離軸徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性

倪　波, 郭利娜, 吳泳波, 唐志列*

(1.華南師范大學物理與電信工程學院, 廣州 510006； 2.廣東技術師范學院電子與信息學院, 廣州 510665)

?

離軸徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性

倪波1, 郭利娜2, 吳泳波1, 唐志列1*

(1.華南師范大學物理與電信工程學院, 廣州 510006； 2.廣東技術師范學院電子與信息學院, 廣州 510665)

基于矢量瑞利-索末菲衍射積分，研究了離軸徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性，推導了離軸徑向偏振高斯光束在自由空間中非傍軸傳輸的解析表達式，并與傍軸的情況進行了對比.研究表明：f參數、離軸系數和傳輸距離對徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性有著重要的影響，而且，傳輸距離較遠，離軸徑向偏振光束的光斑向光軸靠攏，表現(xiàn)出較強的離軸修復能力.這些結論在多束離軸激光束進行光束合成和光束整形的研究中具有重要意義.

離軸徑向偏振光束; 離軸量;f參數; 矢量瑞利-索末菲衍射積分; 非傍軸傳輸特性

徑向偏振光束具有沿光軸對稱的偏振分布以及中空的圓環(huán)形光束結構，在光束傳輸和大數值孔徑聚焦過程中，具有更獨特的優(yōu)點.例如：徑向偏振光通過大數值孔徑透鏡聚焦可以產生比線偏振光更小的光斑，有效地提高成像系統(tǒng)的空間分辨率[1-2].此外，聚焦的徑向偏振光束可以產生比線偏振光更大的梯度力,不產生軸向的散射力在光學捕捉中有重要應用[3-5].因此，徑向偏振光束的產生和傳輸引起了研究人員的極大關注[6-11]. 將徑向偏振光和貝塞爾高斯光束的無衍射特性結合起來，在實驗上可獲得徑向偏振無衍射光束[12].研究部分相干徑向偏振光束的自修復特性表明，徑向偏振貝塞爾高斯光束具有比線偏振貝塞爾高斯光束更好的自修復能力[13]. 徑向偏振光束也被擴展到部分相干光領域.

當光束的光斑尺寸很小(與波長相近)或遠場發(fā)散角很大，傍軸理論則不再有效，需要用更為嚴格的矢量波動方程理論來研究非傍軸光束的行為.非傍軸光束可以通過半導體激光器或大數值孔徑聚焦系統(tǒng)產生.利用矢量瑞利-索末菲衍射積分法研究表明，徑向偏振光束在自由空間和經圓形孔中具有非傍軸傳輸特性[14-16].而在實際光學系統(tǒng)中由于受到外部因素和系統(tǒng)結構等因素的影響，徑向偏振光束的中心軸線往往與光學系統(tǒng)光軸有一定偏離[17].另一方面，實際工作中，通常使用多束離軸激光束進行光束合成，因此對離軸偏振光束在非傍軸領域的研究顯得很有必要[18].本文基于矢量瑞利-索末菲衍射積分公式，對離軸徑向偏振TEM01模式光束在自由空間中的非傍軸傳輸特性進行了系統(tǒng)研究，并與傍軸的情況進行了對比.

1　理論分析

在直角坐標系中，離軸徑向偏振TEM01模式光束在z=0平面上可表示為[19]：

[(x0-a)i+(y0-b)j],

(1)

其中，w0為徑向偏振光束在x、y軸方向上的束腰寬度，a、b為x、y軸方向上的離軸參數，i、 j分別為x、y軸方向的單位矢量.在x、y軸方向上：

Ex(x0,y0,0)=

(2)

Ey(x0,y0,0)=

(3)

(4)

(5)

(6)

其中r0=x0i+y0j，r=xi+yj+zk，k為z方向的單位矢量，而G(r,r0)可表示為：

(7)

(8)

將式(7)、(8)帶入式(6)，可得瑞利-索末菲衍射積分的非傍軸近似形式：

(9)

(10)

Ey(x0,y0,0)(y-y0))×

(11)

將式(2)、(3)帶入式(11)，經過積分可得非傍軸情況下的光場解析表達式[21]：

(12)

(13)

(14)

式(14)描述了徑向偏振離軸高斯光束在自由空間的非傍軸傳輸規(guī)律，它對遠場和近場都適用，令a=0，b=0, 則其表示非離軸的徑向偏振光束的非傍軸傳輸表達式，這和文獻[14]1230的式(16)～(18)一致，是本文的主要解析結果.

