橫觀各向同性雙壓電板Ⅲ型界面裂紋力學分析

韓貴花，張雪霞，解海玲，趙文彬，王 慧

（太原科技大學應(yīng)用科學學院，太原　030024）

橫觀各向同性雙壓電板Ⅲ型界面裂紋力學分析

韓貴花，張雪霞，解海玲，趙文彬，王 慧

（太原科技大學應(yīng)用科學學院，太原030024）

研究含界面裂紋的橫觀各向同性雙壓電材料板在反平面剪切載荷和平面內(nèi)電位移共同作用下的裂紋尖端場問題。利用復(fù)變函數(shù)方法，引入含待定實系數(shù)的應(yīng)力函數(shù)，借助邊界條件和待定系數(shù)法，建立非齊次線性方程組。求解得到滿足控制方程和邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，推導(dǎo)得到雙壓電材料板Ⅲ型界面裂紋尖端的應(yīng)力場、電位移場和應(yīng)力強度因子、電位移強度因子的表達式。

雙壓電材料；Ⅲ型界面裂紋；復(fù)變函數(shù)；橫觀各向同性

壓電材料（piezoelectric material）是在壓力作用時發(fā)生極化從而在兩端表面間出現(xiàn)電位差的晶體材料。因其具有自我診斷、自我預(yù)測和自我修復(fù)系統(tǒng)，也就是自適應(yīng)系統(tǒng)，所以壓電材料也是一種廣泛應(yīng)用于力電耦合領(lǐng)域的智能材料。由于壓電材料在制作和使用過程中難免會出現(xiàn)缺陷，如裂紋、夾雜、孔洞等，這樣會導(dǎo)致材料過早地失效，甚至發(fā)生破壞從而影響壓電智能結(jié)構(gòu)的性能和可靠性，因此研究壓電材料斷裂性能很有意義。由于單層壓電材料組成的壓電單元件的壓電效應(yīng)是微小的。為了放大單個元件的壓電效應(yīng)，通常將壓電元件由多層壓電材料復(fù)合而成，最為常見的是雙壓電材料。目前，雙壓電材料板界面裂紋問題已經(jīng)有了大量研究。王自強［1］主要用電位移法向分量和電勢連續(xù)通過裂紋面作為邊界條件，對均勻壓電智能材料的裂紋問題及兩種不同壓電材料界面裂紋問題進行了一定分析，得到了含中心裂紋無限大體封閉形式的全場解。王旭［2］，張保文［3］，劉淑紅［4］等對不同壓電材料反平面問題進行了研究，主要用級數(shù)方法表示的控制拉普拉斯方程以及可導(dǎo)通邊界條件的基本解。周振寰［5］用辛方法研究了雙壓電材料斷裂問題，并利用辛方法在辛空間中推導(dǎo)出解析解。Ou［6］等對橫觀各向同性壓電材料結(jié)合而成的雙壓電材料在耦合的力的電載荷的作用下的界面裂紋進行了研究。OU Z C［7］通過對橫觀各向同性壓電雙材料的研究，分析了壓電雙材料界面裂紋尖端應(yīng)力場和應(yīng)力特性。Li［8］等通過將積分變化轉(zhuǎn)為第二類Fredholm積分方程，對兩個粘結(jié)在一起的不同壓電材料反平面Ⅲ型界面裂紋進行了電彈性分析。XU C H［9］基于哈密頓理論，用辛方法分析了彈性材料裂紋尖端的奇異性以及壓電材料與彈性材料界面裂紋的斷裂特性。侯密山［10］用靜電力學分析壓電材料中的電滲透型界面裂紋的連接界面，根據(jù)上、下兩表面的切向電場強度和法向電位移分別連續(xù)構(gòu)造出在電學上裂紋處的邊界條件，詳細分析了不同壓電材料共線界面裂紋受反平面應(yīng)變狀態(tài)作用下的問題，導(dǎo)出了單個界面裂紋以及雙界面裂紋的復(fù)式封閉解。

