系統(tǒng)波函數(shù)趨于0；對(duì)于光學(xué)支底部和聲學(xué)支頂部，有ω+=ω-=0，式(27)中vg→∞，出現(xiàn)奇異性，有待進(jìn)一步研究.

當(dāng)D取0時(shí)，式(4)表示各項(xiàng)同性的一維反鐵磁鏈，此時(shí)式(35)中Q=0，式(36)在一級(jí)近似下沒(méi)有孤子解，這表明：均勻DM相互作用的存在破壞了各項(xiàng)同性．當(dāng)2qP+vg=0時(shí)，式(41)表示的包絡(luò)振幅不隨時(shí)間而變化，代表局域模．

[1]PUSHKAROV D I, PUSHKAROV K I. Solitary magnons in one-dimensional ferromagnetic chain[J]. Physics Letters A, 1977, 61(5):339-340.

[2]翁紫梅，陳浩.單離子各向異性影響下的一維鐵磁鏈中的孤子[J].物理學(xué)報(bào),2007, 56(4):1911-1918.

WENG Z M, CHEN H. Solitons in a one-dimensional ferromagnetic chain under the influence of single-ion anisotropy[J]. Acta Physica Sinica, 2007, 56(4):1911-1918.

[3]朱善華，黃國(guó)翔，徐在新.一維更鍵Heisenberg鐵磁鏈間隙非線性元激發(fā)[J].物理學(xué)報(bào)，1997，46(10):2036-2046.

ZHU S H, HUANG G X, XU Z X. Nonlinear excitations in one-dimensional Heisenberg ferromagnetic chain with bond alternation[J]. Acta Physica Sinica, 1997, 46(10):2036-2046.

[4]YU X Y，CHEN H. Solitary excitations in one-dimensional ferromagnetic spin chains with biquadratic exchange interaction[J]. Chinese Physics B, 2011, 20(12):Art 120509,7pp.

[5]陳浩, 黃皙恒， 謝元棟. 一維鐵磁鏈的一個(gè)改進(jìn)孤子解[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2002(2):5-8. CHEN H, HUANG X H, XIE Y D. An improved soliton in one-dimensional ferromagnetic chain[J]. Journal of South China Normal University (Natural Science Edition), 2002(2):5-8.

[6]PANDIT R, TANNOUS C, KRUMHANSL J A. Statistical mechanics of a classical one-dimensional canted antiferromagnet II: Solitons[J]. Physical Review B，1983，28(1):289-299.

[7]LIU W M, ZHOU B L. Solitons in an order-parameter-preserving antiferromagnet[J]. Journal of Physics: Condensed Matter, 1993, 5(12):L149-L156.

[8]LISSOUCK D, NGUENANG J P. Solitary magnon excitations in a one-dimensional antiferromagnet with Dzyaloshinsky-Moriya interactions[J]. Journal of Physics:Condensed Matter，2007, 19(9):357-363.

[9]KRAMERS H A. L’interaction entre les atomes magnétogènes dans un cristal paramagnétique[J]. Physica, 1934, 1(1-6):182-192.[10]DZYALOSHINSKII I. A thermodynamic theory of “weak” ferromagnetism of antiferromagnetics[J]. Journal of Phy-sics and Chemistry of Solids，1958，4(4)：241-255.

[11]MORIYA T. Anisotropic super exchange interaction and weak ferromagnetism[J]．Physical Review，1960，120(1):91-98.

[12]ZAKHAROV D V, DEISENHOFER J, KRUG VON NIDDA H A, et al. Spin dynamics in the low-dimensional magnet TiOCl[J]. Physical Review B，2006, 73(9): Art 094452,23pp.

[13]GANGADHARAIAH S, SUN J M, STARYKH O A. Spin-orbital effects in magnetized quantum wires and spin chains[J]. Physical Review B，2008, 78(5): Art 054436,23pp.

[14]GARATE I, AFFLECK I. Interplay between symmetric exchange anisotropy, uniform Dzyaloshinskii-Moriya interaction and magnetic fields in the phase diagram of Quantum Magnets and superconductors[J]. Physical Review B，2010, 81(14): Art 144419,20pp.

[15]劉式適,劉式達(dá). 物理學(xué)中的非線性方程[M]. 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2012：127-132.

[16]YOSHIMURA K, WATANABE S. Envelope soliton as an intrinsic localized mode in a one-dimensional nonlinear lattice[J]. Journal of the Physical Society of Japan, 1991, 60(1):82-87.

[17]許長(zhǎng)譚. Aharonov-Bohm磁通對(duì)反鐵磁鏈中的孤立子的影響[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2014, 24(1): 51-57.

XU C T. Effect of the Aharonov-Bohm flux on the solitonin antiferromagnetic chain[J]. Acta Mathematica Scientia,2014, 24(1): 51-57.

[18]JACOBS A E, NIKUNI T．Fluctuation-induced phase in CsCuCl3in a transverse magnetic field：theory[J]．Journal of Physics：Condensed Matter，1998，10(28)：6393-6404.

[19]AFFLECK I， OSHIKAWA M．On the field-induced gap in Cu benzoate and otherS=1/2 antiferromagnetic chains[J]．Physical Review B，1999, 60(2)：1038-1056.

[20]HOLSTEIN T, PRIMAKOFF H. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet[J]. Phy-sical Review, 1940, 58(12): 1099.

[21]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)[M].4版.北京：科學(xué)出版社，2007：162.

[22]GLAUBER R J. Coherent and incoherent states of the radiation field[J]. Physical Review, 1963, 131(6): 2769.

[23]劉式適,劉式達(dá). 特殊函數(shù)[M].2版. 北京: 氣象出版社, 2003:620-715.

【中文責(zé)編：成文英文責(zé)編：肖菁】

Soliton Excitation in An One-Dimentional Antiferromagnetic Chain with Uniform Dzyaloshinskii-Moriya Interaction

WANG Sen, CHEN Hao*, WANG Ruiqiang

(School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

soliton; antiferromagnetic chain; multi-scale method

2015-08-23《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11174088)

陳浩，教授，Email: chenhao@scnu.edu.cn.

O482．51；O175．29

A

1000-5463(2016)03-0082-06