王 則,趙子龍,楊曉輝,田雪坤
(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)
裝載過程中提升鋼絲繩的縱向振動(dòng)特性
王 則,趙子龍,楊曉輝,田雪坤
(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原030024)
利用變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的哈密頓原理,建立了裝載過程中鋼絲繩縱向振動(dòng)的力學(xué)模型,并推導(dǎo)出其縱向振動(dòng)微分方程和頻率方程。在此基礎(chǔ)上,計(jì)算了系統(tǒng)的固有頻率、鋼絲繩振動(dòng)位移、振動(dòng)速度和動(dòng)張力,同時(shí)研究了裝載方式對(duì)鋼絲繩振動(dòng)響應(yīng)的影響。研究結(jié)果表明:隨著裝載進(jìn)行,系統(tǒng)第一階固有頻率變化最大,鋼絲繩末端的振動(dòng)位移和動(dòng)張力以波動(dòng)的形式逐漸增加。同時(shí)計(jì)算表明,使用裝載流量逐漸增加的裝載方式更加合理。
鋼絲繩;變質(zhì)量;裝載;縱向振動(dòng)
鋼絲繩斷繩事故主要發(fā)生在加速、制動(dòng)以及裝載等過程中。在裝載過程中,鋼絲繩提升系統(tǒng)為變質(zhì)量的振動(dòng)系統(tǒng),動(dòng)態(tài)特性變得非常復(fù)雜。許多的學(xué)者對(duì)變質(zhì)量的振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[1]對(duì)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究,得到了變質(zhì)量系統(tǒng)頻率、幅值等特性。文獻(xiàn)[2]將提升鋼絲繩簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng),對(duì)箕斗裝載時(shí)振動(dòng)的位移、速度和鋼絲繩張力進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[3]將鋼絲繩看作連續(xù)彈性體,研究了運(yùn)行過程中提升系統(tǒng)的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[4]將鋼絲繩看作黏彈性連續(xù)體,研究了矩形、梯形、正弦、拋物線形加速時(shí)鋼絲繩的動(dòng)張力特性。文獻(xiàn)[5]將鋼絲繩看作柔性系統(tǒng),研究了礦車進(jìn)出罐籠時(shí)的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[6]對(duì)礦井多繩摩擦提升過程的鋼絲繩張力和動(dòng)張力進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]直接采用自由端無集中質(zhì)量塊時(shí)繩的振型函數(shù),研究了鋼絲繩的振動(dòng)特性。所有這些研究均未考慮系統(tǒng)的固有頻率和振型函數(shù)等特性的時(shí)變效應(yīng),而裝載過程中系統(tǒng)的這些特性具有明顯的時(shí)變效應(yīng)。因此本文將鋼絲繩看作柔性繩,考慮裝載過程中振型函數(shù)和固有頻率等特性時(shí)變效應(yīng),并基于變質(zhì)量非完整系統(tǒng)哈密頓原理[8]建立了鋼絲繩在裝載時(shí)的縱向振動(dòng)模型,推導(dǎo)出鋼絲繩的頻率方程,并用數(shù)值方法計(jì)算了系統(tǒng)固有頻率的變化和箕斗在裝載時(shí)的響應(yīng)曲線。最后研究了不同裝載方式下鋼絲繩的振動(dòng)響應(yīng),為鋼絲繩動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了理論參考。
本文忽略箕斗的具體結(jié)構(gòu)和鋼絲繩的橫向振動(dòng),將鋼絲繩提升系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖1所示的力學(xué)模型。其中鋼絲繩單位長(zhǎng)度密度為ρ,橫截面積為A,彈性模量為E,初始長(zhǎng)度為l,物料落入箕斗時(shí)的速度為v,物料下落時(shí)與水平方向的夾角為θ,箕斗自身重量為m0.建立如圖1所示坐標(biāo)系。系統(tǒng)的動(dòng)能為:
圖1 提升系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of lifting system
其中u(x,t)表示鋼絲繩x處t時(shí)刻的振動(dòng)位移“·”表示對(duì)時(shí)間t的一階偏導(dǎo)數(shù),m為t時(shí)刻落入箕斗內(nèi)物料的質(zhì)量。式中的第一項(xiàng)為鋼絲繩的動(dòng)能,第二項(xiàng)為箕斗和物料的動(dòng)能。
系統(tǒng)的勢(shì)能為:
其中u′表示u對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)。其中的第一項(xiàng)為靜張力引起的廣義勢(shì)能,第二項(xiàng)為彈性勢(shì)能。P為繩子在靜平衡狀態(tài)下的張力,其表達(dá)式為:
其中g(shù)=9.8 m/s2為重力加速度。系統(tǒng)的重力勢(shì)能為:
其中Egs為初始重力勢(shì)能,是一個(gè)常量。變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的哈密頓原理[7]為:
其中˙m表示質(zhì)量隨時(shí)間的變化率。時(shí)間邊界條件和位移邊界條件:
由式(1)~式(5)可得系統(tǒng)縱向振動(dòng)的控制方程為:
由式(1)~(6)可得邊界條件為:
其中“··”表示對(duì)時(shí)間t的二階偏導(dǎo)數(shù),“″”表示對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)。
將系統(tǒng)的任一階縱向位移表示成:
其中,Ui(x)和ωi分別為鋼絲繩縱向振動(dòng)的正則振型函數(shù)和固有頻率。將式(9)帶入式(7),得鋼絲繩(x≠l)無阻尼自由振動(dòng)時(shí)振型函數(shù)滿足:
令鋼絲繩的振型函數(shù)形式為:
將式(11)代入式(10),由于ai和bi為非零解,則ψi滿足:
ψi=ωi/ae
將式(9)和式(12)代入位移邊界條件式(8),則系統(tǒng)頻率滿足方程:
其中m隨時(shí)間變化。引入下列無量綱因子:
α為質(zhì)量比,隨時(shí)間變化,則式(13)可以寫成:
式(14)即為變質(zhì)量系統(tǒng)的振動(dòng)頻率超越方程。由于在整個(gè)過程中系統(tǒng)的質(zhì)量不斷變化,系統(tǒng)的頻率也隨之發(fā)生變化。為了得到整個(gè)過程系統(tǒng)的振動(dòng)頻率,將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間過程劃分為n個(gè)時(shí)間間隔Δt=ti-ti-1,(i=1,2,…n),在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)把系統(tǒng)的參數(shù)看成不變的,從而得到系統(tǒng)變化的過程中的n個(gè)固有頻率ωi.