近年來，研究雙壓電材料斷裂問題的文獻很多，但是借助復(fù)變函數(shù)法和待定系數(shù)法來研究雙壓電材料板界面裂紋尖端場的文獻較少，此方法比已有文獻中的方法簡單，而且能有效地解決雙壓電材料的這一類問題。本文研究受遠場反平面載荷和平面內(nèi)電位移共同作用下，橫觀各向同性雙壓電材料板界面裂紋尖端場問題。運用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法，通過構(gòu)造適當?shù)膽?yīng)力函數(shù)，得到電滲透型邊界條件下裂紋尖端附近的應(yīng)力強度因子、電位移強度因子、應(yīng)力場、和電位移場解析表達式。

1　基本問題

考慮含有界面裂紋長度為2a的橫觀各向同性雙壓電材料板，在無窮遠處受反平面剪切載荷σ0和平面內(nèi)電位移D0共同作用，如圖1所示。裂紋中點為坐標原點o，x3軸為極化方向，x1ox2平面作為橫觀各向同性面，極化方向x3軸垂直于x1ox2平面。兩種壓電材料單元（M1和M2）的結(jié)合面為理想連接條件。對于反平面問題，只需要考慮反平面的彈性場和平面內(nèi)電場。記每個壓電材料單元的反平面位移為，應(yīng)力為，剪應(yīng)變?yōu)椋妱莘至繛棣誯，電位移為，電場強度為，上標"k"為壓電材料單元編號，其中k=1，2.

圖1　含界面裂紋的雙壓電材料板Fig.1 Dual piezoelectric plate with interface crack

對于觀各向同性雙壓電復(fù)合材料板在受反平面剪切力和平面內(nèi)電場共同作用下，本構(gòu)關(guān)系為：

梯度方程為：

將式（3）、式（4）式代入式（1）、式（2）可得本構(gòu)方程：

在不考慮體力和自由電荷的情況下，靜態(tài)平衡方程和電靜態(tài)下的Maxwell方程如下：

將（5）式代入（7）式，（6）式代入（8）式可得：

其中▽2為二維拉普拉斯算子，即：

對于一般的壓電材料，它的彈性系數(shù)、壓電系數(shù)和介電系數(shù)滿足關(guān)系式：c44ε11+e（e15）2≠0，所以平衡方程（9）和（10）可以簡化為兩個獨立的調(diào)和方程：

所謂電滲透型裂紋就是考慮裂紋缺陷內(nèi)空氣介質(zhì)對電場的傳導(dǎo)作用，根據(jù)電場在兩種介質(zhì)界面處的連續(xù)條件，電場強度的切向分量以及電位移的法向分量都是連續(xù)的。那么裂紋面上下相互接觸，且邊界條件采用電滲透型邊界條件和連續(xù)性條件，其余部分為理想連接，故選用如下邊界條件：

于是討論含界面裂紋的橫觀各向同性雙壓電材料板的反平面界面裂紋尖端場問題就被轉(zhuǎn)化為求解偏微分方程的邊值問題式（12）～（14）.

2　待定系數(shù)法

將實值解析解式（15）和式（16）代入到本構(gòu)方程式（5）、式（6）和梯度方程（4）式得：

考慮到受反平面載荷σ0和電載荷D0的共同作用下，我們選取如下函數(shù)：

將式（22）兩邊關(guān)于z進行積分得：

將式（24）、式（25）分別代入式（18）和式（20），結(jié)合邊界條件式（12）可得：

將式（26）、式（27）分別代入式（18）和式（20），結(jié)合邊界條件式（13）可得：

將式（23）代入式（15），式（28）、式（29）代入式（21），結(jié)合邊界條件式（14）可得：

將式（23）代入式（15），式（16）式可得：

由式（34），式（35），式（36），式（37）可得：將式（28）、式（29）代入式（15）、式（17）、式（20）、式（21）、再結(jié)合邊界條件式（14），得到4個關(guān)于ak1，bk1，ak2，bk2的方程，經(jīng)驗證，式（42）、式（43）完全滿足這四個方程，即式（42）、式（43）滿足所有的邊界條件。