在遠場情況下，式(8)可以進一步寫為：

(15)

將式(2)、(3)、(7)、(15)代入式(6)，經過積分可得遠場條件的解析表達式：

(16)

(17)

(18)

對于傍軸光束，將式(12)～(14)和式(16)～(18)的exp(ikr)的r作傍軸近似：

(19)

(20)

(21)

(22)

令a=0，b=0,則式(20)～(22)表示徑向偏振光束的傍軸傳輸表達式，和文獻[22]中的式(26)和(29)的計算結果一致.

對非傍軸解析式(12)～(14)中的關鍵項進行如下計算：

(23)

(24)

(25)

其中，f=1/kw0，*為復共軛.

由式(23)可知橫向光場分布Ix+Iy在x=a，y=b處始終為0，結合式(24)，由于的存在當傳輸距離z越大，Ix+Iy的分布越接近圓環(huán)狀，其相應的圓心越靠近(a，b)，而當z較小時，Ix+Iy、Iz的分布呈現(xiàn)出不規(guī)則的形狀，即出現(xiàn)畸變，并且在(0，b)處的光強要比(2a，b)處的強，可得出此時圓環(huán)上的最大光強將出現(xiàn)在偏移量相反方向.同理從式(25)可以看出，Iz在中心(a，b)處的光強不為0，結合式(24)可知，當z較小時式(24)對Iz的影響較大，當z較大時式(25)對Iz的影響較大，因此隨著z的增大，Iz的分布會呈現(xiàn)出從圓斑到圓環(huán)的變化.從式(23)和式(25)不難看出，參數f越小Iz對Inp的影響越小.

對于傍軸解析表達式(20)～(22)中的關鍵項只需要將式(23)～(25)中的r用z替換即可.

(26)

(27)

(28)

對比式(23)～(25)和式(26)～(28),發(fā)現(xiàn)式(23)～(25)中存在4k2f4r2(r2=x2+y2+z2)項，當f越大，傍軸光強和非傍軸的差別越大，而z越大傍軸和非傍軸的差別越小.

2　結果與討論

圖1表明，當a=0時，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的光斑分布呈中心對稱分布，而且Inp和Ip沒有差別，此時非傍軸徑向偏振高斯光束的特性可以用傍軸近似來分析.隨著a從0增加到4λ的過程中，Ip(x,y,zR)與Inp(x,y,zR)的差別逐漸增加，這說明了離軸量導致了光束的非傍軸性，此時傍軸近似不能很好地說明離軸徑向偏振光束的特性，因此，非傍軸近似是必須的. 而且隨著a從0逐漸變化至4λ過程中，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的光斑分布偏離光軸，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的光斑中心沿x軸偏移原點的距離隨著a的增加而增加；而且Inp(x,y,zR)、Ix+Iy(x,y,zR)失去對稱性，但仍為圓環(huán)狀，光強最大值出現(xiàn)在圓環(huán)右邊，a越大圓環(huán)上光強最小值越小.圖1D～N表明，a從0變化至4λ的過程中，Ip(x,y,zR)與Iz(x,y,zR)未有出現(xiàn)明顯的畸變.

圖1　Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(f=0.1， z=zR)

Figure 1Simulated diagrams andxaxial distribution curves ofIp,Inp,Ix+IyandIzvarying with off-axis coefficienta(f=0.1，z=zR)

圖2表示在z=10zR處，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的歸一化光強分布.其中，f=0.1，a=0、2λ、4λ、-4λ.在z=10zR處，隨著a從0增加到4λ的過程中，Ip與Inp差別很小，當離軸量a小于4λ，Ip與Inp差別可忽略，表明在傳輸距離較遠處，離軸量a對光束的非傍軸性的影響減弱，在離軸量很小，非傍軸徑向偏振高斯光束的特性可以用傍軸近似來分析.而且在z=10zR處，Ip、Inp、Ix+Iy、Iz的光強分布仍具有對稱性，Ip、Inp、Ix+Iy、Iz的光斑分布向光軸靠攏，這說明，傳輸距離較遠時，離軸徑向偏振光束的表現(xiàn)出較強的離軸修復能力.