在Δt時(shí)間內(nèi),位移響應(yīng)為:
選取如下參數(shù)進(jìn)行計(jì)算:
(1)系統(tǒng)的頻率
裝載流量S(t)=500 kg/s時(shí),利用數(shù)值方法求解式(14)得系統(tǒng)的前四階頻率如圖2所示。
圖2 裝載過程中系統(tǒng)的固有頻率Fig.2 the natural frequency of system during loading process
圖3 裝載流量S(t)=(800-60 t)kg/s時(shí)鋼絲繩末端的振動(dòng)位移、速度和動(dòng)張力Fig.3 The displacement,velocity and dynamic tension of rope lower end when S(t)=(800-60 t)kg/s
圖4 裝載流量為S(t)=(200+60 t)kg/s時(shí)鋼絲繩末端的振動(dòng)位移、速度和動(dòng)張力Fig.4 The displacement,velocity and dynamic tension of the rope lower end when S(t)=(200+60 t)kg/s
根據(jù)圖2可知,在裝載過程中,系統(tǒng)固有頻率逐漸減小,其中對(duì)第一階固有頻率ω1的影響最大,隨著固有頻率階數(shù)的提高,裝載過程對(duì)固有頻率的影響逐漸減弱。
(2)鋼絲繩末端的振動(dòng)位移、振動(dòng)速度和動(dòng)張力
圖3為裝載流量S(t)=(800-60 t)kg/s時(shí)鋼絲繩末端的振動(dòng)位移、振動(dòng)速度和動(dòng)張力;圖4裝載流量為S(t)=(200+60 t)kg/s時(shí)鋼絲繩末端的振動(dòng)位移、振動(dòng)速度和動(dòng)張力。
由圖3、圖4可得結(jié)論如下:
(1)鋼絲繩末端振動(dòng)位移隨著裝載波動(dòng)增加,且最大位移值基本相同,但是裝載方式S(t)=(200+ 60 t)kg/s比S(t)=(800-60 t)kg/s的位移幅值小。
(2)裝載結(jié)束時(shí),裝載方式S(t)=(200+60 t)kg/s比S(t)=(800-60 t)kg/s的鋼絲繩末端振動(dòng)速度幅值小。
(3)裝載方式S(t)=(200+60 t)kg/s比S(t)=(800-60 t)kg/s的動(dòng)張力幅值小。
(1)在裝載過程中,系統(tǒng)固有頻率逐漸減小,裝載過程對(duì)低價(jià)固有頻率影響較大,對(duì)固有頻率的影響較小。
(2)在裝載過程中,鋼絲繩縱向振動(dòng)位移以及動(dòng)張力都逐漸增大,而振動(dòng)速度的變化與加載方式有關(guān)。
(3)實(shí)際中采用裝載流量逐漸增加的裝載方式更為合理。
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Analysis of Longitudinal Vibration of Wire Rope During Loading Process
WANG Ze,ZHAO Zi-long,YANG Xiao-hui,TIAN Xue-kun
(School of Applied Sciences,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,China)
The longitudinal vibration model of wire rope on loading is established and the governing differential equation of longitudinal vibration and the frequency equation are deduced by using the Hamilton′s principle of nonholonomic variable mass system.On this basis,the natural frequency of the system and the vibration displacement,vibration velocity and dynamic tension of wire rope are investigated,and the influence of loading method on vibration response is studied.The calculating results show that the natural frequency of system decrease gradually,but the vibration displacement and dynamic tension of the lower end of wire rope increase with fluctuation.In addition,the results suggest that the loading method of gradually increasing loading flow is more suitable in practice.
wire rope,variable mass,loading,longitudinal vibration
TB1
A
10.3969/j.issn.1673-2057.2016.02.015
1673-2057(2016)02-0155-05
2015-05-17
山西省自然科學(xué)基金(2013011005-3);太原科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(20134032)
王則(1988-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)椴牧吓c結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為。