初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“特殊與一般”的實(shí)踐與研究

鄭婷

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué). 這些價(jià)值可以體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法上.特殊與一般是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)鍵的一個(gè)思維過(guò)程.它既是探路石，又是尋求解決問(wèn)題的關(guān)鍵和靈感來(lái)源.在教學(xué)過(guò)程中，教師融合特殊化或者一般化的教學(xué)方式，能夠培養(yǎng)學(xué)生不同階段的創(chuàng)新能力，做到“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”.對(duì)于初中學(xué)生而言，有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法正確解題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特殊和一般的思想方法有著特殊的地位.學(xué)生掌握了這種思想方法，就能夠?qū)W以致用解決遇到的問(wèn)題.那么，如何運(yùn)用特殊與一般的思想方法呢？下面就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中特殊與一般的實(shí)踐與研究談點(diǎn)體會(huì).

一、認(rèn)識(shí)特殊與一般的思想方法

1.特殊與一般的基本內(nèi)涵

人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)一類(lèi)新事物，往往都是先從認(rèn)識(shí)這類(lèi)新事物的某個(gè)個(gè)體開(kāi)始，通過(guò)對(duì)該個(gè)體的初步了解和深入研究，逐步挖掘出這類(lèi)事物的本質(zhì)，找到特點(diǎn)，形成規(guī)律，上升認(rèn)識(shí)，由感性到理性，由實(shí)踐到理論.這個(gè)認(rèn)知過(guò)程，就是由特殊到一般的思維過(guò)程.人們的探究不會(huì)因此止步.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，還要服務(wù)于生活.人們需要用這些理論來(lái)驗(yàn)證新的問(wèn)題，指導(dǎo)新的問(wèn)題.一直以來(lái)，特殊—一般—特殊循環(huán)反復(fù)的認(rèn)知過(guò)程，就是人們認(rèn)識(shí)新事物的基本過(guò)程之一.而數(shù)學(xué)課堂每天都在經(jīng)歷這樣的過(guò)程，探究新知再應(yīng)用新知.這是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法——特殊與一般.

2.特殊化和一般化的深層次認(rèn)識(shí)

這種思想方法分成兩類(lèi)來(lái)理解，一種是特殊化思想方法，一種是一般化思想方法.特殊化思想方法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的必要條件，利用特殊的數(shù)、形、式來(lái)試探，有助于尋求解題的突破口，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論的思維過(guò)程.這種思想方法，有助于學(xué)生快速答題，一招制勝.那么，何時(shí)選用特殊化的思想方法呢？筆者有這樣一些心得：（1）緊扣題目中隱含的特殊因素，它可能就是思維的突破口；（2）如果讀不懂題目，可以用特殊情況代入題意，尋求解題的捷徑；（3）用特殊值來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的正確性.特殊化的方法雖然有奇效，但在主觀(guān)題中不能作為主流方法，最終還是要用一般化的思想方法給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯鸹蜃C明.從學(xué)生掌握知識(shí)的本質(zhì)來(lái)看，應(yīng)該要啟發(fā)學(xué)生一般化的思想方法.數(shù)學(xué)問(wèn)題需要?dú)w類(lèi)，不能讓學(xué)生通過(guò)刷題達(dá)到高分的目標(biāo).一般化的方法，能讓學(xué)生頓悟數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性，達(dá)到“做一題，通一片，會(huì)一類(lèi)”的目的.

3.特殊化和一般化的關(guān)系

特殊化和一般化為解題搭建了一個(gè)平臺(tái)，培養(yǎng)了一種邏輯能力，往往這兩種思想方法緊密結(jié)合，特殊化離不開(kāi)一般化的理論支持，一般化也需要特殊化的啟蒙引導(dǎo)，兩者不可割裂，互相轉(zhuǎn)化為學(xué)生所用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值.

二、具體實(shí)踐策略和心得

1.由淺入深，入木三分，總結(jié)一般化的結(jié)論

實(shí)踐策略：若直接給學(xué)生練習(xí)，有些學(xué)生覺(jué)得無(wú)從下手，會(huì)打退堂鼓，打擊了學(xué)習(xí)的信心.筆者給出特殊角度，這樣改編：對(duì)于圖1，先給出條件∠A=60°，再求∠BOC的度數(shù)，大部分學(xué)生都能根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°計(jì)算出結(jié)果.在已有的解題經(jīng)驗(yàn)上，筆者再問(wèn)：若∠A=n°，那么∠BOC的度數(shù)如何求？?jī)蓚€(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)比課本有一定的層次，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因?yàn)槠吣昙?jí)的學(xué)生剛剛接觸幾何的推理過(guò)程，需要由角的特殊值入手結(jié)合所學(xué)知識(shí)解決相應(yīng)問(wèn)題，然后上升到一般的情形推導(dǎo)出結(jié)論.對(duì)于圖2，筆者用類(lèi)比教法，經(jīng)歷特殊到一般的思維過(guò)程，也得出第二個(gè)一般結(jié)論.緊接著筆者再給出圖3，出示題目：△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∠A=n°，求∠BOC的度數(shù).筆者和學(xué)生利用內(nèi)外角的關(guān)系推導(dǎo)出第三個(gè)結(jié)論.對(duì)于本道題的引領(lǐng)提升，筆者把圖1、圖2、圖3戲稱(chēng)為角平分線(xiàn)三部曲，加深了學(xué)生的印象，通過(guò)層層推進(jìn)的思考和說(shuō)理，學(xué)生必有所收獲.學(xué)生熟悉了這三個(gè)基本圖形，那么填空、選擇題都可以直接運(yùn)用相應(yīng)的結(jié)論，提高解題速度.為了檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，筆者留給學(xué)生一道思考題：如圖4，給出相應(yīng)深層次的題目.這樣，照顧到學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，繼續(xù)開(kāi)發(fā)這部分學(xué)生的鉆研潛力.