圖2　Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(f=0.1，z=10zR)

圖3和圖4表明，當f=0.1、a=0時,Inp、Ix+Iy、Iz存在差別，因為隨著f參數的增加，即光束的發(fā)散性增強，導致光束的非傍軸效應增強，從而導致傍軸光強和非傍軸的光強差異增大.此外，在a從0逐漸變化至λ的過程中，Inp和Ip的差別進一步增大，而且Inp、Ix+Iy、Iz沿x軸正方向偏移原點較小距離并出現(xiàn)畸變，a越大，光斑偏移原點距離越大，畸變越嚴重.但隨著傳輸距離z的增加，光斑向光軸靠攏，光斑畸變逐漸減小，光斑的變化呈現(xiàn)出規(guī)律性.

f參數、離軸量a和傳輸距離共同決定著離軸徑向偏振光束的非傍軸傳輸特性(圖1～4).f越大，傳輸距離z越小，離軸量a越大，Ip和Inp的差異越大，光束的非傍軸效應越強.此外，f參數、傳輸距離z和離軸量a對非傍軸離軸徑向偏振光束的光斑演化起著重要的影響，通過改變f參數、離軸量a和傳輸距離，可以調節(jié)離軸徑向偏振光束的光斑分布.

3　結論

對離軸徑向偏振TEM01模式光束在自由空間中的非傍軸傳輸做了詳細研究，推導了離軸徑向偏振光束在自由空間中非傍軸傳輸的解析表達式，并根據解析表達式分析了非傍軸離軸徑向偏振光束傳播特性.離軸徑向偏振光束在遠場以及傍軸傳輸可作為本文的2種特例.數值結果表明：f參數、離軸參數a和傳輸距離z共同決定離軸徑向偏振光束的非傍軸行為，它們對光強的分布影響很大，而且對光強分布的影響不同.隨著f參數的增大，傍軸和非傍軸的差異增加.隨著離軸量a的增加，傍軸和非傍軸的光斑分布偏離光軸而且發(fā)生畸變.但隨著傳輸距離z的增加，傍軸和非傍軸的差異減小，光斑畸變減小，光強分布向光軸靠攏，表現(xiàn)出較好的離軸修復能力，其模擬結果和理論分析一致.研究結果可用在非傍軸徑向偏振光束的光束合成和光束整形方面.

圖3Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(f=0.5，z=zR)

Figure 3Simulated diagrams andxaxial distribution curves ofIp,Inp,Ix+IyandIzvarying with off-axis coefficienta(f=0.5，z=zR)

圖4　Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(f=0.5，z=10zR)

[1]KANO H. Excitation of surface-plasmon polaritons by a focused laser beam[J]. Journal of the Optical Society of America B, 1998, 15(4):1381-1386.

[2]KOUYOU W, NOBUHIRO H, HIROSHI K. Optimized measurement probe of the localized surface plasmon microscope by using radially polarized illumination[J]. Applied Optics, 2007, 46(22):4985-4990.

[3]KUGA T, TORII Y, SHIOKAWA N, et al. Novel optical trap of atoms with a doughnut beam[J]. Physical Review Letters, 1997, 78(25):4713-4716.

[4]GAHAGAN K T, SWARTZLANDER G A. Simultaneous trapping of low-index and high-index micro particles observed with an optical-vortex trap[J]. Journal of the Optical Society of America B，1999，16(4)：533-537.

[5]ZHAN Q W. Trapping metallic Rayleigh particles with radial polarization[J]. Optics Express, 2004, 12(15):3377-3382.

[6]LI J L,UEDA K, MUSHA M, et al. Radially polarized and pulsed output from passively Q-switched Nd:YAG ceramic microchip laser[J]. Optics Letters, 2008, 33(22):2686-2688.

[7]ZHAN Q W. Cylindrical vector beams: from mathematical concepts to applications[J]. Advances in Optics & Photonics, 2009, 1(1):1-57.

[8]GROSJEAN T, COURJON D, SPAJER M. An all-fiber device for generating radially and other polarized light beams[J]. Optics Communications, 2002, 203(1/2):1-5.[9]林惠川，劉輝，蒲繼雄. 腔外相干疊加產生徑向偏振光[J]. 中國激光，2009，36(s1)：251-256.LIN H C，LIU H，PU J X. Extra cavity coherent superposition for generation of radially polarized beam[J].Chinese Journal of Lasers，2009，36(s1)：251-256.

[10]張艷麗，李小燕，朱健強. 矢量偏振光束的產生及其高數值孔徑聚焦性質[J]. 中國激光，2009，36(1)：129-133.

ZHANG Y L，LI X Y，ZHU J Q. Generation and focusing property with high-numerical aperture lens of vectorial polarized beam[J]. Chinese Journal of Lasers，2009，36(1)：129-133.