3　應(yīng)力強度因子和電位移強度因子

4　應(yīng)力場和電位移場

在裂紋尖端附近，即當z→a時，有：將式（42）、式（43）、式（48）代入式（17）～（21）得應(yīng)力場和電位移場的計算公式如下：

引入極坐標，令x1=rcosθ+a，x2=rsinθ，故式（49）～（52）的極坐標形式分別為：

5　結(jié)論

運用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法，研究了含界面裂紋的橫觀各向同性雙壓電材料板在遠場受反平面剪切載荷和平面內(nèi)電位移共同作用下的裂紋尖端場問題，得到雙壓電材料Ⅲ型界面裂紋在電滲透型邊界條件下裂紋尖端的應(yīng)力場、電位移場、應(yīng)力強度因子和電位移強度因子的表達式。

［1］ 王自強，韓學禮.壓電材料中心裂紋問題［J］.固體力學學報，1999，20（2）：95-103.

［2］ 王旭，王子昆.壓電材料反平面應(yīng)變狀態(tài)的橢圓夾雜及界面裂紋問題［J］.上海力學，1993，14（4）：26-34.

［3］ 劉淑紅，段士杰，鄒振祝.含界面邊裂紋壓電材料反平面問題的應(yīng)力強度因子［J］.工程力學，2005，22（4）：6-9.

［4］ 張保文，李星.含界面中心裂紋的壓電材料反平面問題［J］.寧夏大學學報，2006，27（2）：161-164.

［5］ 周震寰，徐新生.雙壓電材料反平面斷裂分析中的辛方法［J］.固體力學學報，2013，33：105-111.

［6］ OU ZHUO-CHENG，Chen Yi-HENG.On approach of crack tip energy release rate for a semi-permeable crack when electrical mechanical loads become very large［J］.International Journal of Fracture，2004，130：427-454.

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［10］ 侯密山，梅甫良.不同壓電材料反平面應(yīng)變狀態(tài)的電滲透型界面裂紋［J］.科學通報，1998，43（2）：216-221.

［11］ 解海玲，張雪霞，趙文彬，等.無限大壓電材料薄板Ⅰ型裂紋斷裂分析［J］.太原科技大學學報，2014，35（4）：305-311.

［12］ 楊維陽，李俊林，張雪霞.復(fù)合材料斷裂復(fù)變方法［M］.北京：科學出版社，2005.

Stress Field Analysis Near the Interface Crack Tip for ModeⅢof Transverse Isotropic Dual Piezoelectric Materials

HAN Gui-hua，ZHANG Xue-xia，XIE Hai-ling，ZHAO Wen-bin，WANG Hui（School of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

The problem near the interface crack tip for modeⅢof transversely isotropic dual piezoelectric materials was studied under anti-plane shear load and plane electric displacement field.With the help of the complex function method，the stress function containing undetermined real coefficients based on boundary conditions and undetermined coefficient method were introduced to establish a non-homogeneous linear equations.The stress function to satisfy the boundary conditions is got by solving equations.After that，near the interface crack tip for modeⅢof transverse isotropic dual piezoelectric materials，the computational formulas of stress intensity factor，electric displacement factor，stress field and electric displacement are further deduced.

dual piezoelectric，interface crack of modeⅢ，complex function method，transverse isotropic

O157.5

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.02.013

1673-2057（2016）02-0144-05

2015-07-19

太原科技大學博士啟動資金（20122005）；太原科技大學研究生科技創(chuàng)新項目（20125027，20111028）作者簡介：韓貴花（1988-），女，碩士研究生，主要研究方向為偏微分方程及其應(yīng)用。