實(shí)踐心得：一般性的結(jié)論都不是憑空出現(xiàn)的，都是建立在特殊情況的基礎(chǔ)上，通過(guò)猜想歸納而得到.無(wú)論代數(shù)題還是幾何題，隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先一些性質(zhì)有的不會(huì)改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的，這種規(guī)律可以作為猜想的一個(gè)重要依據(jù).

2.多維角度，觸類(lèi)旁通，互相轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維

原題：（1）填空：21-20==2（ ），22-21==2（ ），23-22==2（ ）……（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫(xiě)出第n個(gè)等式，并說(shuō)明第n個(gè)等式成立；（3）計(jì)算20+21+22+…+21000.

實(shí)踐策略：所有規(guī)律題都可以體驗(yàn)由特殊到一般再到特殊的認(rèn)知過(guò)程.這道題目，從三種特殊情況開(kāi)始，學(xué)生輕車(chē)熟路地做出答案，也得出第n個(gè)等式.既然有了一般規(guī)律，必然可以解決特殊化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，結(jié)合“裂項(xiàng)相消”法，成功實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).筆者提問(wèn)：你們還有不同的解法嗎？有的學(xué)生想到“錯(cuò)位相加法”，筆者為此點(diǎn)贊.在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生抓住多維角度，鼓勵(lì)不同的方法，總結(jié)這一類(lèi)數(shù)列題目的特點(diǎn)，下次遇到相關(guān)題目能夠知識(shí)遷移，觸類(lèi)旁通，特殊與一般互化，從而使學(xué)生的思維得到培養(yǎng).

實(shí)踐心得：這道題其實(shí)很簡(jiǎn)單.若要將簡(jiǎn)單變得不平凡，需要教師多收集題目.教師可以一環(huán)扣一環(huán)由簡(jiǎn)單方法引申到有一定難度的拓展方法，讓學(xué)生體驗(yàn)小題大做的樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.始于特殊，終于特殊，完善思維

原題：計(jì)算下列各式，你得到什么結(jié)論？試用字母表示數(shù)說(shuō)明結(jié)論的正確性.

8×8-7×9；11×11-10×12；80×80-79×81.

實(shí)踐策略：該類(lèi)題難度不大.學(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)的相關(guān)知識(shí)，能根據(jù)給出的幾個(gè)特殊值的算式，用字母總結(jié)出其中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成平方差的形式，必然可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.這道題的遺憾在于，沒(méi)有將理論應(yīng)用于實(shí)踐，應(yīng)該再出一道數(shù)值較大的算式，讓學(xué)生計(jì)算.例如，筆者補(bǔ)充這樣一題：5002-499×501.讓學(xué)生學(xué)以致用，鞏固提高，完善思維.

實(shí)踐心得：特殊到一般是我們非常重視的思維過(guò)程，通過(guò)題目潛移默化地熏陶學(xué)生的探究思維，但是一般到特殊，我們會(huì)忽略，不太注重.一般性的結(jié)論是為解決特殊題目而服務(wù)的，培養(yǎng)學(xué)生這樣一種自發(fā)的思考問(wèn)題的方式，能使學(xué)生在解題過(guò)程中舉一反三，活學(xué)活用.

4.圖形特殊化，思維更直觀(guān)，找到突破口

原題：如圖5，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)A′的位置.探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

實(shí)踐策略：學(xué)生初次接觸這道題，往往只能想到轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，但是通過(guò)外角的相關(guān)知識(shí)，更能迅速得出答案.筆者是這樣設(shè)計(jì)的：利用幾何畫(huà)板給出如圖6，

將圖形特殊化，直接運(yùn)用三角形外角的關(guān)系來(lái)解決，從而引導(dǎo)學(xué)生思考，回到原題，是否也可以運(yùn)用類(lèi)似的方法呢？這里體現(xiàn)了圖形特殊化解決問(wèn)題的重要作用.筆者再利用幾何畫(huà)板給出如圖7，鼓勵(lì)學(xué)生自主思考，于是有些學(xué)生有意識(shí)地轉(zhuǎn)化成外角的相關(guān)知識(shí)，從而提高了教學(xué)效果.

實(shí)踐心得：希爾伯特說(shuō)：“在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更加重要的作用.”希爾伯特又說(shuō)：“特殊化是克服數(shù)學(xué)難題最重要的杠桿之一.”這些話(huà)，深刻地揭示了特殊化的重要作用.將幾何圖形特殊化，能夠培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)思維能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的推導(dǎo)能力，從而提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視課本上的題目，引導(dǎo)學(xué)生將特殊與一般內(nèi)化為自身的一種能力.在解題過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)嘗試把一般問(wèn)題特殊化，或是特殊問(wèn)題一般化，或是特殊化與一般化有機(jī)結(jié)合在一起，提高自己的觀(guān)察、歸納、猜想、類(lèi)比的能力.只有這樣，才能提高學(xué)生的解題效率，實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)的目標(biāo).