[11]黃金堂，韋瑋雷，張源, 等. 利用C切釩酸釔晶體產生軸對稱偏振光[J]. 光學學報，2010，30(2)：557-561.

HUANG J T, WEI W L, ZHANG Y, et al. Generation of cylindrical vector beams by use of C-cut YVO4crystal[J]. Acta Optica Sinica, 2010,30(2):557-561.

[12]孫順紅，林惠川，崔省偉,等. 徑向偏振無衍射光束的產生及其傳輸特性研究[J]. 中國科學：物理學，力學，天文學，2012，42(10)：1022-1028.

SUN S H，LIN H C，CUI S W, et al. Generation and pro-pagation characteristics of the radially polarizednon-diffracting beam[J].Scientia Sinica Physica:Mechanica & Astronomica，2012，42(10)：1022-1028.

[13]WU G, WANG F, CAI Y. Generation and self-healing of a radially polarized Bessel-Gauss beam[J]. Physical Review A, 2014, 89(4):8821-8822.

[14]DENG D. Nonparaxial propagation of radially polarized light beams[J]. Journal of the Optical Society of America B, 2006, 23(6):1228-1234.

[15]閻杰，魯擁華，王沛,等. 徑向偏振光聚焦光斑研究[J]. 光學學報，2010，30(12)：3597-3603.YAN J,LU Y H, WANG P, et al. Study of focal spot of radially polarized beam[J].Acta Optica Sinica,2010,30(12):3597-3603.

[16]GUO L N，TANG Z L，WANG J. Non-paraxial propagation of cylindrical vector vortex beams in the far-field[J]. Chinese Physics Letter，2014, 31(7):85-89.

[17]WEI M D, CHANG K C, LIN T. Azimuthally and radially polarized off-axis lasers[J]. SPIE Newsroom, 2013,doi:10.1117/2.1201310.005143.[18]高曾輝，呂百達. 矢量非傍軸離軸高斯光束的傳輸[J]. 物理學報，2005，54(11)：5144-5148.

GAO Z H, LV B D. Propagation of vectorial off-axis Gaussian beams beyond the paraxial approximation[J]. Acta Physica Sinica, 2005，54(11)：5144-5148.

[19]李楊，朱竹青，王曉雷,等. 離軸橢圓矢量光場傳輸中的光斑演變[J]. 物理學報，2015，64(2)：Art 024204,8pp.

LI Y, ZHU Z Q, WANG X L, et al. Propagation evolution of the off-axis ellipse vector beam[J]. Acta Physica Sinica, 2015,64(2): Art 024204,8pp.

[20]LUNEBURG R K. Mathematical theory of optics[J]. American Journal of Physics, 1966, 34(1):320.

[21]ABRAMOWITZ M, STEGUN I, MCQUARRIE D A. Handbook of mathematical functions[J]. American Journal of Physics, 1966, 34(2):177.

[22]RICCARDO B, MASSIMO S. Nonparaxial propagation of spirally polarized optical beams[J]. Journal of the Optical Society of America:A Optics Image Science & Vision, 2004, 21(10):2032.

【中文責編：成文英文責編：肖菁】

Nonparaxial Propagation Properties of Off-Axis Radially Polarized Beams

NI Bo1, GUO Lina2, WU Yongbo1,TANG Zhilie1*

(1.School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China；2.School of Electronics and Information, GuangDong Polytechnic Normal University, Guangzhou 510665, China)

Based on the vectorial Rayleigh-Sommerfeld diffraction formula, the analytical expressionons for nonparaxial off-axis radially polarized Gaussian beams propagating in free space are derived. The nonparaxial propagation properties of off-axis radially polarized Gaussian beams are studied, and compared with the corresponding paraxial results. It is shown that the f parameter, off-axis coefficient and propagation distance play important roles in the nonparaxial propagation properties of the off-axis radially polarized Gaussian beams. Moreover, when the propagation distance is farther, the off-axis radially polarized beams exhibit better off-axis healing property.

off-axis radially polarized beams; off-axis coefficient;fparameter; vectorial Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral; nonparaxial propagation property

2015-09-19《華南師范大學學報(自然科學版)》網址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學基金項目(61178086，11404067);中國博士后科學基金項目(2015M570473)

唐志列, 教授, Email: tangzhl@scnu.edu.cn.

O436.1

A

1000-5463(2016)03-0075-07