極大并濾子及其相關(guān)性質(zhì)

李　賀，盧　濤，高淑紅

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000）

極大并濾子及其相關(guān)性質(zhì)

李賀，盧濤，高淑紅

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000）

在極大濾子定義基礎(chǔ)上引入極大并濾子概念，進而給出分配格的一個新的內(nèi)部刻畫，并證明了其存在性定理.最后，討論了Heyting代數(shù)中極大并濾子及其相關(guān)性質(zhì).

極大并濾子；素濾子；分配格；Heyting代數(shù)

連續(xù)格理論集序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)的研究于一體，是拓撲學(xué)和理論計算機科學(xué)的一個重要領(lǐng)域［1-4］.濾子是格論中的重要概念，一些特殊的濾子，如，素濾子、極大素濾子、完備素濾子等有著更加重要的地位.文獻［3］用濾子刻畫了Hausdorff分離性和緊性.文獻［4］用完備素濾子刻畫了Sober分離性，給出了極大理想的概念，以及極大理想的相關(guān)性質(zhì).文獻［5］從素理想和半素理想的角度給出了分配格的一個內(nèi)部刻畫.文獻［6］借助于偏序集上的濾子極大理想給出了分配格的內(nèi)部刻畫.文獻［7］首次引入了并濾子的概念，但對于極大并濾子并未探討.本研究在極大濾子的基礎(chǔ)上引入極大并濾子的概念，并將極大濾子的性質(zhì)推廣到極大并濾子；同時從極大并濾子的角度給出分配格的一個新的內(nèi)部刻畫，并證明了其存在性定理；最后研究了Heyting代數(shù)中極大并濾子的一個刻畫.

1　預(yù)備知識

定義1［1］設(shè)L是一個偏序集，L的一個非空子集F?L，如果F是一個濾子的上集，則稱F為L的一個濾子.記L中所有濾子構(gòu)成的集合為Fil（L）.

定義2［7］設(shè)L是一個半格，若F∈Fil（L）滿足：存在N∈Fil（L），使得對任意的a∈F，b∈N，有a∧b∈F∪N，則稱F為L的一個并濾子.記L中所有的并濾子構(gòu)成的集合為J-Fil（L）.

由定義2可對偶地給出并理想的定義，L的所有并理想構(gòu)成的集合記為J-Idl（L）.

定義3［4］設(shè)L是格，若對于任意的a、b、c∈L，以下分配律之一成立：

則稱L為分配格.

命題［7］格L中并濾子之集J-Fil（L）構(gòu)成一個分配的完備格，且最大元為L，最小元為｛1｝.

定義4［4］設(shè)L是格，F(xiàn)是L的濾子，若對于L的任意濾子J，當(dāng)F?J時，有J=F或J=L，則稱F為極大濾子.

注1偏序集L中不一定有極大濾子，例如L=（0，1］.

定義5［4］若F是L的真濾子，并且?a、b∈L，a∨b∈F?a∈F或b∈F，則稱F為L的素濾子.

定義6［4］設(shè)（L，≤）是偏序集，對于x、a∈L，定義

2　主要結(jié)果

定義7設(shè)L是格，F(xiàn)是L的并濾子，若對于L的任意并濾子J，當(dāng)F?J時，有J=F或J=L，則稱F為極大并濾子.

注2偏序集上的極大并濾子都是極大濾子，但反之未必成立.

對任意的x、y∈H，因H為Heyting代數(shù)，且F是一個濾子，于是對F?H的元（x，y），有（x→y）∈F，對任意z∈H，有z≤（x→y）?z∧x≤y，特別地，取z=（x→y），則有x∧（x→y）≤y，又顯然有x∧（x→y）≤x，于是x∧（x→y）≤x∧y.由Heyting代數(shù)的定義，可知（x∧y）∧x≤y?（x∧y）≤（x→y），又由于（x∧y）≤x，從而x∧（x→y）≥（x∧y）.因此有x∧（x→y）= x∧y，即x∧y為x與（x→y）的一個下界，又因為x∈F，x→y∈F，故x∧（x→y）∈F，于是（x∧y）∈F，所以y∈F.

定義10設(shè)L是格，x∈L，F(xiàn)是L的極大并濾子，如果F在不包含a的并濾子中極大，即a?F，且對于任意的M∈J-Fil（L），F(xiàn)?M蘊含x∈M或F=M，則稱F為相對于元素a∈L的極大并濾子，簡稱相對極大并濾子.

推論設(shè)F是Heyting代數(shù)H的一個相對于x的極大并濾子，則?y∈F，有（y→x）?F.

證明?y∈F，如果（x→y）∈F，則由定理6可得x∈F，這與F是一個相對于x的極大并濾子矛盾，于是（y→x）?F.

［1］GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K.Continuous Lattice and Domains［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2003.

［2］徐羅山.區(qū)間數(shù)系的內(nèi)蘊拓撲及度量表示［J］.揚州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1999，2（1）：1-5．XU L S.Intrinsic topologies of the interval number system and their metric representations［J］.Journal of Yangzhou University：Natural Science Edition，1999，2（1）：1-5（in Chinese）.

［3］KELLY J L.General Topology［M］.New York：Van Nostrand，1995.

［4］鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格［M］.北京：首都師范大學(xué)出版社，2000.ZHENG C Y，F(xiàn)AN L，CUI H B.Frame and Continuous Lattices［M］.Beijing：Capital Normal University Press，2000（in Chinese）.

［5］姜廣浩.分配格的一個內(nèi)部刻畫［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24（4）：56-57.JIANG G H.An intrinsic characterization of distributive lattices［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2010，24（4）：56-57（in Chinese）.

［6］姜廣浩，蔡錦，韓貴文.偏序集上濾子極大理想的若干注記［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，37（3）：11-13.JIANG G H，CAI J，HAN G W.Notes on maximal ideals relative to a filter on posets［J］.Journal of Jilin Normal University：Natural Science Edition，2011，37（3）：11-13（in Chinese）.

［7］朱潤秋，盧濤.并濾子及其相關(guān)性質(zhì)［J］.江蘇師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，31（3）：1-3.ZHU R Q，LU T.Join-filters and its relative properties［J］.Journal of Jiangsu Normal University：Natural Science Edition，2013，31（3）：1-3（in Chinese）.

Maximal join-filters and its relative properties

LI He，LU Tao，GAO Shuhong
（College of Mathematics Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China）

The concept of maximal join-filters is introduced based on maximal filters.A new intrinsic characterization of distributive lattices is obtained.The existence of maximal join-filters is proved.Lastly，the relative properties of maximal join-filters in Heyting algebras is discussed.

maximal join-filters；prime filters；distributive lattices；Heyting algebras

O153.1

A

1671-1114（2016）02-0013-02

2015-07-22

國家自然科學(xué)基金資助項目（11171156）.

李賀（1988—），女，碩士研究生.

盧濤（1974—），男，副教授，主要從事拓撲學(xué)和范疇論方面的研究.